数形结合思想在函数中的应用.doc

数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学 杨金宝 225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。（二）函数数形结合的应用 1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。 例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。 请结合图像，回答下列问题： （1）根据图中信息，请你写出一个结论； （2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。”你说可能吗？请说明理由。 分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。根据图形可得到点的坐标（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意义为：到2分钟，锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等。利用待定系数法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。 解：（1）略 （2）当0x2时，y=-8x+96（0x2）， 当x2时，y=-4x+88（x2） 前15位同学接完水时余水量为96-152=66（升）， 66=-4x+88，x=5.5 答：前15位同学接完水需5.5分钟。 （3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为828=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。 若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接水，当0t2则8（2-t）+43-（2-t）=82，16-8t+4+4t=16， t=1（分），（2-t）+3-（2-t）=3（分），符合。 当t2时，则824=4（分） 即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符。 所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟。 2、构造图形、图像，建立合理的几何模型，利用图像法解决代数问题。 例2：利用图像解x22x=0的一种方法是：画出抛物线yx2与直线2x ，两图像的交点的横坐标就是方程的解。 （1）再给出一种利用图像求方程x22x=0的解。 （2）已知函数x的图像，求xx2的解（保留两个有效数） 分析：用代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法操作，利用图形的直观性，代数的问题几何化，学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程，学生学习知识的能力和水平得到提高，数形结合的思想得到渗透。 yx03、中考数学压轴题中的数形结合思想。压轴题的关系多，涉及的知识点广，关键是找到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基础，灵活的采用几何问题代数化，代数问题几何化的数形结合思想，找出契合点。 例3：在直角坐标平面内，O为坐标原点,A点的坐标为(1,0)，点B在x轴上且在点A的右侧,AB=OA,过A、B做x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图像于点C、D。直线OC交BD于M，直线CD交y轴于H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH 。同学们发现两个结论：1、SCMDS四边形ABMC=23； 2、数值关系：xCxD=-yH （1）请你验证两个结论是否成立。 （2）请你研究：如果将上述条件“A点的坐标为(1，0)”改为：“A点的坐xyOMACDHB标为(t，0)，（t0）”其他条件不变，SCMDS四边形ABMC=23是否成立，说明理由。 （3）进一步研究：如果将条件“A点的坐标为(1，0)”改为：“A点的坐标为(t，0)，（t0）”，又将条件y=x2改为y=ax2（a0），其他条件不变，那么xC、xD和yH有怎样的数值关系，写出结果并说明理由。分析：（1）因为AB=OA，显然几何关系是：AC是OAB的中位线，满足代数关系BM=2AC；根据平行线等分线段定理，点C是线段OM的中点，继续则发现HOCDMC，OH=DM。显然隐含关系BM=MD，契合点为：yD=2yM；（2）几何图形坐标化，把点的坐标量化为几何线段的长：数值关系：xCxD=-yHxC=1、DM=BM=OH、-yH=OH、xD=OB，结合图形和条件A（1，0），COA=45o，OB=BM，得证。把代数等式化为几何对象，契合点为COA=45o。 （3）“A点的坐标为(1，0)”改为：“A点的坐标为(t，0)，（t0）”，只是表示AC、BM、MD时由整数变成了字母，字母代替数，范围扩大了，图形变化由数t引起，AC、BM、MD的几何图形关系完全一样，解决方法（1）一样。 例3中（2）（3）的契合点是：数形辩证统一关系。牢牢抓住数和形中的不变量，是解决类似问题关键。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想