初中数学竞赛专题培训(15)相似三角线(1).doc

鼎吉教育（Dinj Education）中小学生课外个性化辅导中心资料 初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训第十五讲 相似三角形(一)学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2 D 第3页 咨询热线13760993549（吉老师）两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形相似比为1的两个相似三角形是全等三角形因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用例1 如图2-64所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF分析 由于BC是ABC与DBC的公共边，且ABEFCD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF解 在ABC中，因为EFAB，所以同样，在DBC中有得设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入得说明 由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题请同学自己证明例2 如图2-65所示 ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F若AB=a，BC=b，BF=c，求BE分析 本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OGBC，交AB于G，构造出FEBFOG，进而求解解 过O作OGBC，交AB于G显然，OG是ABC的中位线，所以在FOG中，由于GOEB，所以例3 如图2-66所示在ABC中，BAC=120，AD平分分析 因为AD平分BAC(=120)，所以BAD= EAD=60若引DEAB，交AC于E，则ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用CEDCAB，可实现求证的目标证 过D引DEAB，交AC于E因为AD是BAC的平分线，BAC=120，所以BAD=CAD=60又BAD=EDA=60，所以ADE是正三角形，所以EA=ED=AD 由于DEAB，所以CEDCAB，所以由，得从而例4 如图2-67所示 ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G求证：分析 与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证证 延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB在EIH中，由于DFIH，所以在OED与OBH中，DOE=BOH，OED=OHB，OD=OB，所以 OEDOBH(AAS)从而DE=BH=AI，例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)求分析 设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证证 过B引BGEF，交AC于G由平行线截线段成比例性质知说明 本题也可过C引CGEF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证例6 如图2-69所示P为ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d分析 由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：进而求d因为FGBC，HICA，EDAB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形BHIAFGABC，从而将代入左端得因为DE=PEPD=AIFB， AF=AIFI， BI=IFFB 由，知，的分子为DEAFBI=2(AIIFFB)=2AB从而即下面计算d因为DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入得解得d306练习十五1如图2-70所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF2已知P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q3如图 2-72所示梯形 ABCD中，ADBC，MNBC，且MN与对角线BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN4P为ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图2-73所示)求证：5如图 2-74所示在梯形 ABCD中，ABCD，ABCD一条直线交B