高中数学竞赛辅导讲义第九讲 不等式.pdf

第九章第九章 不等式不等式 一 基础知识一 基础知识 不等式的基本性质 1 a b a b 0 2 a b b c a c 3 a b a c b c 4 a b c 0 ac bc 5 a b c 0 acb 0 c d 0 ac bd 7 a b 0 n N an bn 8 a b 0 n N nn ba 9 a 0 x a a xa x a 或 xb 0 c d 0 所以 ac bc bc bd 所以 ac bd 重复 利用性质 6 可得性质 7 再证性质 8 用反证法 若 nn ba 由性质 7 得 nnnn ba 即 a b 与 a b 矛盾 所以假设不成立 所以 nn ba 由绝对值的意义知 9 成立 a a a b b b 所 以 a b a b a b 所以 a b a b 下面再证 10 的左边 因 为 a a b b a b b 所以 a b a b 所以 10 成立 11 显然 成立 下证 12 因为 x y 2 2 yxxy 0 所以 x y xy2 当且仅当 x y 时 等号成立 再证另一不等式 令czbyax 3 3 3 因为x3 b3 c3 3abc a b 3 c3 3a2b 3ab2 3abc a b 3 c3 3ab a b c a b c a b 2 a b c c2 3ab a b c a b c a2 b2 c2 ab bc ca 2 1 a b c a b 2 b c 2 c a 2 0 所 以 a3 b3 c3 3abc 即 x y z 3 3 xyz 等号当且仅当 x y z 时成立 二 方法与例题 1 不等式证明的基本方法 1 比较法 在证明 A B 或 A0 与 1 比较大小 最后得出结论 例 1 设 a b c R 试 证 对 任 意 实 数 x y z 有 x2 y2 z2 2 xz b ac yz a cb xy c ba accbba abc 证明 左边 右边 x2 y2 z2yz acba bc xy accb ab 2 2 222 2 2y ac c y ac a xy accb ab x cb b xz cbba ca 222 2 2x cb c xz cbba ca z ba a z ba b yz acba bc 0 222 x cb c z ba a z ba b y ac c y ac a x cb b 所以左边 右边 不等式成立 例 2 若 a xlog 1 x 1 x 1 因 为 0 1 x21 x 0 0 1 x loga 1 x 2 分析法 即从欲证不等式出发 层层推出使之成立的充分条 件 直到已知为止 叙述方式为 要证 只需证 例 3 已知 a b c R 求证 a b c 3 3 abc a b 2 ab 证 明 要 证a b c 3 3bac a b 2 ab 只 需 证 3 32abcabc 因为 33 332abcbacababcabc 所以原不等式成立 例4 已 知 实 数a b c满 足0 a b c 2 1 求 证 1 1 1 1 1 2 abbacc 证明 因为 0 n 1 n 证明 1 当 n 3 时 因为 34 81 64 43 所以命题成立 2 设 n k 时有 kk 1 k 1 k 当 n k 1 时 只需证 k 1 k 2 k 2 k 1 即 1 2 2 1 k k k k 1 因为1 1 1 k k k k 所以只需证 1 2 2 1 k k k k k k k k 1 1 即证 k 1 2k 2 k k 2 k 1 只需证 k 1 2 k k 2 即证 k2 2k 1 k2 2k 显 然成立 所以由数学归纳法 命题成立 4 反证法 例 6 设 实 数 a0 a1 an满 足 a0 an 0 且 a0 2a1 a2 0 a1 2a2 a3 0 an 2 2an 1 an 0 求证 ak 0 k 1 2 n 1 证明 假设 ak k 1 2 n 1 中至少有一个正数 不妨设 ar 是 a1 a2 an 1中第一个出现的正数 则 a1 0 a2 0 ar 1 0 ar 0 于 是 ar ar 1 0 依题设 ak 1 ak ak ak 1 k 1 2 n 1 所以从 k r 起有 an ak 1 an 1 an 2 ar ar 1 0 因为 an ak 1 ar 1 ar 0 与 an 0 矛盾 故命题获证 5 分类讨论法 例 7 已知 x y z R 求证 0 222222 yx xz xz zy zy yx 证明 不妨设 x y x z x y z 则 zyzxyx 111 x2 y2 z2 由排序原理可得 yx x xz z zy y yx z xz y zy x 222222 原不等式成立 x z y 则 zyyxzx 111 x2 z2 y2 由排序原理可得 yx x xz z zy y yx z xz y zy x 222222 原不等式成立 6 放缩法 即要证 A B 可证 A C1 C1 C2 Cn 1 Cn Cn B n N 例 8 求证 2 12 1 3 1 2 1 1 n nnnn 22 1 2 1 1 2 1nn nn 得证 例 9 已知 a b c 是 ABC 的三条边长 m 0 求证 mc c mb b ma a 证明 mba m mba ba mba b mba a mb b ma a 1 mc c mc m 1 因为 a b c 得证 7 引入参变量法 例 10 已知 x y R l a b 为待定正数 求 f x y 2 3 2 3 y b x a 的最 小值 解 设k x y 则 k kl y k l x 1 1 f x y 2 3 3 2 2 1 k b a l k 2 2333 2 33333 2 11111 l ka k b k b k bkakaba l a3 b3 3a2b 3 ab2 2 3 l ba 等号当且仅当 y b x a 时成立 所以 f x y min 2 3 l ba 例11 设x1 x2 x3 x4 2 x2 x3 x4 x1 求 证 x1 x2 x3 x4 2 4x1x2x3x4 证明 设 x1 k x2 x3 x4 依题设有 3 1 k 1 x3x4 4 原不等 式等价于 1 k 2 x2 x3 x4 2 4kx2x3x4 x2 x3 x4 即 k k 4 1 2 x2 x3 x4 x2x3x4 因为 f k k k 1 在 1 3 1 上递减 所以 k k 4 1 2 x2 x3 x4 2 1 4 1 k k x2 x3 x4 4 2 3 1 3 3x2 4x2 x2x3x4 所以原不等式成立 8 局部不等式 例12 已 知x y z R 且x2 y2 z2 1 求 证 222 111z z y y x x 2 33 证明 先证 2 33 1 2 2 x x x 因为 x 1 x2 33 2 3 2 2 1 1 2 2 1 3 222 xx 所以 2 33 33 2 1 1 2 2 2 2 2 x x xx x x x 同理 2 2 2 33 1 y y y 2 2 2 33 1 z z z 所以 2 33 2 33 111 222 222 zyx z z y y x x 例 13 已知 0 a b c 1 求证 111 ab c ca b bc a 2 证明 先证 2 1cba a bc a 即 a b c 2bc 2 即证 b 1 c 1 1 bc a 因为 0 a b c 1 所以 式成立 同理 2 1 2 1cba c ab c cba b ca b 三个不等式相加即得原不等式成立 9 利用函数的思想 例 14 已知非负实数 a b c 满足 ab bc ca 1 求 f a b c accbba 111 的最小值 解 当 a b c 中有一个为 0 另两个为 1 时 f a b c 2 5 以下证明 f a b c 2 5 不妨设 a b c 则 0 c 3 3 f a b c 1 11 2 22 bac ba c c 因为 1 a b c ab 4 2 ba a b c 解关于 a b 的不等式得 a b 2 1 2 c c 考虑函数 g t tc t1 1 2 g t 在 1 2 c 上单调递增 又 因 为0 c 3 3 所 以3c2 1 所 以c2 a 4c2 所 以 2 1 2 cc 1 2 c 所以 f a b c bac ba c c 1 11 2 22 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 cc c cc c c 1 1 1 2 2 2 2 c cc c c 2 13 2 1 1 1 2 2 2 2 cc c c 22 11 3 2 5 2 13 2 4 22 cccc 下证 cc 11 3 2 0 133 2 ccc2 6c 9 9c2 9 cc 4 3 0 4 3 c 因 为 4 3 3 3 0 所以 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n a1 a2 an 证法三 设 a1 a2 an从小到大排列为 n iii aaa 21 则 222 21n iii aaa 11 111 iii aaa nn 由排序原理可得 n iii aaa 21 a1 a2 an 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n 得证 注 本讲的每种方法 定理都有极广泛的应用 希望读者在解题 中再加以总结 三 基础训练题三 基础训练题 1 已知 0 x 1 a b R 则 x b x a 1 22 的最小值是 2 已知 x R 则 2 1 x x 的最小值是 3 已知 a b c R 且 a2 b2 c2 1 ab bc ca 的最大值为 M 最 小值为 N 则 MN 4 若不等式2 1 1 3 2 2 xx axx 对所有实数 x 成立 则 a 的取值范 围是 5 若不等式m 则 m 的最小值是 6 a b 4 是 不等式 x a x b 8 的解集是 x 2 x 6 的 条件 7 若 a b R 则 a b 1 以下结论成立是 a4 b4 8 1 4 1 a3 b3 2 1 lglg 2 1 aba b 8 已知 0 0 b 0 且 a b m aabb n abba 则比较大小 m n 11 已知 n N 求证 12 31 2 1 1 22 n n n 12 已知 0 a 1 x2 y 0 求证 loga ax ay loga2 8 1 13 已知 x R 0 x 求证 221 xx x 四 高考水平训练题四 高考水平训练题 1 已知 A asin2x bcos2x B acos2x bsin2x a b x R 设 m AB n ab P A2 B2 q a2 b2 则下列结论成立的有 1 m n p q 2 m n p q 3 m p n q 4 m q n p 2 已知a b c d R M 4 a b c d N a b c b d a d c c d c b a b a d 则 比 较 大 小 M N 3 若 baba R 且3x2 0 1 a 0 记 a x a ax y a ax a x y 11 11 21 2 21 1 比较大 小 x1x2 y1y2 8 已知函数 x xa y cos1 sin 的值域是 3 4 则实数 a 的值为 9 设 a b0 P a1 a2 c1 c2 Q b1 b2 2 比较大小 P Q 2 已知 x2 y2 xy 1 则 x y 3 x y 2 3 二次函数 f x x2 ax b 记 M max f 1 f 2 f 3 则 M 的最小值为 4 设实数 a b c d 满足 a b c d 或者 a b c d 比较大小 4 a c d a b d 2a 3d c 2a 2b c d 5 已知 xi R i 1 2 n 且1 1 1 1 n i i x 则 x1x2 xn的最小值 为 这里 n 1 6 已知 x y R f x y x2 6y2 2xy 14x 6y 72 的最小值为 7 已 知 0 ak 1 k 1 2 2n 记 a2n 1 a1 a2n 2 a2 则 n k kkk aaa 2 1 21 的最大值为 8 已知 0 x 1 0 y 1 0 z 1 则 111 xy z zx y yz x 的最大值为 9 已知 2 3 x 5 求证 19231532120 i 1 2 n 且 n i i a 1 1 又 0 1 2 n 求 证 n i i i n i ii a a 11 4 1 2 1 n n 六 联赛二试水平训练题六 联赛二试水平训练题 1 设 正 实 数x y z满 足x y z 1 求 证 2 2 xyxz xz xzyz yz yzxy xy 2 设整数 x1 x2 xn与 y1 y2 yn满足 1 x1 x2 xn y1 y2 y1 y2 ym 求证 x1x2xn y