高等数学公式集锦(下).pdf

1 高等数学公式集锦 下 空间解析几何和向量代数 向量及其运算 1 12233 cosa ba ba ba ba b 122 123 ijk abaaa bbb 曲面及其方程 平面曲线 0Lf z y 绕z轴旋转一周而成旋转曲面 的方程为 22 0f zxy 曲面 H x y表示柱面 其母线平行于z轴 准线为xOy面的曲线 H x y 平面的方程 点法式方程 000 0A xxB yyC zz 一般式方程 0AxByCzD 平面外一点到该平面的距离 000 222 AxByCzD d ABC 空间直线的对称式方程 000 xxyyzz mnp 空间直线的参数式方程 0 0 0 xxmt yynt zzpt 线与线 面与面 线与面之间的位置关系 夹角 指锐角 平面0 111 zCyBxA与0 222 zCyBxA的夹角 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 21 cos CBACBA CCBBAA nn nn 直线 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx 与 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx 的夹角 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 21 cos pnmpnm ppnnmm ss ss 平面0 CzByAx与直线 p zz n yy m xx 000 的夹角 222222 sin pnmCBA CpBnAm sn sn 多元函数微分法及应用 全微分 zzuuu dzdxdydudxdydz xyxyz 多元复合函数的求导法则 dzzuzv zf u t v t dtutvt zzuzv zf u x y v x y xuxvx 隐函数求导公式 zz x y 由方程 0F x y z 确定 则 y x zz F Fzz xFyF 方向导数 数 sincos yx ff l yxf 其中 为x轴到l 方向的转角 2 coscoscos zyx fff l zyxf 其中 为l 方向的方向角 梯度 yx ffyxfgrad zyx fffzyxfgrad 微分法在几何上的应用 空间曲线 xt yt zt 在点 000 M xyz处切线方程 000 000 xxyyzz ttt 法平面方程 000000 0txxtyytzz 曲面 0F x y z 上点 000 M xyz处的切平面方程 000000000000 0 xyz F xy zxxF xy zyyF xy zzz 法线方程 000 000000000 xyz xxyyzz F xy zF x y zF xy z 二元函数的极值及其求法 偏导数存在 必要条件 极值点必为驻点 偏导数同时为零的点 充分条件 设 0000 0 xy fxyfxy 令 00 xx Afxy 00 xy Bfxy 00 yy Cfxy 则当 2 0ACB 且0A 时 00 xy为极大值点 当 2 0ACB 且0A 时 00 xy为极小值点 当 2 0ACB 时 00 xy不是极值 当 2 0ACB 时 无法判别 重积分 极坐标 cos sin DD f x y dxdyf rrrdrd 曲面 zf x y 的面积 2 2 1 D zz Adxdy xy 柱面坐标 cos sin xr yr zz f x y z dxdydzF rz rdrd dz 球面坐标 2 sin cos sin sinsin cos xr yrdvrdrd d zr 2 sinf x y z dxdydzF rrdrd d 曲线积分 对弧长的曲线积分 第一类曲线积分 设 f x y在L上连续 1 xt Lt yt 则 22 L f x y dsfttttdt 2 1 b a L xx Lf x y dsf xxy dx yx 2 对坐标的曲线积分 第二类曲线积分 xt L yt L P x y dxQ x y dyPtttQtttdt 两类曲线积分之间的关系 coscos LL PdxQdyPQds 其中 和 分别为积分曲线L切向量的方向角 格林公式 DL QP dxdyPdxQdy xy 注意 曲线及其方向 3 平面曲线积分 L PdxQdy 与路径无关 QP xy 存在函数 u x y 使得 du x yPdxQdy 其中 00 x y xy u x yPdxQdy 曲面积分 对面积的曲面积分 第一类曲面积分 设 zz x y 则 22 1 xy xy D f x y z dSf x y z x yzz dxdy 对坐标的曲面积分 第二类曲面积分 xy D R x y z dxdyR x y z x y dxdy 取曲面上侧为正 yz D P x y z dydzP x y zy z dydz 取曲面前侧为正 zx D Q x y z dzdxQ x y z x z dzdx 取曲面右侧为正 两类曲面积分的关系 coscoscos PdydzQdzdxRdxdyPQRdS 高斯公式 coscoscos PQR dvPdydzQdzdxRdxdy xyz PQRdS 注意曲面及其侧 常数项级数审敛法 级数收敛的必要条件 如果级数 1 n n u 收敛 则lim0 n n u 正项级数的审敛 根值审敛法 柯西审敛法 设lim n n n u 则当1 时 级数收敛 当1 时 级数发散 当1 时 无法判别 比值审敛法 设 1 lim n n n u u 则当1 时 级数收敛 当1 时 级数发散 当1 时 无法判别 比较审敛法的极限形式 设 1 n n u 1 n n v 为正项级数 且lim n n n u l v 则 1 当0l 时 1 n n u 和 1 n n v 具有相同的敛散 性 2 当0l 时 若 1 n n v 收敛 则 1 n n u 收敛 若 1 n n u 发散 则 1 n n v 发散 比较审敛法 设 1 n n u 1 n n v 为正项级数 且 nn uv 那么 若级数 1 n n v 收敛 则 1 n n u 收敛 若级数 1 n n u 发散 则 1 n n v 发散 交错级数 莱布尼茨定理 如果级数 1 1 1 n n n u 0 n u 满足 1 1 nn uu 2 lim0 n n u 则级数收敛且其和 1 su 其余项的绝对值 1nn ru 绝对收敛与条件收敛 12 1 n uuu 4 123 2 n uuuu 如果 2 收敛 则称 1 绝对收敛 如果 2 发散 而 1 收敛 则称 1 条件收敛 如果级数 1 绝对收敛 则级数必收敛 如果级数 2 发散 则级数 1 未必发散 但若用根值审敛法或比值审敛法判别 2 发散 则级数 1 必发散 p级数 1 0 p p n 当1p 时收敛 当1p 时发散 几何级数 0 0 n n aqa 当1q 时收敛 当1q 时发散 幂级数 求收敛半径的方法 其中0 n a 1 lim n n n a a 则 0 时 1 R 0 时 R 时 0R 常见函数的幂级数数展开 0 n x n x ex n 1 21 1 1 sin 21 n n n xxx n 2 0 1 cos 2 n n n xxx n 1 1 ln 1 1 11 n n n x xx n 21 0 arctan 1 11 21 n n n x xx n 0 1 1 1 11 n n n xxx n 傅立叶级数 0 1 cossin 2 nn n a f xanxbnx 周期为2 其中 1 cos 0 1 2 n af xnxdxn 1 sin 1 2