寿险精算原理-ppt课件专题

寿险精算原理 精 算 的 素 描 复利 生命表 保险 年金 准备金 现金价值 不丧失福利价值 净在险额 保单红利 期缴保费 趸缴纯保费 表定成本 ? 主要内容 一、精算和精算师 二、利息理论基础 三、生命表 四、人寿保险趸缴纯保费 五、生存年金 六、人寿保险均衡纯保费和毛保费 七、寿险准备金 八、寿险负债 一、精算和精算师 精算的定义 精算的简要历史 精算师的职责 什么是精算？ 精算就是应用各种数理模型来估计和分析未来不确定事件（风险）产生的影响（特别是财务方面）。以保险业为基础产生的精算科学通常指处理保险业中的风险管理问题。精算早已形成完整的体系，在社会保险、金融、投资、证券等领域广泛应用。 精算的简要历史 The seventeenth century began to see personal risk placed on a more scientific basis. Compound interest was studied, . Probability theory emerged with a publication in 1657 by the Dutch mathematician, Christian Huygens； Another important advance came in 1662 from a London draper called John Graunt. His great achievement was to show the regularities of the patterns of life and death in a group of people . He making a statistical analysis of the London Bills of Mortality. These to warn wealthy householders when the plague was increasing, so that they could leave London in time. The first person to demonstrate publicly how this could be done was Edmond Halley, the famous mathematician and astronomer, after whom the comet is named. Halley used the data in 1693 to construct his own life table, which was found to give a reasonably accurate picture of survival and became well known throughout Europe. 精算师 精算师 针对精算问题逐步形成的一种专门职业的从业人员，经过金融保险监管部门认可其从业资格。资格认定：北美和英国体系，资格考试分寿险精算师、非寿险精算师、投资与资产管理精算师、养老金精算师、咨询精算师。 中国精算职业制度 我国保险法规定： “经营人身保险业务的保险公司，必须聘用金融监督管理部门认可的精算专业人员，建立精算报告制度。 ” 1999年组织了中国首次精算师资格考试，有 43人获中国精算师资格主要应用于寿险业务，而非寿险业务。 2008年 5月 9日， 中国精算师协会 成立大会在北京召开， 大会由中国精算师协会副会长 万峰 主持， 产生了 110名中国精算师、640名中国准精算师。 。 精算师的职责 设计产品 起草保单 计算保费 精算评估 与会计部门的员工合作准备财务报表 参加公司的计划和经营规划 寿险公司各部门之间是相互依赖的！掌握基本的精算原理将有助于每一位保险公司的员工更好地理解和完成好自己的工作。 本课程的目的在于帮助大家对有关的精算原理的理解和掌握，为了提高我们的学习效率，我们可能会涉及一些简单的手工计算，希望各位主管积极配合！ 二、利息理论基础 利息理论要点 利息的度量 利息问题求解的原则 年金 分期偿还表与偿债基金 汉英名词对照 积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力 Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest 利息的定义 定义： 利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 影响利息大小的三要素： 本金 利率 时期长度 利息的度量 积累函数 金额函数 贴现函数 第 N期利息 )(ta)(tA)(1 ta 0 t 1- K- -1 )(1 ta)(ta)(tA)1()()( nAnAnI()In利息度量一 计息时刻不同 期末计息 利率 第 N期实质利率 期初计息 贴现率 第 N期实质贴现率 )1()( nAnIin)()(nAnIdn 例：实质利率 /贴现率 某人存 1000元进入银行，第 1年末存款余额为 1020元，第 2年存款余额为 1050元，求 分别等于多少？ 2121 ddii 、答案 1211112222( 0 ) 1 0 0 0 , (1 ) 1 0 2 0 , ( 3 ) 1 0 5 0(1 ) ( 0 ) 2 0( 3 ) ( 2 ) 3 0202%( 0 ) 1 0 0 0201 . 9 6 %(1 ) 1 0 2 0302 . 9 4 %(1 ) 1 0 2 0302 . 8 6 %( 2 ) 1 0 5 0A A AI A AI A AIiAIdAIiAIdA Q利息度量二 积累方式不同 线形积累 单利 单贴现 指数积累 复利 复贴现 iniiittan )1(11)(iiitant )1()(dndddttan )1(11)(1dddtant )1()(1单复利计息之间的相关关系 单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。 1t1t例： 某人存 5000元进入银行，若银行分别以 2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第 5年末分别能得到多少积累值？ 答案 5531%215000)5(%2)4(5556%2515000)5(%2)3(5520%)21(5000)5(%2)2(5500%)251(5000)5(%2)1(55）（复贴现计息单贴现计息复利计息单利计息AAAA利息问题求解原则 利息问题求解四要素 原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式 期初 /期末计息：利率 /贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 本金在投资期末的积累值 利息问题求解原则 本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题 工具：现金流图 方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。 0 1t 2t nt现金流 时间坐标 1p 2p np0p例：求本金 某人为了能在第 7年末得到 1万元款项，他愿意在第一年末付出 1千元，第 3年末付出 4千元，第 8年末付出 X元，如果以 6%的年利率复利计息，问 X=？ 答案 以第 7年末为时间参照点，有 以第 8年末为时间参照点，有 以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习） 千元7 4 3 5.31006.106.1406.1 46 xx千元7 4 3 5.306.11006.1406.1 57 xx年金 汉英名词对照 年金 支付期 延付年金 初付年金 永久年金 变额年金 递增年金 递减年金 Annuity Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity Varying annuity Increasing annuity Decreasing annuity 年金的定义与分类 定义 按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。 分类 基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金 基本年金 基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 分类 付款时刻不同：初付年金 /延付年金 付款期限不同：有限年金 /永久年金 基本年金图示 0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1 1 1 - 1 0 0- 1 1 1 - 1 0 0 0- 1 1 1 - 1 1 1- 1 1 1 - 1 1 1- 延付永久年金 初付永久年金 延付年金 初付年金基本年金公式推导 211(1 ) 1111 (1 )1 (1 ) (1 ) 11 (1 ) (1 )1 (1 )1 (1 )(1 ) (1 ) (1 )11l i m l i m11l i m l i mnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnv v va v v vviva v v i adiis i iiiis i i i sdvaaiivaadd L& LL& L& &例 有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出 5万元奖金，问在年实质利率为 20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？ 0 . 255 2 50 . 2Pa 答案：基本年金公式总结 年金 有限年金 永久年金 现时值 积累值 现时值 延付 初付 ivann 1 iis nn1)1( dvann 1 dis nn1)1( ia 1da 1分期支付与偿债基金 中英文单词对照 分期偿还方法 分期偿还表 偿债基金 偿债基金表 Amortization method Amortization schedule Sinking fund Sinking fund schedule 债务偿还方式 分期偿还： 借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。 偿债基金： 借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。 分期偿还 常见分期偿还类型 等额分期偿还 不等额分期偿还 递增分期偿还 递减分期偿还 分期偿还五要素 时期 每次还款额 每次偿还利息 每次偿还本金 未偿还贷款余额 分期偿还表（等额贷款为例） 时期 每次还款额 每次偿还利息 每次偿还本金 贷款余额 0 - - - 1 1 k 1 n 1 0 总计 n - nanv1 nv1na11 knv 1knvknav1 vnan na例 某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分 15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为 5.04%。计算（ 1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（ 2）若此人在第 18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？ 例 1 8 0 1 2 1 1 6 9121 2 1 218 1 8 0 1 8 0 . 4 2 %0 1 8 0 1 8( 1 )3 1 7 1 . 5 2 1 . 0 0 4 2 1 5 6 1 . 8 91 6 0 9 . 6 3( 2 )3 7 2 1 7 2 . 9 71 8 ( ) 2 9 2 6 0 . 3 3P P vI P PB P aI P B B 偿债基金 常见偿债基金类型 等额偿债基金 不等额偿债基金 偿债基金六要素 时期 每期偿还利息 每次存入偿债基金金额 每期偿债基金所得利息 偿债基金积累额 未偿还贷款余额 偿债基金表 （贷款利率 i， 偿债基金利率 j， 贷款 1元） 时期 支付贷款利息 每期偿债基金储蓄 每期偿债基金利息 偿债基金积累值 未偿还贷款余额 0 - - - - 1 1 0 2 K n 1 0 iii1 njsi1 j n jj s s11 j n jss1 njs1 njs1 j n jss2 j n jssk j n jss21 j n jss1n j n jj s s1k j n jj s s 1 k j n jss偿债基金利息本金分析 对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为： 第次付款的实际偿还本金为： ( 1 ) 1kkjn j n js ji j iss (1 )knjjs例 A曾借款 1万元 ,实质利率为 10%.A积累一笔实质利率为 8%的偿债基金一偿还这笔贷款 .在第 10年末偿债基金余额为 5000元 ,在第 11年末 A支付总额为 1500元 ,问 1500中又多少是当前支付给贷款的利息 ? 1500中有多少进入偿债基金 ? 1500中又多少应被认为是利息 ? 1500中有多少应被视为本金 ? 第 11年末的偿债基金余额为多少 ? 答案 59004005005000)5(9006001500)4(6004001000:11400%85000:11)3(50010001500)2(1000%101 0 0 0 0)1(11111011IPBB次付款纯利息为所以第年积累利息为偿债基金第三 、 生命表函数与生命表构造 00.00020.00040.00060.00080.0010.00120 2 4 6 810 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34男( C L 1 )女( C L 2 )男( C L 3 )女( C L 4 )本章重点 生命表函数 生存函数 剩余寿命 死亡效力 生命表的构造 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表 有关分数年龄的三种假定 本章中英文单词对照 死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表 Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables 生命表函数 生存函数 定义 意义：新生儿能活到 岁的概率。 与分布函数的关系： 与密度函数的关系： 新生儿将在 x岁至 z岁之间死亡的概率： )P r ()( xXxS )(1)( xFxS )()( xSxf xP r ( ) ( ) ( )x X z s x s z 剩余寿命 定义：已经活到 x岁的人（简记 (x)）， 还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 分布函数 ： P r ( ( ) ) ( )( ) ( )()txq T X t p r x X x t X xs x s x tsx txq剩余寿命 剩余寿命的生存函数 ： 特别： txpP r ( ( ) ) P r ( )()()txp T x t X x t X ts x tsx 0 ()x p s x剩余寿命 ： x岁的人至少能活到 x+1岁的概率 ： x岁的人将在 1年内去世的概率 ： X岁的人将在 x+t岁至 x+t+u岁之间去世的概率 xpxqxtuq1xxpp1xxqqx t u x t x t x t u xtu q q q p p 整值剩余寿命 定义： 未来存活的完整年数，简记 概率函数 ()x ()Kx( ) , ( ) 1 , 0 , 1 ,K X k k T x k k L11P r ( ( ) ) P r ( ( ) 1 )k x k x k x k xk x x k xkK X k k T x kq q p pp q q 剩余寿命的期望与方差 期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值 (均值 ),简记 剩余寿命的方差 ()x00( ( ) ) ( 1 )o x t x t xe E T x t d p p d t oxe2220( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 ot x xV a r T x E T x E T x t p d t e 整值剩余寿命的期望与方差 期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值(均值 ),简记 整值剩余寿命的方差 ()x100( ( ) )x k x x k k xkke E K x k p q p xe2 2 210( ( ) ) ( ) ( ) ( 2 1 ) k x xkV a r K x E K E K k p e 生命表的构造 有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型 (1729) Gompertze模型 (1825) 1( ) 1 , 0x xxs x x ( ) e x p ( 1 ) / l n , B 0 , c 1 , 0xxxBcs x B c c x 有关寿命分布的参数模型 Makeham模型 (1860) Weibull模型 (1939) ( ) e x p ( 1 ) / l n , B 0 , A - B , c 1 , 0xxxA B cs x A x B c c x 1( ) e x p / ( 1 ) , 0 , 0 , 0nxnkxs x k x n k n x 参数模型的问题 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表 . 生命表的发展历史 1662年 ,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单 ,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。 1693年， Edmund Halley, 根据 Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把 Halley称为生命表的创始人。 生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法） 生命表的构造 原理 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率） 常用符号 新生生命组个体数： 年龄： 极限年龄： x0l生命表的构造 个新生生命能生存到年龄 X的期望个数： 个新生生命中在年龄 x与 x+n之间死亡的期望个数： 特别： n=1时，记作 0lnxdxd1n x x x n x n xx x x x xd l l l qd l l l q xl0 ()xl l s x0l生命表的构造 个新生生命在年龄 x至 x+t区间共存活年数： 个新生生命中能活到年龄 x的个体的剩余寿命总数： txx yxt dylLxyxoxxxT l dyTel0l0ltxLxT生命表实例（美国全体人口生命表） 年龄区间 死亡比例 期初生存数 期间死亡数 在年龄区间共存活年数 剩余寿命总数 期初存活者平均剩余寿命 天 0-1 .00463 100000 463 273 7387758 73.88 1-7 .00246 99537 245 1635 7387485 74.22 7-28 .00139 99292 138 5708 7385850 74.38 年 0-1 .01260 10000 1260 98973 7387758 73.88 1-2 .00093 98740 92 98694 7288785 73.82 2-3 .00065 98648 64 98617 7190091 72.89 txx xtqxtd xtL xT xexl例 已知 计算下面各值： （ 1） （ 2） 20岁的人在 5055岁死亡的概率。 （ 3）该人群平均寿命。 )1 0 01(1 0 0 0 0 xl x 30103030302030 , qqpd答案 1000000020555020530304140301030603030303050302031303050)1001( 316/1 270/1 7/3 7/5 1001dxxlTlllqlllqlllqllpllde、四 、 人寿保险趸缴纯保费的厘定 人寿保险趸缴纯保费厘定原理 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 中英文单词对照一 趸缴纯保费 精算现时值 死亡即刻赔付保险 死亡年末给付保险 定额受益保险 Net single premium Actuarial present value Insurances payable at the moment of death Insurances payable at the end of the year of death Level benefit insurance 中英文单词对照二 定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险 Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance 人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理 人寿保险简介 什么是人寿保险 狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。 人寿保险的分类 受益金额是否恒定 定额受益保险 变额受益保险 保单签约日和保障期期始日是否同时进行 非延期保险 延期保险 保障标的的不同 人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 保障期是否有限 定期寿险 终身寿险 人寿保险的性质 保障的长期性 这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。 保险赔付金额和赔付时间的不确定性 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。 被保障人群的大数性 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。 趸缴纯保费的厘定 假定条件 : 假定一：同性别 、 同年龄 、 同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的 。 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合 。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（ 即预定利率 ） 。 纯保费厘定原理 原则 保费净均衡原则 解释 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是 在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值 基本符号 投保年龄 的人。 人的极限年龄 保险金给付函数。 贴现函数。 保险给付金在保单生效时的现时值 )(x xtbtvtzttt vbz 趸缴纯保费的厘定 趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值 趸缴纯保费的厘定 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于 ()tEz死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定 死亡即刻赔付 死亡即刻赔付的含义 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。 主要险种的趸缴纯保费的厘定 n年期定期寿险 终身寿险 延期 m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期 m年的 n年期的两全保险 递增终身寿险 递减 n年定期寿险 1、 n年定期寿险 定义 保险人只对被保险人在投保后的 n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为 n年死亡保险。 假定： 岁的人，保额 1元 n年定期寿险 基本函数关系 )(x, 0, 1 , 0 , 0 , tt tt t ttv v tv t nz b vtnb t ntn 趸缴纯保费的厘定 符号： 厘定： 1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtn ttxxtn tTnttnx 0001: )()(2、终身寿险 定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： 岁的人，保额 1元终身寿险 基本函数关系 )(x, 0 , 01 , 0 tttt t ttv v t z b v v tbt 趸缴纯保费的厘定 符号： 厘定： xA000( ) ( )x t t Tttt x x t t x x tA E z z f t d tv p d t e p d t 3、 延期终身寿险 定义 保险人对被保险人在投保 m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： 岁的人，保额 1元，延期 m年的终身寿险 基本函数关系 )(x, 0, 1 , 0 , 0 , tt tt t ttv v tv t mz b vtmb t mtm 死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定 符号： 厘定： xm A001:( ) ( )( ) ( )mx t t Tmmt T t Tx x mA E z z f t d tz f t d t z f t d tAA4、 n 年定期生存保险 定义 被保险人投保后生存至 n年期满时，保险人在第 n年末支付保险金的保险。 假定： 岁的人，保额 1元， n年定期生存保险 基本函数关系 )(x, 0, 1 , 0 , 0 , nt nt t ttv v tv t nz b vtnb t ntn 趸缴纯保费的厘定 符号： 趸缴纯保费厘定 现值随机变量的方差： 1:xnA1: () nnxnt n x n xA E z v p e p 222 1 1 2:( ) ( )()nnt n x n xx n x nV a r z v p v pAA 5、 n年定期两全保险 定义 被保险人投保后如果在 n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至 n年期满，保险人在第 n年末支付保险金的保险。它等价于 n年生存保险加上 n年定期寿险的组合。 假定： 岁的人，保额 1元， n年定期两全保险 基本函数关系 )(x, , , , 1 , 0ttt nt t t ntv t nv v t nz b vv t nv t nbt 趸缴纯保费的厘定 符号： 厘定 记： n年定期寿险现值随机变量为 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为 已知 则 :xnA1z2z3z3 1 2z z z11: : :3 1 2( ) ( ) ( ) x n x n x nE z E z E z A A A 6、 延期 m年 n年定期两全保险 定义 被保险人在投保后的前 m年内的死亡不获赔偿，从第 m+1年开始为期 n年的定期两全保险 假定： 岁的人，保额 1元，延期 m年的 n年定期两全保险 基本函数关系 )(x, 0 , , , m0 , , 1 , tt mntt t tmntv t m ntmvv t m nz b v v t m ntmv t m nbtm 趸缴纯保费的厘定 符号： 厘定 :m x nA1:11:m x n x mx m nm x nmxnA A AAA7、递增终身寿险 定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数 特别： 一年递增一次 一年递增 m次 一年递增无穷次（连续递增） 一年递增一次 现值随机变量 趸缴保费厘定 1 ttz t v01 1( ) ( ) 1 tx t t x x tktt x x tk kI A E z t v p d tk v p d t 一年递增 m次 现值随机变量 趸缴保费厘定 ()011 1 1 ( ) ( )mtx t t x x tm k smmtt x x tks m k smmtI A E z v p d tmm k sv p d tm 1 ttmtzvm一年递增无穷次（连续递增） 现值随机变量 趸缴保费厘定 ttz tv0( ) ( ) tx t t x x tI A E z t v p d t 8、递减定期寿险 定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数 特别： 一年递增一次 一年递增 m次 一年递增无穷次（连续递增） 一年递减一次 现值随机变量 趸缴保费厘定 ,0,ttn t v t nztn 1 :01 1( ) ( )( 1 )tt t x x txnkntt x x tk kD A E z n t v p d tn k v p d t 一年递减 m次 现值随机变量 趸缴保费厘定 ,0,tttmn v t nz mtn ( ) 1:011 1( ) ( )1nmtt t x x txnm k smnmtt x x tks m k smmtD A E z n v p d tmsn v p d tm 一年递减无穷次（连续递减） 现值随机变量 趸缴保费厘定 ( ) ,0,ttn t v t nztn 1:0( ) ( ) ( )ntt t x x txnD A E z n t v p d t 死亡年末赔付 趸缴纯保费的厘定 死亡年末赔付 死亡年末赔付的含义 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。 基本符号 岁投保的人整值剩余寿命 保险金在死亡年末给付函数 贴现函数。 保险赔付金在签单时的现时值。 趸缴纯保费。 kxK )(kbkvkzk k kz b v()kEzx定期寿险死亡年末赔付场合 基本函数关系 记 k为被保险人整值剩余寿命，则 11, 0 , 1 , , 11 , 0 , 1 , , 10 , , 0 , 1 , , 10 , kkkkk k kv v k nknbknv k nz b vkn LLL趸缴纯保费的厘定 符号： 厘定： 11:011:0()nkk k x x kxnknkx x kxnkA E z v p ql A v d 1:xnA死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 终身寿险 延期 m年的 n年定期寿险 延期 m年的终身寿险 n年期两全保险 延期 m年的 n年期两全保险 递增终身寿险 递减 n年定期寿险 11: xx n x n nA A A1 :xxm xmA A A1 1 1: : :xxm m mx n x n n m x m nA A A A A 1 1 1: : :m x n x m n x mA A A1 11 :10() kx k x x k j xjkjI A k v p q A 1111:( ) ( 1 )nnkk x x kx n x n jD A n k v p q A kxxkk kx qpvA 01死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系 （剩余寿命在分数时期均匀分布假定） 以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命： 则有 ( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( ) ( )T x K x S xT x K x S xv v v 11110( ) ( ) ( )T K Ssx x xE v E v E viA A v d s A 死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系 (UDD) 在满足如下两个条件的情况下，死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的 倍。 条件 1： 条件 2： 只依赖于剩余寿命的整数部分，即 i, l nttv v v tb * 1tKbb五、生存年金 生存年金简介 与生存相联的一次性支付 离散生存年金 年 h次支付生存年金 等额年金的计算基数公式 中英文单词对照 生存年金 初付年金 延付年金 确定性年金 当期支付技巧 综合支付技巧 Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment technique Aggregate payment technique 生存年金简介 生存年金 生存年金的定义： 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型 分类 初付年金 /延付年金 连续年金 /离散年金 定期年金 /终身年金 非延期年金 /延期年金 生存年金与确定性年金的关系 确定性年金 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件） 生存年金的用途 被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生