顾树生自动控制第4章习题.doc

4-6求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹（1）（2）（3）解：第（1）小题由系统的开环传递函数得知1 起点：时，起始于开环极点，即 、2 终点：时，终止于开环零点，3 根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。4 实轴上的根轨迹区间为和5 分离点与会合点，利用公式D(s)N(s)-N(s)D(s)=0其中D（s）=s2+3s+2 N（s）=s+3所以D(s)N(s)-N(s)D(s)=（2s+3）（s+3）-（s2+3s+2）= s2+6s+7=0解上述一元二次方程得： 根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（2）小题由系统的开环传递函数得知1 起点：时，起始于开环极点，即 、2 终点：时，终止于开环零点，3 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。4 实轴上的根轨迹区间为和5 分离点与会合点，利用公式D(s)N(s)-N(s)D(s)=0其中D（s）= s3+5s2+6s N（s）=s+5所以D(s)N(s)-N(s)D(s)=（3s2+10s+6）（s+5）-（s3+5s2+6s ）= s3+10s2+25s+15=0令：f（s）= s3+10s2+25s+15 用试探法求该方程的根因为，根轨迹的会合点在区间，大致在-1点附近。所以试探f（0）=150 f（-1）=-10 f（-7.5）=-12.50 则根轨迹的会合点在区间，并且在-7.25点附近，f（-7.25）=0.910解上述一元三次方程得： 6 根轨迹的渐进线渐进线倾角为：渐进线的交点为：根据以上结果画出根轨迹如下图：4-8求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹（1）（2）（3）（4）（5）解：第（1）小题由系统的开环传递函数得知1 起点：时，起始于开环极点，即 、2 终点：时，终止于开环零点，3 根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。4 实轴上的根轨迹区间为5 分离点与会合点，利用公式D(s)N(s)-N(s)D(s)=0其中D（s）= s2+2s+3 N（s）=s+2所以D(s)N(s)-N(s)D(s)=（2s+2）（s+2）-（s2+2s+3）=s2+4s+1=0因为，根轨迹的会合点在区间，大致在-7.5点附近。令：f（s）= s2+4s+1=解上述一元二次方程得： 6.根轨迹的出射角和入射角根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（2）小题由系统的开环传递函数得知1 起点：时，起始于开环极点，即 、2 终点：时，终止于开环零点，该系统零点在无穷远处。 3 根轨迹的条数，四条，四条均趋于无穷远。4 实轴上的根轨迹区间为5 分离点与会合点，利用公式D(s)N(s)-N(s)D(s)=0其中D（s）= s4+ 4s3+6s2+4s N（s）=1所以D(s)N(s)-N(s)D(s)= 4s3+12s2+12s+4=s3+3s2+3s+1=（s+1）3=0解上述一元三次方程得： 6根轨迹的渐进线渐进线倾角为：渐进线的交点为：7.根轨迹的出射角和入射角根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（3）小题由系统的开环传递函数得知1 起点：时，起始于开环极点，即 、2 终点：时，终止于开环零点， 3 根轨迹的条数，四条，一条趋于开环零点，另外三条均趋于无穷远。4 实轴上的根轨迹区间为和5 根轨迹的渐进线渐进线倾角为：渐进线的交点为：6根轨迹的出射角和入射角根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（4）小题由系统的开环传递函数得知1 起点：时，起始于开环极点，即 、2 终点：时，终止于开环零点，该系统零点为 3 根轨迹的条数，四条，一条趋于开环零点，另外三条均趋于无穷远。4 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇（此处一定要仔细！），为和5 分离点与会合点，利用公式D(s)N(s)-N(s)D(s)=0其中D（s）= s4+ 3s3+12s2-16s N（s）=s+1所以D(s)N(s)-N(s)D(s)= （4s3+9s2+24s-16）（s+1）-（s4+ 3s3+12s2-16s）=3s4+10 s3+21s2+24s-16=0解上述一元四次方程得：用试探法做，得到 6根轨迹的渐进线渐进线倾角为：渐进线的交点为：根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（5）小题由系统的开环传递函数得知1 起点：时，起始于开环极点，即 2 终点：时，终止于开环零点，该系统零点为 3 根轨迹的条数，四条，一条趋于开环零点，另外三条均趋于无穷远。4 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，为和5 分离点与会合点，利用公式D(s)N(s)-N(s)D(s)=0其中D（s）= s4+ 9s3+24s2+16s N（s）=s+10所以D(s)N(s)-N(s)D(s)= （4s3+27s2+48s+16）（s+10）-（s4+ 9s3+24s2+16s ）=3s4+58 s3+294s2+480s+160=0解上述一元四次方程得：用试探法做，得到 6根轨迹的渐进线渐进线倾角为：渐进线的交点为：根据以上结果画出根轨迹如下图：4-11已知单位反馈系统的开环传递函数为求当时，以a为参变量的根轨迹。解：系统闭环特征方程为：系统的等效开环传函为即以为参变量画该系统的根轨迹，其中由系统的传函得知1 起点：时，起始于开环极点，即 2 终点：时，终止于开环零点，该系统无零点 3 根轨迹的条数，三条，三条均趋于无穷远。4 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，为和5 分离点与会合点，利用公式D(s)N(s)-N(s)D(s)=0其中D（s）= s3+s2+0.25s N（s）=1所以D(s)N(s)-N(s)D(s)= （3s2+2s+0.25）=0解上述一元四次方程得：用试探法做，得到 6根轨迹的渐进线渐进线倾角为：渐进线的交点为：根据以上结果画出根轨迹如下图：4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法确定使闭环主导极点的阻尼比和自然角频率时的值。解：由系统的开环传递函数得知1 起点：时，起始于开环极点，即 2.终点：时，终止于开环零点，该系统无零点 3.根轨迹的条数，三条，三条均趋于无穷远。4.实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，为 5根轨迹的渐进线渐进线倾角为：渐进线的交点为：根据以上结果画出根轨迹如下图：根据题目要求：用根轨迹法确定使闭环主导极点的阻尼比和自然角频率时的值，由上图可以判断，随着的增大，闭环系统确实具有主导极点，因为要求即 得到 又要求（参见65页，图3-13）得到闭环系统的主导极点的坐标为显然闭环系统的主导极点不在根轨迹上，该题目有误。应该改为用根轨迹法确定使闭环主导极点的阻尼比的值。再求闭环系统的主导极点的坐标为根据根轨迹法则，根轨迹上的任何一点，都满足幅角条件。即 由上图可以得出 并且满足幅角条件利用令：如果则即这时 即满足幅角条件。将代入闭环系统的主导极点的坐标得到系统闭环的特征方程为将代入上述方程，得到即因为 代入上式得到所以：4-15设系统开环传递函数为试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况下的根轨迹。解：一、 负反馈情况系统的闭环特征方程为即1 起点：时，起始于开环极点，即 2.终点：时，终止于开环零点，该系统零点为3.根轨迹的条数，四条，一条终止于开环零点，另外三条均趋于无穷远。4.实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，为 和5根轨迹的渐进线渐进线倾角为：渐进线的交点为：6 射出角 根据以上结果画出根轨迹如下图：二、 正反馈情况系统的闭环特征