高中数学的七种距离_赵瑜.pdf

中学生数学 年 月上 第 期 高中 网址 电子邮箱 高 考 园 地 华南师范大学数学科学学院 赵瑜 一 高中数学中的七种距离 高中阶段 我们要求掌握的距离主要有七种 点 与点 点与线 点与面 线与线 线与面 面与面 这六 种距离是在必修教材中要求掌握的内容 属于欧氏几 何学内容 第七种 即两点的球面距离 在选修 球面上的几何 中出现 它可以说是学生第一次接触 的非欧几何的内容 是球面几何中的距离问题 但是 由于球面几何与欧氏几何有着很大的联系 因此 在 学这一部分内容的时候 我们通常采用 欧氏化 的研 究方法来得出相关结论 下面 我们对这几种距离问题进行分析 并总结 归纳其求解的方法和思路 点点距离 点点距离指的是平面上的两点距离 是我们最早 接触到的距离问题 在初一 我们已经知道 两点之间 线段最短 两点距离即两点线段长 关于它的求解方 法有如下几种 几何方法 在众多求两点距离的方法中 最直接的便是度 量 这是一种好方法 在现实生活中我们也经常使用 但在某些问题中 我们发现度量并不容易 尺子是否 够长 两点之间能否连线 那么 这就需要借助其他 工具了 图 在初中 我们可以通过构 造全等三角形的方法 把要求 的线段转化成已知或方便测 量的线段 到了高中 我们还 可以所求线段为三角形的一 边构造三角形 通过解三角形 的方法 求得线段长 这些都 是从几何性质方面来求解 解析几何方法 图 当我们引 入坐 标 系 后 我们发现点在平面上的位置 可用坐标表示出来 如图 所 示 则 有两点距离公式可得 槡 类似地 在空间中 我们也可以建立空间直角坐标系 得到点 的距离为 槡 向量方法 在必修 中 我们引入了向量工具 这时 两点距 离便可以看成是 的模 若将平面看成三维空间的特 殊情况 则在三维空间中 若 则 槡 从几何意义上解释 此时 即为 以 为对角线的平行六面体的对角线长 在平面 中 即为以 为相对顶点的平行四边形对角线长 点线距离 点到直线距离为直线外一点到直线所做的垂线 段的长 几何方法 根据定义 只需作出点到直线的垂线段即可求 在初中 我们已经能解决很多点到直线 线段 距离的 问题 求三角形的高就是一个很经典的应用 通常 我 们是用等面积法或解直角三角形的方法来解决 到了 高中 我们学习了空间立体几何 仔细分析 其实与初 中的平面几何并无不同 同样可以利用解三角形的有 关知识来解决问题 解析几何方法 解析几何是高中数学的一个重要内容 通过建立 平面直角坐标系 很多几何问题 便可以通过代数的 方法得以解决 在点线距离这个问题中 我们用 表示直线 用 表示点 那么 点 到直线 的距离即为 槡 向量方法 图 有了向量工具后 如图 我 们可以把直线 的方向向量设 为珒 那么 在直线上任取一点 与 形成的向量为 设 珒 根据点到直线距离的定 义 则有 而由向 量 的 数 量 积 可 得 珒 珒 再根据同角三角函 中学生数学 年 月上 第 期 高中 网址 电子邮箱 高 考 园 地 数关系 联立以上三式即可得 若建立直角坐标系运算 只需将各量用坐标表 示 同样的思路方法即可求解 点面距离 这时我们的思维已经从二维到了三维的空间中 面 外一点到该面的距离 其实就是过该点作该面的垂线后 垂足与该点之间的距离 这就变成了两点之间距离了 几何方法 等体积法 在空间立体几何中 我们可以把求点到面的距离 的问题看成是求锥体的高的问题 或者反过来说 求 锥体中某顶点所作的高 其实就是求该顶点到底面所 在平面的距离问题 在各省的高考题中很受青睐 而 且很多都以求体积的形式出现 图 如 年广东文科 如图 所示 在四棱锥 中 平面 是 的 中 点 是 上 的 点 且 为 中 边上的高 证明 平面 若 槡 求三棱锥 的 体积 证明 平面 此题第 问欲求体积必先求高 即是此种类型 大家不妨一试 向量方法 图 若用 向 量 方 法 来 解 这 类型问题 如图 所示 设 平面 的法 向量为珗 在 上找一点 设 珗 则 其中 珗 珗 故 珗 珗 线线距离 线线距离 即两线的公垂线段的长 若两直线平 行 那么在其中一直线上任取一点作另一直线的垂 线 垂足与该点距离即为所求 由于点的任意性 因此 并不难解决 这里重点讨论异面直线的情况 几何方法 异面直线距离的困难之处在于公垂线段难以确 定 一旦找到 问题便化归为两点距离的问题了 如何 找一条直线与已知直线 垂直且相交呢 如图 图 作直线 的平行线 与 交于点 则 和 确定了平 面 过 作平面 的垂线 交直线 于点 可证 为两直线的公垂线段 但在实际题目中 很 难 恰 好 构 造 出 这 样 的 一 个平面 即便构造成功 过 的垂线有时也不易作出 向量方法 图 有了向量工具后 一 切便简单些 其思路其实 是受上面的启发得到的 用珗 珗 表示直线 的方 向向量 由平面向量基本 定理 平面 可表示为 珗 珗 即可求出该平面的法向量珗 在直线 上任找一 点 即变成了点面距离问题 线面距离 线面距离指的是与一平面平行的直线与该平面 的距离 在这里 我们主要采用的是 降维 的思想 把 线面距离转化为线线距离或者点面距离去解决问题 若用向量的方法 则可设平面的法向量珗 直线上 一点 到平面上一点 连线 不是 在该平面上的 射影 则 珗 珗 面面距离 两平面平行 则要求两平面距离可通过转化为线 面距离 线线距离或点面距离来求解 这里不做赘述 球面距离 在人教版选修 中 我们给出了球面上的两 点距离 即过球上两点 和球心的平面截球面 得 到一个圆 这个圆是大圆 大圆上的两点 把大圆 分成两段圆弧 短的一段 即劣弧 的长度就是球面上 这两点的最短路径 即球面上两点的距离 图 求大 圆 的 弧 长 关 键 是 求弧长所 对 的 圆 心 角 如 图 设 球半径为 若弦 的长度为 则问题 转化为已知一个等腰三角形 的腰和底边长 求顶 角的问题 由余弦定理可得 所 以 球 面 上 两 点 的 距 离 即 为 下转第 页 中学生数学 年 月上 第 期 高中 网址 电子邮箱 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 上接第 页 二 总结与反思 处处体现 化归思想 把高维的物体降维处理 例如把面面距离转化为 线面距离 点面距离甚至点点距离 球面两点距离本 是一个陌生的距离定义 但是通过图像 我们同样可 以把它转化为欧氏几何中的熟悉方法来做 降维 和 欧氏化 实际上都是把不熟悉的转化为熟悉的 把立 体的转化为平面的 把未知的转化为已知的 从而达 到解决问题的目的 三角形是关键 单从几何方法来看 我们不难发现上述的多种距 离几乎都是转化到三角形中去求解 利用三角函数关 系 正弦定理和余弦定理解三角形其实就是这种距离 题目的关键所在 向量是好工具 向量是沟通几何和代数的桥梁 有了向量工具 很多从几何性质方面思考较为困难的问题 在向量的 帮助下 变得简单很多 思维量减少了不少 当然 如 果想多训练空间想象能力和思维能力 向量方法便要 逊于几何方法了 归纳反思 选择最佳方法 距离问题是高中数学的一个很重要的组成内容 其内容跨度也很大 平常学习时应注意总结归纳 特 别是在空