高三数学专题——恒成立与存在性问题.doc

高三复习专题恒成立与存在性问题知识点总结：(1)恒成立问题1. xD,均有f(x)A恒成立，则f(x)minA；2. xD,均有f(x)A恒成立，则 f(x)maxg(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) 0， F(x)min 04. xD,均有f(x)g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) 0， F(x) max 05. x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立，则f(x)min g(x)max6. x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立，则f(x) max A成立，则f(x) max A；2. x0D,使得f(x0)A成立，则 f(x) min g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)， F(x) max 04. x0D,使得f(x0) g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)， F(x) min g(x2)成立，则f(x) max g(x) min 6. x1D, x2E,均使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) min g(x2)成立，则f(x)min g(x) min2. x1D, x2E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) max A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；2.若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)g(x)的研究例1、已知函数，其中，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；【思路分析】等价转化为函数恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可对求导，故在是增函数，所以的取值范围是 探究点二 xD，f(x)g(x)的研究对于xD，f(x)g(x)的研究，先设h(x)f(x)g(x)，再等价为xD，h(x)max0，其中若g(x)c，则等价为xD，f(x)maxc.例 已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围【解答】 (1)当a1时，f(x)3x22x，f(2)14，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率kf(2)8，所以曲线yf(x)在点(2，f(x)处的切线方程为8xy20.(2)解法一：f(x)3x22ax3x(1x2)，当a1，即a时，f(x)0，f(x)在1,2上为增函数，故f(x)minf(1)11a，所以11a11，这与a矛盾当1a2，即a3时，当1xa，f(x)0；当a0，所以xa时，f(x)取最小值，因此有f0，即a3a310a3103，这与a3矛盾；当a2，即a3时，f(x)0，f(x)在1,2上为减函数，所以f(x)minf(2)184a，所以184a，这符合a3.综上所述，a的取值范围为a.解法二：由已知得：ax，设g(x)x(1x2)，g(x)1，1x2，g(x).【点评】 解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分离，由于ax2x310中x21,4，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论探究点三 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究例、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围思路分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法1：化归最值，；方法2：变量分离，或；方法3：变更主元，简解：方法1:对求导，由此可知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意，得的取值范围是探究点四 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，第一步先转化为x2D，f(x1)ming(x2)，再将该问题按照探究点一转化为f(x1)ming(x2)min.例、已知函数f(x)2|xm|和函数g(x)x|xm|2m8.(1)若方程f(x)2|m|在4，)上恒有惟一解，求实数m的取值范围；(2)若对任意x1(，4，均存在x24，)，使得f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围【解答】 (1)由f(x)2|m|在x4，)上恒有惟一解，得|xm|m|在x4，)上恒有惟一解当xmm时，得x2m，则2m0或2m4，即m2或m0.综上，m的取值范围是mg(x2)min.当4m8时，f(x)在(，4上单调递减，故f(x)f(4)2m4，g(x)在4，m上单调递减，m，)上单调递增，故g(x)g(m)2m8，所以2m42m8，解得4m6.所以4m5或68时，f(x)在(，4上单调递减，故f(x)f(4)2m4，g(x)在单调递增，上单调递减，m，)上单调递增，g(4)6m24g(m)2m8，故g(x)g(m)2m8，所以2m42m8，解得4m6.所以m8.0m4时，f(x)在(，m上单调递减，m,4上单调递增，故f(x)f(m)1.g(x)在4，)上单调递增，故g(x)g(4)82m，所以82m1，即m4.m0时，f(x)在(，m上单调递减，m,4上单调递增，故f(x)f(m)1.g(x)在4，)上单调递增，故g(x)g(4)82m，所以82m(舍去)综上，m的取值范围是(6，)【点评】 因为对于xD，f(x)c，可以转化为f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为cg(x)min，所以本问题类型可以分两步处理，转化为f(x)ming(x)min.探究点五 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，若函数f(x)的值域为C1，函数g(x)的值域为C2，则该问题等价为C1C2.例、设函数f(x)x3x2x4.(1)求f(x)的单调区间；(2)设a1，函数g(x)x33a2x2a.若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得f(x1)g(x0)成立，求a的取值范围【解答】 (1)f(x)x2x，令f(x)0，即x2x0，解得xc，可以转化为f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为cg(x)min；xD，cg(x)，可以转化为cy|yg(x)，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理2对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题练习:1.已知两函数，。（1）对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）存在，使成立，求实数的取值范围；（3）对任意，都有，求实数的取值范围；（4）存在，都有，求实数的取值