高三数学 专题17 导数及其应用课件 理.ppt

专题17导数及其应用 导数及其应用 主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题 3 主干知识梳理 1 导数的几何意义函数y f x 在点x x0处的导数值就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 其切线方程是y f x0 f x0 x x0 2 导数与函数单调性的关系 1 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 2 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 当函数在某个区间内恒有f x 0时 则f x 为常函数 函数不具有单调性 3 函数的极值与最值 1 函数的极值是局部范围内讨论的问题 函数的最值是对整个定义域而言的 是在整个范围内讨论的问题 2 函数在其定义区间的最大值 最小值最多有一个 而函数的极值可能不止一个 也可能没有 3 闭区间上连续的函数一定有最值 开区间内的函数不一定有最值 若有唯一的极值 则此极值一定是函数的最值 4 定积分的三个公式与一个定理 1 定积分的性质 2 微积分基本定理 一般地 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且f x f x 那么 f x dx f b f a 热点一导数的运算和几何意义 热点二利用导数研究函数的性质 热点三导数与方程 不等式 热点分类突破 热点四定积分 例1 1 2014 广东 曲线y e 5x 2在点 0 3 处的切线方程为 热点一导数的运算和几何意义 思维启迪先根据导数的几何意义求出切线的斜率 写出点斜式方程 再化为一般式方程 解析因为y e 5x 5x 5e 5x 所以y x 0 5 故切线方程为y 3 5 x 0 即5x y 3 0 答案5x y 3 0 2 在平面直角坐标系xoy中 设a是曲线c1 y ax3 1 a 0 与曲线c2 x2 y2 的一个公共点 若c1在a处的切线与c2在a处的切线互相垂直 则实数a的值是 思维启迪a点坐标是解题的关键点 列方程求出 解析设a x0 y0 则c1在a处的切线的斜率为f x0 3ax c2在a处的切线的斜率为 又c1在a处的切线与c2在a处的切线互相垂直 答案4 变式训练1 2 若曲线f x xsinx 1在x 处的切线与直线ax 2y 1 0互相垂直 则实数a等于 解析f x sinx xcosx f 1 即函数f x xsinx 1在点x 处的切线的斜率是1 直线ax 2y 1 0的斜率是 所以 1 1 解得a 2 2 例2已知函数f x x a ex 其中e是自然对数的底数 a r 1 求函数f x 的单调区间 热点二利用导数研究函数的性质 思维启迪直接求f x 利用f x 的符号确定单调区间 解因为f x x a ex x r 所以f x x a 1 ex 令f x 0 得x a 1 当x变化时 f x 和f x 的变化情况如下 故f x 的单调减区间为 a 1 单调增区间为 a 1 2 当x 0 4 时 求函数f x 的最小值 思维启迪讨论区间 0 4 和所得单调区间的关系 一般情况下 f x 的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到 解由 1 得 f x 的单调减区间为 a 1 单调增区间为 a 1 所以当 a 1 0 即a 1时 f x 在 0 4 上单调递增 故f x 在 0 4 上的最小值为f x min f 0 a 当0 a 1 4 即 5 a 1时 f x 在 0 a 1 上单调递减 f x 在 a 1 4 上单调递增 故f x 在 0 4 上的最小值为f x min f a 1 e a 1 当 a 1 4 即a 5时 f x 在 0 4 上单调递减 故f x 在 0 4 上的最小值为f x min f 4 a 4 e4 所以函数f x 在 0 4 上的最小值为 变式训练2 已知函数f x lnx a r 1 若函数f x 在 2 上是增函数 求实数a的取值范围 f x 在 2 上是增函数 即a 在 2 上恒成立 令g x 则a g x min x 2 g x 在 2 上是增函数 g x min g 2 1 a 1 所以实数a的取值范围为 1 2 若函数f x 在 1 e 上的最小值为3 求实数a的值 解由 1 得f x x 1 e 若2a0 即f x 0在 1 e 上恒成立 此时f x 在 1 e 上是增函数 所以 f x min f 1 2a 3 解得a 舍去 若1 2a e 令f x 0 得x 2a 当10 所以f x 在 2a e 上是增函数 所以 f x min f 2a ln 2a 1 3 解得a 舍去 若2a e 则x 2a 0 即f x 0在 1 e 上恒成立 此时f x 在 1 e 上是减函数 所以 f x min f e 1 3 得a e 适合题意 综上a e 热点三导数与方程 不等式 例3已知函数f x lnx g x a 0 设f x f x g x 1 求函数f x 的单调区间 思维启迪利用f x 确定单调区间 a 0 由f x 0 x a f x 在 a 上是增函数 由f x 0 x 0 a f x 在 0 a 上是减函数 f x 的单调递减区间为 0 a 单调递增区间为 a 2 若以函数y f x x 0 3 图象上任意一点p x0 y0 为切点的切线的斜率k 恒成立 求实数a的最小值 思维启迪k f x0 f x0 分离a 利用函数思想求a的最小值 解由f x 0 x 3 得 思维启迪利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化 3 是否存在实数m 使得函数y g m 1的图象与函数y f 1 x2 的图象恰有四个不同交点 若存在 求出实数m的取值范围 若不存在 说明理由 当x变化时g x g x 的变化情况如下表 由上表知 g x 极小值 g 0 g x 极大值 g 1 g 1 ln2 0 又由g 2 g 2 ln5 2 可知 当m ln2 时 y g x 与y m恰有四个不同交点 故存在m ln2 使函数y g m 1的图象与y f 1 x2 的图象恰有四个不同交点 变式训练3 已知函数f x a x2 1 lnx 1 讨论函数f x 的单调性 当a 0时 恒有f x 0 则f x 在 0 上是增函数 当a0 故f x 在 0 上是增函数 若x 则f x 0 故f x 在 上是减函数 综上 当a 0时 f x 在 0 上是增函数 当a 0时 f x 在 0 上是增函数 在 上是减函数 2 若对任意a 4 2 及x 1 3 恒有ma f x a2成立 求实数m的取值范围 解由题意 知对任意a 4 2 及x 1 3 恒有ma f x a2成立 等价于ma a2 f x max 由 1 知当a 4 2 时 f x 在 1 3 上是减函数 所以f x max f 1 2a 所以ma a2 2a 即m a 2 因为a 4 2 所以 2 a 2 0 所以实数m的取值范围为m 2 热点四定积分 思维启迪利用微积分基本定理先求出a 再求分段函数的函数值 答案7 2 2014 山东 直线y 4x与曲线y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 a 2b 4c 2d 4 思维启迪利用图形将所求面积化为定积分 解析令4x x3 解得x 0或x 2 d 变式训练4 1 若 2x dx 3 ln2 且a 1 则a的值为 a 6b 4c 3d 2 由题意 可得a2 lna 1 3 ln2 解得a 2 d 2 如图 阴影部分的面积是 答案由题图 可知阴影部分面积为 c 1 函数单调性的应用 1 若可导函数f x 在 a b 上单调递增 则f x 0在区间 a b 上恒成立 2 若可导函数f x 在 a b 上单调递减 则f x 0在区间 a b 上恒成立 3 可导函数f x 在区间 a b 上为增函数是f x 0的必要不充分条件 本讲规律总结 2 可导函数极值的理解 1 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定 也有可能极小值大于极大值 2 对于可导函数f x f x 在x x0处的导数f x 0 是 f x 在x x0处取得极值 的必要不充分条件 3 注意导函数的图象与原函数图象的关系 导函数由正变负的零点是原函数的极大值点 导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 3 利用导数解决优化问题的步骤 1 审题设未知数 2 结合题意列出函数关系式 3 确定函数的定义域 4 在定义域内求极值 最值 5 下结论 4 定积分在几何中的应用被积函数为y f x 由曲线y f x 与直线x a x b a b 和y 0所围成的曲边梯形的面积为s 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 1 2014 江西 若曲线y e x上点p处的切线平行于直线2x y 1 0 则点p的坐标是 解析设p x0 y0 y e x y e x ln2 2 x0 ln2 x0 ln2 y0 eln2 2 点p的坐标为 ln2 2 点p处的切线斜率为k 2 真题感悟 2 1 2 2014 浙江 已知函数f x x3 3 x a a 0 若f x 在 1 1 上的最小值记为g a 1 求g a 解因为a 0 1 x 1 所以 当0 a 1时 若x 1 a 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 真题感悟 2 1 故f x 在 1 a 上是减函数 若x a 1 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 a 1 上是增函数 所以g a f a a3 真题感悟 2 1 当a 1时 有x a 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 1 上是减函数 所以g a f 1 2 3a 真题感悟 2 1 2 证明 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 证明令h x f x g a 当0 a 1时 g a a3 若x a 1 则h x x3 3x 3a a3 h x 3x2 3 所以h x 在 a 1 上是增函数 所以 h x 在 a 1 上的最大值是h 1 4 3a a3 真题感悟 2 1 且0 a 1 所以h 1 4 故f x g a 4 若x 1 a 则h x x3 3x 3a a3 h x 3x2 3 所以h x 在 1 a 上是减函数 所以 h x 在 1 a 上的最大值是h 1 2 3a a3 真题感悟 2 1 令t a 2 3a a3 则t a 3 3a2 0 知t a 在 0 1 上是增函数 所以 t a t 1 4 即h 1 4 故f x g a 4 真题感悟 2 1 当a 1时 g a 2 3a 故h x x3 3x 2 h x 3x2 3 此时h x 在 1 1 上是减函数 因此h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 故f x g a 4 综上 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 押题精练 1 2 1 已知函数f x x g x x2 2ax 4 若任意x1 0 1 存在x2 1 2 使f x1 g x2 则实数a的取值范围是 解析由于f x 1 0 因此函数f x 在 0 1 上单调递增 所以x 0 1 时 f x min f 0 1 押题精练 1 2 根据题意可知存在x 1 2 使得g x x2 2ax 4 1 令h x 则要使a h x 在x 1 2 能成立 只需使a h x min 押题精练 1 2 押题精练 1 2 2 已知函数f x lnx x 1 3 1 求f x 的最大值与最小值 令f x 0得