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文档简介

习题4.11求解下列波动方程的柯西问题的解;(1). 解: 代入初始条件得到:在式两端对积分一次,得到联立可以得到:则有 即有:2.求解解:令原定解问题可以分解为: (1).先求解的解代入达朗贝尔方程得到:代入边界条件:(2).求解的解: 先求解齐次方程柯西问题的解: 令,则有利用达朗贝尔公式,有因此原柯西问题的解为:因此有3.解:令代入方程可以得到: 令,可以得到:由达朗贝尔公式可以得到:随意原定解问题的解为:习题4.21. 求解半无界弦定解问题: 解:代入则有既有可以得到: 因此进行奇延拓到整个无界区域,令: 因此定界问题为无界自由振动的定解问题 由达朗贝尔公式可以得到:5.均匀气体的初始振动区域是一个半径为的球,所有气体质点的初速度都为零,而初始浓度在球内是常数,在球外是零。求任意时刻,处的浓度,这里是初始扰动范围处的一点。解:根据条件列出方程:这里r是扰动区域中心到球外任意一点的距离,可以看出这是球面对称问题,可视为球面波,由球面波的通解表达式:, =且M在球面内,即rR(1) 若r+atR,则|r-at|=R,即at=R-r时, 而当 |r-at|R,即R-r=at=R,即at=R+r,时,所以综上可得: 习题4.31. 求解下列定解问题: 解:代入泊松公式有: 2. 利用二维泊松公式求解下题:解:由二维公式代入公式 习题4.41. 利用泊松公式解波动方程柯西问题: 解:将定解问题化为: I先求解(1) 将其带入泊松公式 II.求解(2)先求解定解问题: 由泊松公式知:因此因此有4.求证是非齐次波动方程柯西问题 解:对应的齐次化定解问题为: 令 由泊松公式; 因此根据齐次化原理:习题5.11.若,求证:证:由,可以得到:因此有:因此有4.求证证:(1).当时,(2). 当时既有:5.求的傅里叶变换。解:其傅里叶变换为:9.求,傅里叶正弦与余弦变换。解: 正弦变换:余弦变换时:习题5.21. 用傅氏变换法求解下列定解问题 解:对初值问题做关于傅里叶变换,得 该方程为带参数的常微分方程的初值问题。解得 于是因此有:作像函数的傅里叶逆变换利用延迟定理:作傅里叶变换得到:因此有因此有2. 用傅氏变换法求解下列定解问题:解:对方程进行偶严拓,令 则有:对初值问题作关于的傅里叶变换:令 代入可以得到: 则有作像函数的逆变换: 6.用傅氏变换求半无界杆上热传导问题:解:对方程进行偶严拓,令 则有: 利用傅里叶变换求解: 对方程两边取关于的傅氏变换,得到: 对初始条件两端取傅氏变换,得到: 于是: 根据傅氏变换的卷积性质,得到: 因为为偶函数,所以 满足边界条件因此有: 令,对上式第一项变形有: 因此:习题5.31. 求证:拉氏变换的位移定理成立证明:令则由定义 又因为:因此有: 因此有: 2. 用留数定理计算解:令 ,和是其极点则有: 因此有:3.求函数的拉氏变换。解:由拉氏变换可以得到: 7.求下列函数的拉氏逆变换: (1).解: 习题5.41. 用拉氏变换法解下列定解问题:解:对方程两边做对拉普拉斯变换, 同时 因此: 因此可以得到:对作逆变换: 2.用拉氏变换法求解定解问题: 解:对进行拉氏变换: 因此方程两边作拉氏变换得到:解得: 于是有: 所以既有因此有3.用拉氏变

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