数学物理方程.doc

习题4.11求解下列波动方程的柯西问题的解;(1). 解: 代入初始条件得到:在式两端对积分一次，得到联立可以得到:则有 即有：2.求解解：令原定解问题可以分解为： (1).先求解的解代入达朗贝尔方程得到：代入边界条件:(2).求解的解： 先求解齐次方程柯西问题的解： 令，则有利用达朗贝尔公式，有因此原柯西问题的解为：因此有3.解：令代入方程可以得到： 令，可以得到：由达朗贝尔公式可以得到：随意原定解问题的解为：习题4.21. 求解半无界弦定解问题： 解：代入则有既有可以得到： 因此进行奇延拓到整个无界区域，令: 因此定界问题为无界自由振动的定解问题 由达朗贝尔公式可以得到：5.均匀气体的初始振动区域是一个半径为的球，所有气体质点的初速度都为零，而初始浓度在球内是常数，在球外是零。求任意时刻，处的浓度，这里是初始扰动范围处的一点。解：根据条件列出方程:这里r是扰动区域中心到球外任意一点的距离，可以看出这是球面对称问题，可视为球面波，由球面波的通解表达式：， =且M在球面内，即rR(1) 若r+atR,则|r-at|=R,即at=R-r时， 而当 |r-at|R,即R-r=at=R，即at=R+r,时，所以综上可得： 习题4.31. 求解下列定解问题： 解：代入泊松公式有： 2. 利用二维泊松公式求解下题：解：由二维公式代入公式 习题4.41. 利用泊松公式解波动方程柯西问题： 解：将定解问题化为： I先求解（1） 将其带入泊松公式 II.求解（2）先求解定解问题： 由泊松公式知：因此因此有4.求证是非齐次波动方程柯西问题 解：对应的齐次化定解问题为： 令 由泊松公式； 因此根据齐次化原理：习题5.11.若，求证:证：由，可以得到：因此有：因此有4.求证证：(1).当时，(2). 当时既有：5.求的傅里叶变换。解：其傅里叶变换为:9.求，傅里叶正弦与余弦变换。解： 正弦变换：余弦变换时：习题5.21. 用傅氏变换法求解下列定解问题 解：对初值问题做关于傅里叶变换，得 该方程为带参数的常微分方程的初值问题。解得 于是因此有：作像函数的傅里叶逆变换利用延迟定理：作傅里叶变换得到：因此有因此有2. 用傅氏变换法求解下列定解问题：解：对方程进行偶严拓，令 则有:对初值问题作关于的傅里叶变换：令 代入可以得到: 则有作像函数的逆变换： 6.用傅氏变换求半无界杆上热传导问题：解:对方程进行偶严拓，令 则有: 利用傅里叶变换求解： 对方程两边取关于的傅氏变换，得到： 对初始条件两端取傅氏变换,得到: 于是： 根据傅氏变换的卷积性质，得到： 因为为偶函数，所以 满足边界条件因此有： 令，对上式第一项变形有: 因此：习题5.31. 求证：拉氏变换的位移定理成立证明：令则由定义 又因为：因此有: 因此有： 2. 用留数定理计算解：令 ，和是其极点则有： 因此有：3.求函数的拉氏变换。解：由拉氏变换可以得到： 7.求下列函数的拉氏逆变换： (1).解: 习题5.41. 用拉氏变换法解下列定解问题:解：对方程两边做对拉普拉斯变换， 同时 因此: 因此可以得到:对作逆变换： 2.用拉氏变换法求解定解问题: 解：对进行拉氏变换： 因此方程两边作拉氏变换得到：解得： 于是有： 所以既有因此有3.用拉氏变