工程数学(复变函数 积分变换 场论).pdf

第四章第四章第四章 第四章 级数级数级数级数 第一节 复数项级数 第二节 幂级数 第三节 泰勒级数 第四节 罗朗级数 第五节 孤立奇点 第一节 复数项级数 第二节 幂级数 第三节 泰勒级数 第四节 罗朗级数 第五节 孤立奇点 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 2 2 第一节 复数项级数第一节 复数项级数 一 复数列的极限 二 级数的概念 一 复数列的极限 二 级数的概念 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 3 3 定义定义 设设 2 1 n n 为一个复数列 其中为一个复数列 其中 nnn iba 又设又设iba 为一定复数 如果对 任意给定的 为一定复数 如果对 任意给定的 0 相应的总可以找到一个正整数 相应的总可以找到一个正整数 N 使当使当 Nn 时 恒有时 恒有 n那么那么 称为复数列称为复数列 n 当 当 n 时的极限 此时也称为复数列 时的极限 此时也称为复数列 n 收敛于收敛于 n n lim 记为 由于 记为 由于 bbaa nnn 且且 2 2 nnn bbaa 因此有因此有 一 复数列的极限一 复数列的极限 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 4 4 定理一定理一 且 复数列 且 复数列 2 1 n n收敛于收敛于 的充要 条件是 的充要 条件是 ReRelim n n ImImlim n n 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 5 5 定义定义设设 2 1 niba nnn 为一复数列 称表示式 为一复数列 称表示式 n n n21 1 为为无穷级数无穷级数 而称其前 而称其前n项的和项的和 nn S 21 为级数的为级数的部分和部分和 如果复数列 如果复数列 n S是收敛到是收敛到 limSSn n 即即 S 则称 级数 则称 级数 1n n是是收敛的收敛的 且和为 且和为 S否则称为是否则称为是发散的发散的 二 级数的概念二 级数的概念 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 6 6 定理二定理二复数项级数复数项级数 11 n nn n n iba 收敛的 充要条件是实数项级数 收敛的 充要条件是实数项级数 11 n n n n ba 都收敛 事实上 都收敛 事实上 nn nnnn i bbiaaS 111 由定理一得由定理一得 n n n n n n SSlim limlim 利用实数项级数的性质 利用实数项级数的性质 0lim 1 n n n n aa 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 7 7 我们得复数项级数收敛的必要条件 我们得复数项级数收敛的必要条件 1n n如果复数项级数收敛 则必有如果复数项级数收敛 则必有 0lim n n 定理三定理三如果级数如果级数 1 n n收敛 则级数收敛 则级数 1n n 必收敛 且不等式必收敛 且不等式 11 n n n n成立 证明 由于实数项级数 成立 证明 由于实数项级数 1 22 1 n nn n n ba 收敛 且收敛 且 2222 nnnnnn babbaa 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 8 8 收敛 从而收敛 从而 11 n n n n ba 都收敛 由定理二知都收敛 由定理二知 1n n收 敛 又因 收 敛 又因 n k k n k k 11 所以所以 n k k n n k k n 11 lim lim 即即 11 n n n n 利用正项级数敛散性的比较判别法知利用正项级数敛散性的比较判别法知 11 n n n n ba 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 9 9 定义定义如果如果 1 n n收敛 则称级数收敛 则称级数 1n n绝对收敛绝对收敛 如果 如果 1n n收敛 而收敛 而 1 n n发散 则称发散 则称 1n n条件收敛条件收敛 由于当 由于当nnn iba 时有时有 22 nnnn baba 且且 nnnn ba 所以我们有 级数所以我们有 级数 1n n绝对收敛的充要条件是实数项 级数 绝对收敛的充要条件是实数项 级数 11 Im Re n n n n绝对收敛 绝对收敛 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 10 10 例1判别下列数列的敛散性 若收敛求极限 1 例1判别下列数列的敛散性 若收敛求极限 1 1 1 1 1 2 i n n n e n 2 2 in n n sin 1 解1 解1 2 1 1sin 2 1 1 cos 1 1 n i nn n n 由于由于 limRe n n 收敛 所以数列收敛 所以数列 i n n n e n 1 1 2 1 1 且且 ie n n lim limIm n n 11 lim 1 cos 1 2 n n nn 0 11 lim 1 sin 1 2 n n nn e 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 11 11 2 2 in n n sin 1 2 nn ee in 2 2 sinh 1 ni n n 由于由于 sinh 1 0n n ba nn 且且 n n blim 因此 因此 n 是一个发散数列 是一个发散数列 例2判别下列级数的敛散性 1 例2判别下列级数的敛散性 1 1 1 1 n n i n 2 2 1 2 n n n i 3 3 1n n n i 解1 由于解1 由于 1 1 Re 1 n i nn 发散 所以原级数发散 是绝对收敛还是条件收敛 如果收敛 指出 发散 所以原级数发散 是绝对收敛还是条件收敛 如果收敛 指出 1 1 n n 第一节第一节第一节第一节复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 12 12 2 2 1 2 n n n i 2 由于2 由于 2 1 n n i n 收敛 所以原级数绝对收敛 收敛 所以原级数绝对收敛 2 1 1 n n 3 3 1n n n i 3 由于3 由于 1 n n i n 发散 所以原级数不是 绝对收敛 又由于 发散 所以原级数不是 绝对收敛 又由于 1 n n i n 而利 用交错级数的莱布尼茨判别法知 而利 用交错级数的莱布尼茨判别法知 1 1 1 12 1 2 1 n n n n nn 都是收敛的 所以原级数条件收敛 都是收敛的 所以原级数条件收敛 1 1 n n 1 1 2 n n n 1 1 1 21 nn n i n 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 13 13 第二节 幂级数第二节 幂级数 一 幂级数的概念 二 收敛圆与收敛半径 三 收敛半径的求法 四 幂级数的运算 一 幂级数的概念 二 收敛圆与收敛半径 三 收敛半径的求法 四 幂级数的运算 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 14 14 定义定义 设设 2 1 nzfn 为一个复函数列 其中 每个函数在同一区域 为一个复函数列 其中 每个函数在同一区域D上有定义 称表示式上有定义 称表示式 1 2 4 21 1 zfzfzfzf n n n 为为复变函数项级数复变函数项级数 记作 记作 1 n n zf n 级数的前级数的前n项的和项的和 1 zfzfzS nn 称为前项的称为前项的部分和部分和 如果对于 如果对于D中的某一点中的某一点 0 z 有有 lim 00 zSzSn n 一 幂级数的概念一 幂级数的概念 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 15 15 则称则称0 z 为级数的为级数的收敛点收敛点 而 而 0 zS 称为级数在称为级数在0 z 处的和 收敛点的全体称为 处的和 收敛点的全体称为收敛域收敛域 如果对于 如果对于D 中的点中的点 1 z 数列数列 1 zS 发散 则称 发散 则称1 z 为级数的为级数的发散点发散点 对于级数的收敛域中每一 点 对于级数的收敛域中每一 点 z 级数的和级数的和 zS为定义在收敛域上的函数 如果取 为定义在收敛域上的函数 如果取 1 01 n nn zzczf 我们可得我们可得 0 zz 的幂 级数 的幂 级数 2 2 4 0010 0 0 n n n n n zzczzcc zzc 数的数的和函数和函数 称为级 称为级 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 16 16 如果取如果取 n nn zczf 1 我们得我们得 z的幂级数 的幂级数 3 2 4 10 0 n n n n n zczcczc 对于对于 2 2 4 如果令如果令0 zz 就可以转化为对就可以转化为对 3 2 4 的讨论 的讨论 定理一定理一 阿贝尔 Abel 定理 如果级数 阿贝尔 Abel 定理 如果级数 0n n nz c 在在 0 0 zz 处收敛 则对满足处收敛 则对满足 0 zz 的的 z 级数 必绝对收敛 如果级数在 级数 必绝对收敛 如果级数在 1 zz 处发散 则对满足 级数必发散 处发散 则对满足 级数必发散 1 zz 的的 z 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 17 17 证明 由于级数 证明 由于级数 0 0 n n nz c 收敛 根据收敛级数 的必要条件知 收敛 根据收敛级数 的必要条件知 0lim 0 n n n zc因此存在正数因此存在正数 M 使得对 一切 使得对 一切 n 有有 0 Mzc n n 如果如果 0 zz 则则 1 0 q z z 而而 n n n n n n n Mq z z zczc 0 0 因为因为 0n n Mq 为公比小于1的等比级数 故收敛 由正 项级数的比较判别法知 为公比小于1的等比级数 故收敛 由正 项级数的比较判别法知 0 n n nz c收敛 即级数收敛 即级数 0n n nz c 绝对收敛 绝对收敛 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 18 18 定理的另一部分证明用反证法 事实上如果定理的另一部分证明用反证法 事实上如果 1 zz 而级数而级数 1n n nz c 收敛 由定理的第一部分知 级数收敛 由定理的第一部分知 级数 0 1 n n nz c 必收敛 矛盾 必收敛 矛盾 1n n nz c 必发散 矛盾表明级数必发散 矛盾表明级数 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 19 19 根剧阿贝尔定理 幂级数的收敛域只可能有下面三 种情况 1 对所有的实数都是收敛的 此时幂级数的收敛 域为整个复平面 2 对除 根剧阿贝尔定理 幂级数的收敛域只可能有下面三 种情况 1 对所有的实数都是收敛的 此时幂级数的收敛 域为整个复平面 2 对除0 z外的所有实数都是发散的 3 存在一个正实数 外的所有实数都是发散的 3 存在一个正实数 使幂级数在使幂级数在 处收敛 显然 处收敛 显然 因此在以原点为心 因此在以原点为心 为半径的圆周为半径的圆周 C 的内部 幂级 在一个正实数 的内部 幂级 在一个正实数 使幂级数在使幂级数在 z 处发散 且存 数仅在 处发散 且存 数仅在0 z处收敛 此时幂级 处收敛 此时幂级 二 收敛圆与收敛半径二 收敛圆与收敛半径 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 20 20 数是绝对收敛的 现在 数是绝对收敛的 现在 C 外部 外部 C 的内 部取数 的内 部取数 2 若幂级数在此点发 散 则对一切 若幂级数在此点发 散 则对一切 2 z 级数一定 发散 即发散点增加 若幂级数在 级数一定 发散 即发散点增加 若幂级数在 2 处收敛 则对一 切满足 处收敛 则对一 切满足 2 z 的的 z 级数一定绝对收敛 如此下去 一定存在一个正数 级数一定绝对收敛 如此下去 一定存在一个正数R及其一个以原点为心 及其一个以原点为心 R 为半径的 圆周 为半径的 圆周 R C 使得幂级数在其内部绝对收敛 在其外部发散 使得幂级数在其内部绝对收敛 在其外部发散 R 在以原点为心 为半径的圆周 在以原点为心 为半径的圆周 C 的外部 数一定发散 幂级的外部 数一定发散 幂级 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 21 21 R C 为为收敛圆周收敛圆周 因此 幂级数在收敛圆周 的内部一定是绝对收敛的 我们称 这样的 因此 幂级数在收敛圆周 的内部一定是绝对收敛的 我们称 这样的R 为幂级数的为幂级数的 收敛半径收敛半径 的内部 即 的内部 即 R C Rz 为为收敛圆 盘 收敛圆 盘 收敛圆周的外 在 部一定是发散的 情况具体分析 在收敛圆周上 具体 为统一起见 我们规定 当幂级数在整个复平面上 收敛时 收敛半径 收敛圆周的外 在 部一定是发散的 情况具体分析 在收敛圆周上 具体 为统一起见 我们规定 当幂级数在整个复平面上 收敛时 收敛半径 R 当幂级数仅在当幂级数仅在0 z收敛 收敛 R 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 22 22 解 幂级数的部分和为 解 幂级数的部分和为 1 1 1 1 1 z z z zzzS n n n 由于由于 1 1 1 1 lim z z z zSn n 所以当所以当1 z时 幂级数是发散的 因此幂级数的收敛 收敛半径 时 幂级数是发散的 因此幂级数的收敛 收敛半径 0 R 例1求幂级数例1求幂级数 0n n z的收敛圆盘和和函数 当 的收敛圆盘和和函数 当 1 z 时 幂 级数是收敛的 从而是绝对收敛的 时 幂 级数是收敛的 从而是绝对收敛的 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 23 23 半径半径 1 R收敛圆盘为收敛圆盘为 1 z 和函数为和函数为 z 1 1 即即 4 2 4 1 1 1 1 z z zz n 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 24 24 定理二定理二 比值法 在幂级数 比值法 在幂级数 3 2 4 中 如果中 如果 0 n c 且且 lim 1 n n n c c 包括 包括 则幂级数的收敛半径为 则幂级数的收敛半径为 0 0 1 0 R 证明 当 证明 当0 z时 由于 三 收敛半径的求法 时 由于 三 收敛半径的求法 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 25 25 1 1 lim n n n n n cz c z 因此 1 当 因此 1 当 时 对任意的时 对任意的 1 0 zz级数发散 即 级数发散 即 0 R 2 当 2 当 0 时 如果时 如果 1 z 即即 1 z 级数 绝对收敛 如果 级数 绝对收敛 如果 1 z 即即 1 z 级数一定发散 若不然 可选取 级数一定发散 若不然 可选取 1 z 使得使得 1 1 zz 且级数在且级数在1 z 绝对收敛 这与绝对收敛 这与1 lim 1 1 1 11 z zc zc n n n n n 矛盾 矛盾 1 lim n n n c z c z 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 26 26 因此 收敛半径因此 收敛半径 1 R 3 3 当当 0 时 对于复平面内的每个 时 对于复平面内的每个 z 由于由于 10 z级数是绝对收敛的 因此 收敛半径级数是绝对收敛的 因此 收敛半径 R 定理三定理三 根值法 在幂级数 根值法 在幂级数 3 2 4 中 如果中 如果 0 n c 且且 n n n c lim 包括 包括 则幂级数的收敛半径为 则幂级数的收敛半径为 0 0 1 0 R 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 27 27 例2求下列幂级数的收敛圆和收敛半径 1 例2求下列幂级数的收敛圆和收敛半径 1 1 2 n n n z n i 2 2 sin 1 n n inz 3 3 1 2 1 1 2 n nnn z n 解 1 解 1 2 n i c n n 且且 1 lim n n n c c 因此收敛半径因此收敛半径 1 R收敛圆盘收敛圆盘 1 z 2 2 sin n cin 且 且 1 lim n n n c c 因此收敛半径因此收敛半径 1 e R 收敛圆盘为收敛圆盘为 e z 1 2 2 lim 1 n n n 1 2 nn i ee 11 lim nn nn n ee ee e 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 28 28 3 3 1 1 2 2 nn n n c 且且 lim n n n c 收敛半径收敛半径 2 1 e R 收敛圆盘为收敛圆盘为 e z 2 1 例3求下列幂级数的收敛半径与收敛圆盘 1 例3求下列幂级数的收敛半径与收敛圆盘 1 sinh 2 1 n n n i z 2 2 2 2 1 1 n n n z ni 3 3 1 1 3 n nnn z 解 1 解 1 1 sinh 2 1 lim sinh 1 n n n i z n i z n 由于由于 1 lim2 1 n n n 2 e 1 sin 1 lim 2 1 sin n n z n 2 z sinh i n2 ii nn ee 1 sini n 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 29 29 因此 当因此 当 1 2 z时 幂级数绝对收敛 当时 幂级数绝对收敛 当 1 2 z 时 幂级数一定发散 即收敛半径时 幂级数一定发散 即收敛半径 1 R收敛圆盘 为 收敛圆盘 为 1 2 z 2 由于2 由于 2 2 lim 1 n n n n z ni 因此 当 因此 当2 2 z时 时 4 1 2 z时 当时 当 2 2 z 即即 4 1 2 z时 所以 幂级数的收敛半径 时 所以 幂级数的收敛半径 24 1 R收敛圆盘为收敛圆盘为 4 1 2 z 2 1 z i 2 2 z 幂级数绝对收敛 即 幂级数一定发散 幂级数绝对收敛 即 幂级数一定发散 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 30 30 3 3 1 1 3 n nnn z 所以幂级数绝对收敛 而当 所以幂级数绝对收敛 而当 4 1 z时 时 0 1 3 lim 0 nnn n z 所以 幂级数一定发散 因此 幂级数的收敛半径所以 幂级数一定发散 因此 幂级数的收敛半径 4 1 R 收敛圆盘为收敛圆盘为 4 1 z 3 由于 当3 由于 当 4 1 z时 时 nnnnn zz 4 1 3 0 4 n n z 由于 由于收敛 由于 由于收敛 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 31 31 定理四定理四设幂级数设幂级数 0n n nz a 的收敛半径为的收敛半径为 1 R 和函 数为 和函 数为 zf幂级数幂级数 0n n nz b 的收敛半径为的收敛半径为 2 R 和函数为和函数为 g z 则当则当12 min zR R 时 时 5 2 4 0 00 n n nn n n n n n n zba zbzazgzf 6 2 4 000 n n n n n n n n n zczbzazgzf 有有 四 幂级数的运算四 幂级数的运算 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 32 32 其中其中 0110 bababac nnnn 说明 说明 6 2 4 5 2 4 式的右边的幂级数的收敛半 径可能大于 式的右边的幂级数的收敛半 径可能大于12 min RR 例如幂级数例如幂级数 0 21 2 n n n n z 和 幂级数 和 幂级数 0n n z 的收敛半径都是的收敛半径都是 1但是幂级数但是幂级数 00 21 1 21 2 1 n n n n n n n zz 收敛半径为 收敛半径为 2 定理五定理五设幂级数设幂级数 0n n nz a的收敛半径为的收敛半径为 r 和函 数为 和函 数为 zf又设当又设当Rz 时 时 zg 解析 且解析 且 rzg 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 33 33 则当则当 Rz 时 时 7 2 4 0 n n n zgazgf 例4设例4设 ba 将将 bz zf 1 表示成表示成 az 的幂 数形式 解 的幂 数形式 解 1 zb 由于当由于当 abRaz 时 时 1 ab az 利用例1和定 理五知 利用例1和定 理五知 f z 1 abza 11 1 z a b a ab 0 1 n n n za abba 1 0 n n n za ba 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 34 34 定理六定理六设幂级数设幂级数0 0 n n n azz 的收敛半径为的收敛半径为 R 和函数为和函数为 zf 则 1 则 1 zf是是 Rzz 0 上的解析函数 且上的解析函数 且 fz 0 0 n n n azz 1 0 1 n n n nazz 0 0 n n n azz 4 2 8 fz 1 0 1 n n n nazz 即即 第二节第二节第二节第二节幂级数幂级数幂级数幂级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 35 35 0 z z f z dz 2 2 zf 为为 Rzz 0上可积函数 且对 上可积函数 且对 Rzz 0 上的任一条曲线上的任一条曲线 C有有 C f z dz Rzz 0或当时 或当时 4 2 10 0 0 n n n C azzdz 4 2 9 0 0 n n n C azzdz 1 0 0 1 n n n a zz n 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 36 36 定理定理设函数设函数 zf 在区域在区域D解析 解析 0 z 到到D的 边界点的距离最小值为 的 边界点的距离最小值为 d则 当则 当 dzz 0 时 时 1 3 4 0 0 0 n n n zz n zf zf 0 z z d 0 z 为 内的定点 为 内的定点 D 第三节 泰勒级数第三节 泰勒级数 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 37 37 0 z z d r r C 证明 由于 证明 由于 0 dzz 选取选取 r 使得使得 0 drzz 以以0 z 为心 为心 r 为半径作 圆周 为半径作 圆周 r C 由柯西积分公 式知 由柯西积分公 式知 1 2 r C f f zd iz 当当r C 时 时 1 0 0 z zz 由上节例4可得 由上节例4可得 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 38 38 1 z 0 01 0 1 n n n zz z 因此因此 f z 由高阶导数公式由高阶导数公式 01 0 2 r n n C nf fzd iz 00 1 zzz 0 0 0 11 1 z z z z 01 0 1 2 r n n n N C f zzd iz 1 01 0 0 1 2 r N n n n C f dzz iz 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 39 39 得得 2 3 4 1 0 0 0 zRzz n zf zf N N n n n 其中其中 01 0 1 4 3 3 2 r n Nn n N C f Rzzzd iz 如果如果 0 lim zRN N 那么在那么在 2 3 4 中令中令 N 则可 完成 则可 完成 1 3 4 的证明 下面证明的证明 下面证明 0 lim zRN N 事实上 如果事实上 如果 r C 记记 0 0 0 q r zz z zz 则则 10 q由于由于 zf 在在D上解析 从而在上解析 从而在r C 连续 连续 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 40 40 因此存在因此存在 0 M使当使当r C 时 有时 有 Mf 所以所以 01 0 1 2 r n nn n N C f R zdzz iz 从而从而 1 3 4 成立 称 成立 称 1 3 4 为为 zf的的泰勒展式泰勒展式 而称 而称 1 3 4 的右端 为 的右端 为 zf 的的泰勒级数泰勒级数 时 特别当 时 特别当 0 0 z 4 3 4 0 0 n n n z n f zf 有 称 有 称 4 3 4 为为 zf 的的麦克劳林展式麦克劳林展式 4 3 4 的右端为的右端为 2 r n n N C M q ds r 1 N Mq q N 0 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 41 41 zf 的的麦克劳林级数麦克劳林级数 必须说明 则 必须说明 则 Rzzzz n zf zf n n n 0 0 0 0 如果如果 2 02010 zzczzcczf 则则 00 czf 由幂级数的性质得 由幂级数的性质得 2 021 zzcczf zf 在在 0 z 处解析 处解析 R 为为0 z 到到 zf 的所有奇点的距离最小值 如果 的所有奇点的距离最小值 如果 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 42 42 那么那么 10 czf 依次类推依次类推 2 1 01 zzcncnzf nn n 得得 n n cnzf 0 即即 0 n zf c n n 由此可见 由此可见 任何解析函数展开成幂级数的结果就 是泰勒级数 因而是唯一的 任何解析函数展开成幂级数的结果就 是泰勒级数 因而是唯一的 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 43 43 利用利用 1 3 4 式 我们可得 式 我们可得 5 3 4 1 z n z ze n z 6 3 4 12 1 sin 0 12 zz n z n n n 7 3 4 2 1 cos 0 2 zz n z n n n 以上三个公式的建立的方法称为直接展开法 有时 我们也可以利用已知函数的展开式和幂级数的运算性 质 以唯一性为依据得出函数的泰勒展式 这种展开 法称为 以上三个公式的建立的方法称为直接展开法 有时 我们也可以利用已知函数的展开式和幂级数的运算性 质 以唯一性为依据得出函数的泰勒展式 这种展开 法称为间接展开法间接展开法 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 44 44 2 0 1 cos 2 n n n zzz n 例1将下列函数展开成麦克劳林级数 1 例1将下列函数展开成麦克劳林级数 1 sin 2 zzf 2 2 32 1 2 zz zf 解1 解1 2 2cos1 sin 2 z zzf 将将cosz 的展开式中的展开式中 z 换成换成 2z我们有我们有 cos2z 因此因此 2 sin z 2 2 0 1 2 2 nn n n z n z 121 2 1 1 2 2 nn n n z n z 2 2 0 11 1 2 22 2 nn n n z n 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 45 45 0 1 1 1 n n zz z 2 2 32 1 2 zz zf 在公式在公式 1 1z 展开式中展开式中 3 z 和和 z 代替代替z可得 可得 3 1 1 z 1 1z 3 11 121 z 1 1 3 1 4 1 zz 1 3 1 zz 11 41z 0 3 n n n z 3 z 0 1 n n n z 1z f z 因此因此 1z 分别用分别用 0 1 4 n n z 1 1 3n 1 n 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 46 46 例2将例2将 2 1 1 z zf 展开成展开成z的幂级数 解由于 的幂级数 解由于 1 1z 利用幂级数在收敛圆盘内可以逐项求导可得利用幂级数在收敛圆盘内可以逐项求导可得 2 1 1 z 0 1 1 n n z z 1z 所以所以 0 1 n n n z 1z 1 1z 11 1 1 n n n nz 1z 0 1 nn n z 0 1 nn n z 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 47 47 0 0 z f zffz dz 例3将例3将 1ln zzf 展开成展开成 z 的幂级数 解 的幂级数 解 1 1 z zf 由于而由于而 1 1 1 1 0 zz z n nn 利用幂级数在收敛圆盘内可逐项积分可得利用幂级数在收敛圆盘内可逐项积分可得 ln 1 z 1 0 1 1 n n n z n 0 0 1 n z nn dzz 0 1 1 z dz z 0 0 1 z nn n z dz 1z 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 48 48 例4将例4将 43 1 2 zz zf 展开成展开成 1 z 的幂级数 解由于 的幂级数 解由于 f z而而 1 1z 0 1 1 2 1 n n n z 1 2 11 21 z 2 1 z 1 4z 0 1 1 3 1 n n n n z 1 3 11 31 z 3 1 z 所以所以 f z2 1 z 111 514zz 1 1 2z 1 3 1 z 0 1 1 5 n n z 1 1 2n 1 1 3 n n 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 49 49 例5将例5将 1 1 2 2 zz zz zf 展开成展开成1 z的幂级数 解 的幂级数 解 f z 由于 由于 1 z 0 1 1 n nn z1 1 z 2 11 1zz 1 1 1 z 2 1 z 1 z 0 1 1 nn n z 0 1 1 nn n z 11 1 1 1 nn n n z 1 1z 第三节第三节第三节第三节泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 50 50 1 1z 11 1 1 1 nn n n z 0 1 1 1 nn n nz 1 0 1 1 2 nn n n z 1 2z 所以所以 f z 1 2 11 21 z 1 2 1 z 2 1 z 0 1 1 nn n z 1 n 1 1 2n 1 1z 1 1z f z 2 11 1zz 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 51 51 但在但在0 z 处不解析 如果函数 处不解析 如果函数 zf 在以在以0 z 为心的圆环域为心的圆环域201 RzzR 内解析 在一般情况下 内解析 在一般情况下 zf不能 用形如 不能 用形如 1 3 4 右边的右边的 0 zz 的幂级数所表示 但是可 以用一种新的含有 的幂级数所表示 但是可 以用一种新的含有0 zz 幂次的级数表示 为此 我们 首先研究级数 幂次的级数表示 为此 我们 首先研究级数 1 4 4 0 n n n zzc 的收敛域 我们将的收敛域 我们将 1 4 4 分成两个部分分成两个部分 第四节 洛朗级数第四节 洛朗级数 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 52 52 2 4 4 0 0 n n n zzc 和和 3 4 4 1 0 n n n zzc 级数级数 2 4 4 是一个通常的幂级数 设它的收敛半 径为 是一个通常的幂级数 设它的收敛半 径为 2 R 则它的收敛域为则它的收敛域为 20 Rzz 在级数在级数 3 4 4 中 令中 令 1 0 zz 则则 3 4 4 变成变成 4 4 4 1 n n n c 设设 4 4 4 的收敛半径为的收敛半径为 R 则其收敛域为则其收敛域为 R 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 53 53 从而从而 3 4 4 的收敛域为的收敛域为 1 1 0 RRzz 我们知道 我们知道 1 3 4 收敛当且仅当级数级数 收敛当且仅当级数级数 2 3 4 同时收敛 同时收敛 3 4 4 所以当所以当21 RR 时 级数时 级数 1 4 4 对 复平面一切点都是发散的 当 对 复平面一切点都是发散的 当21 RR 时 级数时 级数 1 4 4 在圆环域在圆环域201 RzzR 内是收敛的 而在此圆环域 的外部是发散的 因此 内是收敛的 而在此圆环域 的外部是发散的 因此 如果级数如果级数 1 4 4 是收敛的 则一定存在 是收敛的 则一定存在 0 21 RR使得级数使得级数 1 4 4 在在 201 RzzR 上是收敛的 圆环域在上是收敛的 圆环域在 10 Rzz 或或 20 Rzz 上一定是发散的 上一定是发散的 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 54 54 定理定理设设 zf在圆环域在圆环域201 RzzR 内解析 则 内解析 则 5 4 4 0 n n n zzczf 其中其中 6 4 4 2 1 1 0 C nn dz zz zf i c 为圆环域为圆环域C 201 RzzR 内环绕内环绕0 z 的正向简单闭 曲线 同幂级数一样 级数 的正向简单闭 曲线 同幂级数一样 级数 1 4 4 在收敛圆环域内其和函 数是解析的 且可以逐项求导和逐项积分 在收敛圆环域内其和函 数是解析的 且可以逐项求导和逐项积分 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 55 55 0 z 1 R 2 R z 2 r 2 K 1 r 1 K K 现以现以0 z为心 为心 11 Rr 为半径作正向圆周为半径作正向圆周 1 K 使使K 在在1 K 的外部 以的外部 以0 z 为心 为心 22 Rr 为半径作正向圆周为半径作正向圆周 2 K 使使K在在2 K 的内部 由复合闭路定理得的内部 由复合闭路定理得 K d z f i zf 2 1 证明 设 证明 设 z 为圆环域为圆环域 201 RzzR 内任意一点 作环绕 内任意一点 作环绕 z 且内部仍在圆环域 内的正向简单闭曲线 且内部仍在圆环域 内的正向简单闭曲线 K 柯西积分公式知 柯西积分公式知 K d z f i zf 2 1 利用利用 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 56 56 7 4 4 2 1 12 KK d z f d z f i 对于上式右边的第一个积分来说 由于对于上式右边的第一个积分来说 由于 f在在2 K 连续 从而存在正数连续 从而存在正数 M 使当使当2 K 时 时 Mf 有 又由于 有 又由于 20 rzz 所以当所以当2 K 时 时 1 0 0 z zz 同 上节的泰勒展开式的证明一样 同 上节的泰勒展开式的证明一样 0 01 0 8 4 4 2 1 2 1 2 2 n K n n K zzd z f i d z f i 可以得出可以得出 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 57 57 对于第二个积分 由于对于第二个积分 由于 1 K 且且 10 rzz 所以所以 1 0 0 zz z 因此有因此有 1 z 所以所以 1 1 2 K f d iz 其中其中 2 10 1 0 2 1 K Nn n n N d zz zf i zR 1 0 1 0 1 n n n zz z 1 1 1 0 1 2 N n n K f d iz N Rz 0 0 0 11 1 z z z zz 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 58 58 由于由于 f 在在1 K 上连续 从而有界 即存在正数上连续 从而有界 即存在正数 1 M 使当使当1 K 时 有时 有 2 Mf 如果记如果记 0 0 zz z q 因此因此 N Rz 所以所以 1 2 1 K d z f i 9 4 4 2 1 1 0 1 0 1 n K n n zzd z f i 1 1 1 2 2 n n N qM 1 0 100 1 2 n n n N K zf ds zzz 1 1 1 N q M q 0 N 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 59 59 如果记如果记 10 4 4 1 0 2 1 2 1 0 nd z f i c K nn 11 4 4 2 1 2 1 1 1 0 nd z f i c K n n 那么利用那么利用 9 4 4 8 4 4 式 式 7 4 4 就可以写成就可以写成 n n n zzczf 0 C 1 R 2 R 0 z 如果如果C是圆环域内任一条 环绕 是圆环域内任一条 环绕0 z 正向闭曲线 那么利用 复合闭路定理可得 正向闭曲线 那么利用 复合闭路定理可得 10 4 4 式式 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 60 60 11 4 4 就可统一写成就可统一写成 2 1 0 2 1 1 0 ndz zz zf i c C nn 6 4 4 证毕 我们称 证毕 我们称 5 4 4 n n n zzczf 0 为函数为函数 zf在圆环域在圆环域201 RzzR 上的上的洛朗洛朗 Laurent Laurent 展开式展开式 而称其右端的级数为 而称其右端的级数为 zf 在圆环域上的在圆环域上的洛朗 级数 洛朗 级数 称 称 0 0 n n n zzc 为为 zf 的洛朗级数的的洛朗级数的解析部分解析部分 称 称 1 0 n n n zzc 为为 zf 的洛朗级数的洛朗级数主要部分主要部分 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 61 61 如果如果 zf 在圆环域在圆环域201 RzzR 又可表示为又可表示为 n n n zzazf 0 C为圆环域内任一条环绕为圆环域内任一条环绕 0 z 的正向简单闭曲线 设的正向简单闭曲线 设 C 则则 n n n zaf 0 n pn np zza z f 1 01 0 利用级数在圆环域内可以逐项积分和公式利用级数在圆环域内可以逐项积分和公式 5 1 3 得得 n p C pn n C p iadzad z f 2 1 01 0 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 62 62 所以所以 2 1 0 2 1 1 0 pd z f i a C pp 综上可知 如果一个在某一圆环域综上可知 如果一个在某一圆环域 0 zz 201 RzzR 解析的函数展开成为含有的正整数 负整数次 幂组成的级数 那么这个级数一定是此函数的洛朗级 数 解析的函数展开成为含有的正整数 负整数次 幂组成的级数 那么这个级数一定是此函数的洛朗级 数 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 63 63 例1将函数例1将函数 34 1 2 zz zf在下列圆环域内展 开成洛朗级数 1 在下列圆环域内展 开成洛朗级数 1 1 0 z2 2 3 1 z 3 3 2 1 0 z 解解 f z 111 2 31zz 1 在1 在1 0 z内 内 1 z从而从而 1 3 z 由于 所以 由于 所以 1 3z 1 1z 0 1 3 1 n n n z 0 n n z 3 11 3 1 z 因此得因此得 zf在圆环域在圆环域1 0 z的洛朗展开式为的洛朗展开式为 f z 0 1 2 n n z 1 1 3n 1 4 2 1 4z 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数 第四章第四章第四章第四章级数级数级数级数 吴新民吴新民 64 64 2 当2 当3 1 z时 由于时 由于 1 3z 1 1z 所以所以 zf 由于在圆环域由于在圆环域 3 1 z的洛朗展开式为的洛朗展开式为 f z 0 11 33 n n n z 11 1 1 z z 1 n n z 1 1 z 1 3 z 所以所以 11 3 1 3 z 0 1 3 1 n n n z 0 11 n n zz 1 0 n n z 1 1 2 n n z 1 0 11 23 n n n z 3 3 1 3 z f z 111 2 31zz 第四节第四节第四节第四节洛朗级数洛朗级