幂零矩阵性质及应用.doc

幂零矩阵性质及应用性质1：A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0。证明： 为幂零矩阵 令为A任意一个特征值，则 由引理7知，为的特征值 从而有=0即有 又有，知 为A的特征值。 由的任意性知，A的特征值为0。 的特征值全为0 的特征多项式为 由引理2知， 所以A为幂零矩阵。 得证性质2：A为幂零矩阵的充要条件为。证明：为幂零矩阵，由性质1，知： A的特征值全为0 即 由引理7，知 的特征值为从而有 由已知， 令为A的不为0的特征值且互不相同重数为由（1.1）式及引理7，得方程组 由于方程组（1.2）的系数行列式为又互不相同且不为0，从而知，方程（1.2）只有0解，即即A没有非零的特征值的特征值全为0， 由性质1，得 A为幂零矩阵 得证性质3：若A为幂零矩阵则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0证明：A为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 其中阶数为 由引理4，知为J和特征值 又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值 所以 即J的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 为幂零矩阵 得证性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有证明：为幂零矩阵， A一定不可逆 由性质1，得 A的特征值为 由引理7，得 的特征值分别为 且有 即 得证性质5：若为幂零矩阵，则A非退化证明：令为A的特征值 若A退化，则有 由引理7，得 至少存在=0为A的特征值 又由引理7，得 为的一特征值这与为幂零矩阵矛盾 得证A为非退化性质6：若A为幂零矩阵，B为任意的阶矩阵且有，则也为幂零矩阵。 即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵证明：为幂零矩阵 又 也为幂零矩阵 得证性质7：若A为幂零矩阵且，则（1）（2）证明： 即 任意，有 即有 性质8：若A为幂零矩阵且，则A不可对角化 但对任意的阶方阵B，存在幂零矩阵N，使得可对角化证明：为幂零矩阵 且A的特征值全为零 为A的特征多项式且 令为A的最小多项式，则有 从而有 由于，又此时 即A的最小多项式有重根，由引理5，知 A不可对角化 为阶方阵 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 其中阶数为 令 阶数为 则有阶数为 由引理8，知 即为幂零矩阵 现令 即 又D为对角阵，由（1）式知 可对角化 令N= 且取 则有 即有可对角化且N为幂零矩阵 得证性质9：阶幂零矩阵的幂零指数小于等于且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数证明；令A为阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得 其中阶数为且 取，则 且有即若令为A的幂零指数，则 若，则 且由（1.5）式，得这与矛盾。 得证性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 证明：令A为幂零矩阵，则A的特征值全为0 若B与A相似 由引理6，得 A与B有相同的特征值 的特征值也全为0，由性质1，知 B也为幂零矩阵 A为幂零矩阵由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得 其中阶数为且 由性质9，知 为A的幂零指数又A与B相似，A与J相似 从而有B也与J相似可逆矩阵P 使得又由性质9，知 为B的幂零指数从而有 又 为严格上三角也为严格上三角形即A，B都相似于严格上三角形J 得证 性质11：若A为幂零矩阵，则都为幂零矩阵，特别有证明：为幂零矩阵 由引理1，知 都为幂零矩阵也为幂零矩阵又为幂零矩阵 即若，则有A的所有阶代数余子式都为0则有 从而有若，则由性质3知， 存在可逆矩阵T，使得 其中阶数为 且又显然A与J，所以有 即有 又 由（1.3）式及引理1，知 得证1、A为实对称矩阵且，则有证明：令，则由A实对称 且 又为实数 即2、所有阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似证明：令A为阶次幂零矩阵 即 的最小多项式 又A幂零矩阵 的特征值全为0 的特征多项式为 由引理9，知 又 从而有 所以所有的阶次幂零矩阵的不变因子都是 所以所有阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似3、所有阶次幂零矩阵相似（为幂零指数）证明：令A为阶次幂零矩阵， 则 的最小多项式 又A幂零矩阵 的特征值全为0 的特征多项式为 又 又 从而有 所以所有阶次幂零矩阵具有相同不变因子 所以所有阶次幂零矩阵都相似1、设阶方阵，求证：（1）存在，使得 （2）存在，而且 ，证明：（1）、由引理3，知 在复数域上，可逆矩阵T 使得 其中 阶数为 令 为的若当块 为的若当块 由于 由引理8，得 且 即可逆 有 由（1.4）式，知A与J相似，且从而，得与相似， 综上可得，且 即得证 （2）、由（1）知， 使得 又已知 得证特别当时，可得 2、A，B为阶方阵，B为幂零矩阵且，则有证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 又B为幂零矩阵 所以B的特征值全为0，即 又可逆 由知为A的特征值由引理7，得 从而得证 3、A为阶方阵，求证，B可对角化，C为幂零矩阵且证明：由性质3，知 存在幂零矩阵N，使得可对角化 即存在可逆T，使得 即有 由性质11，知 N幂零矩阵则也幂零矩阵 又与D相似，可对角化 令 ，则有 可对角化 为幂零矩阵 又为对角阵 得证4、A，B，C为阶方阵，且，证明：存在自然数证明：由于，由引理11，得 由性质2，得 C为幂零矩阵由性质9，知 得证5、在复数域上，阶方阵A相似于对角阵等价于对于A的任一特征值，有 与的秩相同。证明：因为A对角化，则存在可逆矩阵T，使得 从而有 所以与相同 即 与的秩相同 由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得 其中阶数为若不全为对角阵，则不妨令不可对角化，且有，有 从而知的秩大于的秩，即有的秩大于的秩也即 的秩大于的秩，这与已知矛盾所以所有为对角阵，从而得证A相似于对角阵例 求 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆解其中 且有 例 求 特别的a也是1可表为若当块的幂的矩阵和逆解：其中 性质1：当k=2即复数域C上的n阶2-幂零矩阵A的Jordan标准型为，其中（），且至少存在一个j，使即至少存在一个性质2：设C是复数域，而A是C上2-幂零矩阵，设A的秩为r，则，而A的Jordan标准型为，其中对角线上有r个。性质3：两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。引理1.2：设，则，而。定理1：复数域C上的k-幂零矩阵A的标准型具有形式，其中（），且至少存在一个若当块，使。证明：因为A为幂零矩阵，故A的特征值全为0，于是A的特征多项式为。设幂零矩阵的A的初等因子为可能相同，且），每一个初等因子对应一个J块（），这些J块构成一个若当形矩阵因为A为k-幂零矩阵，所以J中存在即至少存在一个j，使推论2：秩不大于3的两个3-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。 定理 可逆矩阵A的逆矩阵与伴随矩阵都可以表示为A的多项式 证明：设A特征多项式 利用hamilaon-cayley定理则有而A可逆，得从而以及一 、定理: 若A是幂零矩阵，则A不可逆.性质 幂零矩阵的转置矩阵、数乘矩阵、K次幂、伴随矩阵都是幂零矩阵性质 幂零矩阵的特征值为零，特征值为零矩阵为幂零矩阵。性质 幂零矩阵的相似矩阵是幂零矩阵。 幂零矩阵的性质性质 同阶可交换的矩阵的幂零矩阵的乘积是幂零矩阵。性质 设A为菲零的幂零矩阵，且r是A的幂零矩阵，则E、A、Ak线性无关.性质 相似于对角矩阵的幂零矩阵是零矩阵。性质 若A2=0且 AT=A,则A=0二、 性质 幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵的乘积仍为幂零矩阵。性质 与幂零矩阵可交换的矩阵仍为幂零