利用函数思想解题策略.doc

利用函数思想解题策略刘厚顺函数是高中数学中的重要内容，函数思想是最基本的数学思想函数的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体，解题时可利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、特殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等去解决问题1利用函数概念例1 曲线C是定义在R上的函数yf(x)的图象，则( )A曲线C与直线x1可能有两个交点 B曲线C与直线x1一定有一个交点C曲线C与直线x1一定有两个交点 D曲线C与直线y1有且仅有一个交点分析与解：对于函数y=f(x)定义域为A，值域为B，则对任xA，都有唯一的yB与之相对应，故选B例2 若函数yf(x)存在反函数，则方程f(x)C(C为常数)A有且只有一个实根 B至少有一个实根 C至多有一个实根 D没有实根分析与解：函数yf(x)存在反函数，则此函数的对应必是一对一的，若C在函数f(x)的值域中，则必有唯一实根，若C不在函数f(x)的值域中，则无实根，选C2利用函数的奇偶性奇偶性(即对称性)是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的(1)利用函数奇偶性解方程(组)例3 解方程 (3x3-4)3+4x3+x-4=0 (只求实数根)分析与解：原方程可变为(3x3-4)3+(3x3-4)=-(x3+x).，令f(x)=x3+x，易证f(x)是奇函数且在R上是增函数，方程就是f(3x3-4)=-f(x)=f(-x)。由f(x)的单调性知3x3-4=-x，即3x3+x-4=0，此方程显然有一根为1，故原方程就是(x-1)(3x2+3x+1)=0，因为3x2+3x+1=0无实根，所以x=1为原方程的实数根。（2）利用函数奇偶性求值例4设(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7=a0+a1sinx+a2sin2x+ +a42sin42x, 求a1+a5+a9+a41的值。分析与解：令f(x)=(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7= a0+a1sinx+a2sin2x+a42sin42x, 易证f(x)是R上的偶函数，故a1=a3=a5=a41=0，所以a1+a5+a9+a41=0.（3）利用函数奇偶性证明不等式例5求证：0时，1-4x0，所以f(x)0，即0，且a1，试比较xloga(1-x)与xloga(1+x)的大小。分析与解：设f(x)=xloga(1-x)-xloga(1+x)=xloga. 因为f(x)=-xloga=-xloga()-1=xloga=f(x)，所以f(x)是偶函数，图像关于y轴对称。若a1，由已知得-1x1且x0，所以当-1x1，所以loga0, xloga0即f(x)0，由图像的对称性知，当0x1时，f(x)0，故xloga(1-x)xloga(1+x).若0axloga(1+x).综上，当a1时，xloga(1-x)xloga(1+x).当0axloga(1+x).3利用函数的单调性单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性，可将函数值间的关系转化为自变量间的关系研究，从而达到化繁为简的目的。特别是在比较数式大小，证明不等式，求值或最值，解方程（组）等方面应用十分广泛。例8已知不等式loga(a-1)+对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。分析：注意到不等式仅仅左边是与n有关的式子，从函数的观点看，左边是关于n的函数，要使原不等式成立，转化为这函数的最小值大于右式，如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手。解：设f(n)= (nN, n2). f(n+1)-f(n)=()-()=0, f(n)是关于n(nN,n2）的递增函数，则f(n)f(2)=.要使不等式成立，只须loga(a-1)+，解之得1a0，且a1，易得函数定义域为x1，即a2,令u=2-ax，以下分类讨论。（1）若0a1，则u=2-ax在0，1上递减，则y=loga(2-ax)在0，1上递增。（2）若1ax+1.解：令y1=，y2=x+1，在同一坐标系内画出这两个函数的图象（如图1），然后“看图说话”，找出y1在图象在y2的图象上方时所对应的x的集合。易得，原不等式解集为-,2). 例13已知n为正整数，实数a1，解关于x的不等式。-4loga(x2-a).(1991年全国高考理25题) 解：将原来不等式化简得logaxloga(x2-a).(1)作函数y1=x和y2=x2-a的图象（如右图）因x0，且x2-a0, x.由x=x2-a解得两图象交点的横坐标为x0=, 因而当n为奇数时(1) 此时原不等式解集为x|x。6利用函数的值域求函数的值域，涉及到众多数学知识，构成了中学数学的重要横向知识体系，同时也为利用函数值域解题提供了广阔的天地，尤其对某些含参数的不等式，在分离参数的基础上，通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围，从而避免了对参数的繁锁讨论。例14已知不等式1cos2x+sinx+a,对于一切xR恒成立，求a的取值范围。解：令f(x)=cos2x+sinx+a=-sin2x+sinx+1+a=-(sinx-)2+a. fmin(x)=-1+a, fmax(x)=+a. 要使命题成立，只须 即解得 2a3.例15若方程sin2x+cosx+a=0有解，求实数a的取值范围。解：由方程得a=cos2x-cosx-1，设f(x)=cos2x-cosx-1, 要方程有解，只须a在f(x)的值域内即可，而f(x)=(cosx-)2-, -1cosx1, -f(x)1, -a1.例16若cos2x-32kcosx-4k, x0,时恒成立，求实数k的范围。解：由cos2x-32kcosx-4k, 得k, x0,令f(x)= ，只须kfmax(x),而f(x)= =-(2-cosx)+44-2,当2-cosx=即cosx=2-2时取等号， k4-2.7利用一次函数的保号性某此数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数f(x)在区间a,b上函数值的符号问题，从而使问题获解。例17若对一切|P|2, PR，不等式(log2x)2+Plog2x+12log2x+P恒成立，求实数x的范围。解：原不等式整理为f(P)=(log2x-1)P+(log2x-1)20, 要使f(P)在-2P2上恒成立，只须， 即解得log2x3故 x(0,)(8, +).例18已知|a|1, |b|1, |c|a+b+c.证：构造函数f(x)=(bc-1)x+2-b-c, 这里|b|1, |c|1, |x|1, 则bc0f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)0 一次函数f(x)=(bc-1)x+2-b-c, x(-1,1)的图象在x轴上方，这就是说，当|a|1, |b|1, |c|0，即abc+2a+b+c.8利用二次函数的性质二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如m+n=p, mn=q的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决。例19设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两个根x1, x2满足0x1x2, 证明：当x(0, x1)时，xf(x)x1.分析：把条件“方程f(x)-x=0的两根x1, x2满足0x1x2”；转化为二次函数f(x)-x的图象开口向上，与x轴的交点在坐标原点的右侧，要证结论不等式，转化为证明函数F1(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+c和F2(x)=f(x)-x1=ax2+bx+c-x1都是二次函数，且在0xx1时，F1(x)的图象在x轴的上方，F2(x)的图象在x轴的下方。证明：因为0x10，二次函数F1(x)=f(x)-x的开口向上，其顶点横坐标x1，又F1(0)=c0，f(x1)=0, 所以当0x0，又x1x2=, c-x1=ax1x2-x1=x1(ax2-1)0， F2(0)=c-x10, 又F2(x1)=0, 二次函数F2(x)的图象开口向上，故当0xx1时F2(x)0，及q，得sin2q, e