两个计数原理应用学案老师.doc

高二数学选修2-3 SX-2012-002分类加法计数原理和分步乘法计数原理(二)导学案编写人:何国雄 审核人：高二数学组 编写时间：2012.11.2班级 组别 组名 姓名 【学习目标】1进一步理解两个计数原理，会区分“分类”与“分步”，2掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题【学习重点】正确理解“完成一件事情”，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。【学习难点】分类加法计数原理和分步乘法计数原理综合应用。【学法指导】试验观察，自主探究【知识链接】1.加法原理：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.要点: 各类办法相互独立, 每种方法都能完成事件.2.乘法原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.要点: 各个步骤相互依存, 每个步骤都完成了才能完成事件.【学习过程】知识点一：复杂问题先分类,再在各类中分步解决例1集合，从、中各取1个元素作为点的坐标（1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？解；（1）一个点的坐标有、两个元素决定，它们中有一个不同则表示不同的点可以分为两类：(中的元素为，中的元素为)或(中的元素为，中的元素为)，共得到344324个不同的点（2）第一象限内的点，即、均为正数，所以只能取、中的正数，共有22228 个不同的点小结：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理变式1:有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书2 本，问有多少种不同的取法？解：取出不是同一国文字的书2本，可以分为三类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两步来取，因此有种不同的取法变式2:12支篮球队分成两组分别进行分主场客场的循环初赛，每组取前2名共4个队进行单循环决赛，共有多少场比赛？N=65 + 65 + 43 = 66知识点二：涂色问题例2.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。 变式3:有n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在、四个区域中相邻（有公共边界）的区域着不同种颜色：图甲图乙（1）若n=6，则为甲着色时共有多少种不同的方法？（2）若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值。分析：完成着色这件事共分四个步骤。可依次考虑为、着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数。解（1）为着色有6种不同的方法，为着色有5种，为着色有4种，为着色也有4种。所以共有着色方法N=6544=480种（2）与甲区别在于与相邻的区域由两块变成了三块。同理可以得到着色方法种n(n-1)(n-2)(n-3)。所以有：n(n-1)(n-2)(n-3)=120解之：n=5。知识点三：按特殊“对象”进行“两分法分类”例3某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6212种，因此有 种故共有20种不同的选法小结：像本题中的“多面手”可称为特殊“对象”，本题解法中按特殊“对象”进行“两分法分类”是常用的方法变式4:某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与跳舞的各1人，有多少种不同的选法？解：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人.第一类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从只会跳舞的3人中任选1人，共有53 = 15（种）不同的选法；第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有52 = 10（种）不同的选法；第三类方法：从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有32 = 6（种）不同的选法；第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，只有1种选法.由分类加法计数原理知，共有15 + 10 + 6 + 1 = 32（种）不同的选法.知识点四：组数问题例4. 用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个三位数？ （2）可以组成多少个数字不允许重复的三位数？ （3）可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数？数字不重复的三位数的奇数？ 解：（1）N=566=180 (2) N=554=100(3) 先选个位，分两类：0在个位数：154=20；2或4在个位：244=32故N=154+244=52变式5：从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少？解：分三类：一位数，两位数和三位数.第一类：一位数中除8外符合要求的有8个（0除外）；第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，共有89个符合要求；第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，共有99种，而百位数字上是2的只有200符合.所以，从1到200不含数字8的自然数共有N = 8 + 89 + 99 + 1 = 162 (个) 【基础达标】1电视台在“欢乐大本营”节目中，拿出两个信箱。其中存放着竞猜活动中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封。现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，共有多少种不同的结果？解：分两大类（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，在两箱中各定一名幸运伙伴有302920=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有201930=11400种结果；因此共有17400+11400=28800种不同的结果。【课堂小结】【当堂检测】1(2012江西高考)已知直线方程Ax + By = 0，若从0，1，2，