复变函数习题详解习题五.doc

习题五解答A类1、问下列各函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？如果是极点，指出它的级。（1）. （2）. （3）.（4）. （5）. （6）.-（7）. （8） （9）.（10）. （11）. （12）解（1）是有理函数，故奇点只是极点，满足=0，故，与为其奇点，为三级极点，而为其二级极点。（2）因则为其极点。再确定极点的级，有两种方法：a. 为为的一级零点；而为的二级零点。故为的一级极点。b.，故为其一级极点，（3）原式=，故为其二级极点，而为一级极点。（4），由，知是sinz的一级零点，因此，为一级极点。（5）由得为的一级零点，由得为的零点，又，所以为的一级零点，因此，及，为原式的一级极点。（6），所以为本性奇点。（7）令，则，解析，只有为奇点，今让从实轴负方向趋近于0，则；然而从正方向趋近于0，则。故不存在，说明是的本性奇点。（8），所以，有无穷多z的负幂项，知为其本性奇点。（9）原式=。当时，知为其本性奇点。（10）由，得为原式一级极点。（11）a，无负幂项，故为其可去奇点。b，故为可去奇点。（12）由，知为其本性奇点，而在解析，故知为的本性奇点。由知，为的一级极点，为的解析点，故为原式之一级极点。2指出下列函数在无穷远点的性质。（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。解（1）令，代入原式中，而为的解析点，故为其可去奇点（或求）（2）故为其可去奇点。（3）令，则原式，故t=0为其二级极点，所以为原式的二级极点。（4）设=故，所以为的可去奇点。而，为的一级极点，同时为的解析点，故为的一级极点但，所以为极点的极限点，为非孤立奇点。（5）设，由，得，为的二级极点，为的一级零点，故为的一级极点，所以为的极点的极限点。（6）令则，而不存在，故为本性奇点。3若与分别以为m级与n级极点，试问下列函数在点有何性质？（1）；（2）；（3）解 由题意，其中，在点解析且，。（1）当时，点是的级极点，当时，点是的极点。（可退化为可去），其级不高于m，点也可能是的可去奇点（解析点）。（2）是的级极点。（3）对于，当时，是级零点；当时，是级极点；当时，是可去奇点。4若在点解析在点有本性奇点，试问：（1）；（2）；（3）在有何性质？解：是（1）、（2）、（3）的本性奇点，证明如下：设，反证法：如果不是的本性奇点，则由上题结论知，以为可去奇点或极点，这与题设矛盾。5求证：如果是是m（）级零点，那么是的级零点。证 由题知：，则有故是的m-1级零点。6函数在处有一个三级极点，这个函数又有如下列的洛朗展开式，所以“又是的一个本性奇点”，又因为上式不含有幂项，因此，这些结论对否？解 不对，不是的本性奇点，这是因为函数的洛朗展开式是在内得到的，而不是在的圆环域内的洛朗展开式。孤立奇点的分类必须根据在这个奇点邻域内洛朗展开式来决定。7求下列各函数在孤立奇点的留数（不考虑无穷远点。）（1）； （2）； （3）（n为自然数）；（4）； （5） （6）解 （1）以为其三级极点，1为其一级极点，故有（2）故以为其二级极点，则,(3)，为其一级极点，设，但 则（4），为分母的四级零点，是分子的一级零点，所以是的三级极点。=或展开洛朗级数知（5），为一级极点（6）为一级极点。令，故而有8计算下列各积分（利用留数）（1），；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），为整数。解（1）在C内仅以为其二级极点，由留数基本定理知故 （2）在内以及为一级极点。原积分=2。（3），故为的可去奇点则故原积分=0。（4）在C内以，为其一级极点。ResRes=3原积分=2=6（5）在内，以为其二级极点，则由留数基本定理有原积分=4(6)故以为其级极点。设当时，；当时，；当时，！由此或说为大于或等于3的奇数时，9求的值，如果（1） （2） （3）解（1）有两个一级极点故由全部留数和为零的定理，则=（2）以为一级极点，为四级极点，为一级极点，用有限奇点留数和来求无穷远点的留数，计算过程太麻烦，一般采用直接在的圆环域（解析）内展开为洛朗级数的方式，则有=显见故.以为一级极点.为可去奇点.=10.设函数在有可去奇点，求解 由于为的可去奇点，则在内有，故所以11计算下列各积分，C为正向圆周。（1），（2），解 （1）在内以为三级极点，以（k=0,1,9）为一级极点。由=0知为其可去奇点，原积分=。在内有，故。所以=，原积分。（2）有奇点，为一级极点，而为本性奇点，同上题在内展开，则=得故原积分.12试求下列各积分的值. . . .解（1）令则其中应用留数定理（2），故由于在上不为零，因而积分是有意义的，由于.=只有与在内，从而则原积分（3），设的奇点为，而在内只有一级极点，故=则（4），设以，为孤立奇点，而在内有，与，为其一级极点，故有（5）对于令，则为内的的一级极点，故有：，则原积分（6）若，则其中为在内的全部孤立奇点。注意到在内有孤立奇点，且为一级极点。于是由上述公式，得而于是原积分（7）对于，则，z=i为在内的一级极点，而为在实轴上的一级极点，故有： 故B类1讨论下列各函数在扩充复平面上有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？如果是极点，请指出它的级。（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）解（1）在内解析.则为其孤立奇点，且在内有洛朗展开式.由此知为其本性奇点，而，故为其可去奇点.（2）在内解析，故为其孤立奇点，为的解析点，而为的本性奇点，故为的本性奇点。本性奇点，而为的解析点，故亦为的本性奇点.（3）在内解析.故为其孤立奇点.为的解析点，而为的本性奇点.为的本性奇点，而为的可去奇点.故为的本性奇点.（4）由和 为的一级零点.故为的一级极点。当时，则为其极点的极限点.（5）令则由于只有唯一的奇点，即本性奇点与之对应的是的零点，即与于是它们都是的本性奇点.是的本性奇点列的极限点，是个非孤立奇点.（6），故为其二级极点，而为极点的极限点.（7）因仅以为孤立零点，又因为有当时，各为的一级极点.当时，必然因而各为的二级极点。又因为极点列故为非孤立奇点.（8）令则又因所以都是的本性奇点.当时，故为的本性奇点列的极限点，而是的可去奇点，因为只要取就是的解析点。2假设解析函数在点有m级零点，试问函数在点的性质如何？解 由题设知，在解析，而，可知，在点有m+1级零点。3设在平面上解析，则对任一正数k，求Res。解 由题设知，在内，解析，故z=0为其孤立奇点。=因Res故当时，有所以4计算下列各积分（1）， （2）（3），为整数。（4）， 。解 （1）为的一级极点，故由留数基本定理。 所以（2）在内有一级极点（），共2n个。故=，由留数定理（3）在内解析，则为其孤立奇点，且为本性奇点，故可展开为洛朗级数。当时，即当时，即（4）为其一级极点时，在内，则故5若和在点处解析，而且以为二级零点，证明：，其中，证 由题设知，在点的邻域内有表示式，其中，；，（）,若是的二级零点，则，令，易知且0在的邻域内，此时，以为二级极点，由公式有将，代入上式有结论。6试求下列各积分的值。（1）（2）（3）（4） （5）解（1）=而被积函数在内只有一级极点则，所以（2） 令则=于是=此处(3)，设内以与为其一级极点. （4）原积分=设在内以与为其一级极点.=所以，原积分=（5）原积分=在若b0，以为其一级极点，在实轴上以为其一级极点，则。=，原式=若b0，则为上半平面的一级极点。同理可得：=即7若在上解析且，试问方程在内有几个根。证 令，则在上，而，故由路西定理，知方程与方程在内有相同个数的根，从而在只有一根。8试证明若在简单闭曲线C上有则当位于C内时多项式在C内有k个零点，又问当z=0位于c的外部时，将有什么结论？证 记，由题设知由路西定理知与在C内有相同个数的零点，故当z=0位于C内时，多项式在c内有k个零点，当z=0位于C的外部时，上述多项式在C内无零点。9证明方程的根都在圆环域内。证 当时，取，当时，所以的根的个数与的根的个数相同，因此，的根全部在|z|=2的内部。当时，取，当时，+，故的根与12的根的个数相同，即在内无根，综上所述，的根全在内。10证明若，则方程在圆内有n个根。证 设，在内均解析，且当时，而，故。根据路西定理知，与+在内的零点个数相同，即的根的个数与的根的个数相同，即为n。11若（k