加工业生产稳态模拟的数学模型.doc

本文由【中文word文档库】收集加工业生产稳态模拟的数学模型阮门富1沈晓燕2郑丽心312002级数学系数学与应用数学班 广东韶关51200522003级数学系信息技术教育(1)班广东韶关51200532003级计算机系4班 广东韶关512005摘要：文章通过对三年中机床发生故障的概率的分析,得到了关于整个系统的稳态模拟问题的概率模型,用比较简单的模型解决了问题,并引入假设: 若机床故障的概率小于时,可以认为在三年内这种情况不发生.这一假设极大的简化了模型（这一假设同时也符合实际的情况）,求出了同时在运行的最少机器数为40台,等候修理的最大机器台数11台；之后又在这一基础上通过离散化的方法求出了每小时处于工作状态的工人数为47.35人,平均每小时处于工作状态的修理工人数2.11人等等的有关系统运行状态的各项指标；进研究了生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，得到了最优的人事安排方案：应该请50名工人和3名修理工. 关键词:指数分布；加工业生产；稳态模拟；机床故障；1.问题的提出1333333333312.模型假设1符号约定1模型建立与求解2模型评价7参考文献：8附录：8 1.问题的提出3333333333加工业的生产过程中, 管理部门要求了解整个生产系统的特性，机床用于生产的利用率、处于备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，以便对此维修策略进行评价。同时还要了解包括：最少有多少台机器同时在运行；平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；等等有关生产的问题；进而得出生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，从而可以得到最优的人事安排方案。2.模型假设1 机床在开始测试时已经工作了一段时间；2 在我们开始统计测试之时，所有机床均工作正常，即无故障机床；3 对工人从到编号，对应工人的机床号为；4 若机床故障的概率小于时,可以认为在三年内这种情况不发生；符号约定:机床发生故障的间隔时间所服从均值等于157小时的指数分布函数；:机床发生故障的间隔时间所服从的指数分布函数的参数；：机床发生故障的间隔时间的均值(单位：小时)；: 一名修理工修理一台机床的时间的均匀分布函数；：机床故障台数；：工人人数；：维修工人人数；：备用机床数；：总机床数:第台机床发生第次故障的概率；：一名修理工维修一台机床的时间(单位：小时)；：第台机床发生第次故障的时刻；:机床在某时间段内是否发生故障的,函数,发生故障为,否则为；模型建立与求解4.1 三年共有的工作小时数为，小时.4.2 一名修理工修理一台机床的时间服从4,10小时之间的均匀分布。有4.3 问题一的求解机床发生故障的间隔时间服从均值等于157小时的指数分布,有由此，我们可以得到在时间段内，机床发生故障的概率为由假设1，机床已经处在稳定运行状态下，那么，可以记在时刻之前机床发生的最后一次故障（第次故障）的时间为，则是随机的，是无法确定的。我们可以知道，机床在发生故障的概率为:若在时间段内有台机床故障,由记：由由组合数学的知识可知，令的所有可能的组合为，故而都有种可能的组合，则，于是，当时，时间段即为，机床在这个时间段内发生故障即是在一个维修时段内发生故障，他的概率为算得在时取得最大值，最大值为也就是说，在这三年内，如果修理时间最坏，且各台机床在修理时间最坏的这段时间内发生故障时的概率也为最大值时，故障的机床数最多，有通过Matlab计算可以得到：显然，可以认为故障机床在台以上的情况并不发生，所以最多有台机器在同一时段内故障；最少有台机器同时在运行；最多有台机器在等候修理；对于问题：平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；同样的，若在时刻有一台机床发生故障，而机床最后一次故障（第次故障）的时间为，则是随机的，我们可以知道，在修理工人修理故障机床的这段时间内，机床发生第次故障的概率为:有台机床发生故障的概率为：记工人因为有台机床故障而造成停工休息的时间为，则当时，=0；当时，当时，当时， 当时， 由前面的计算知，最多有台机器在同一时段内故障，所以，所有的工人因为故障的机床过多而造成停工休息的总时间为：经过Matlab编程计算，期望为.有50名工人在三年中实际工作的总时间为小时.平均每小时处于工作状态的工人数为47.35人.显然，所有的机床在三年内总的工作时间就是50名工人在三年中实际工作的总时间，为小时.由于机床故障服从均值等于157小时的指数分布,有平均每小时处于工作状态的修理工人数为：4.4模型的推广与问题二的求解有名工人，名修理工，在机床总数以及其它条件不变的情况下，有若在时刻有一台机床发生故障，而机床最后一次故障（第次故障）的时间为，则是随机的，我们可以知道，在修理工人修理故障机床的这段时间内，机床发生第次故障的概率为:有台机床发生故障的概率为：在时间段内，即一台机床在一个维修时段内发生故障的概率为算得在时取得最大值，最大值为也就是说，在这三年内，如果修理时间最坏，且各台机床在修理时间最坏的这段时间内发生故障时的概率也为最大值时，故障的机床数最多，有若有及，则可以认为最多有台机器在同一时段内故障；最少有台机器同时在运行；最多有台机器在等候修理；所有的工人因为故障的机床过多而造成停工休息的总时间为：其中,记当时，=0；当,，时，当，时，当，时， 当，时， 平均每小时处于工作状态的工人数为：平均每小时处于工作状态的修理工人数为：经过用Matlab编程计算得到，当不变时，考虑的变化对系统稳定性的影响，有下表：471346.9522.0934481347.7572.1293491348.2472.1512501447.3552.1114511447.8232.1322521442.5692.3980表1当不变时，考虑的变化对系统稳定性的影响，有表2：21447.7942.130941447.7172.1275表2从这两个表中可以看出，在不变的情况下，系统的各项指标均无较大的变化，当时，不足以修好三年内所有的故障机床，而时，平均每小时处于工作状态的工人数并没有多大影响，系统的其余指标也同样无大的好转.因而的取值应该不变，为.但是在的变化下，有当时，平均每小时处于工作状态的工人数增加了0.892人，为48.247人.也就是说在修理工人数不变,工人人数减少的情况下平均每小时处于工作状态的工人数反而达到最大值，因而最优的人事安排方案为50名工人，3名修理工.模型评价本文用概率的方法,以比较简单的模型解决了问题,通过引入假设4: 若机床故障的概率小于时,可以认为在三年内这种情况不发生.这一假设极大的简化了模型,求出了同时在运行的最少机器数为,等候修理的最大机器台数；之后又在这一基础上通过离散化的方法求出了每小时处于工作状态的工人数,平均每小时处于工作状态的修理工人数等等的系统稳定运行的各项指标；进而得出了生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，得到了最优的人事安排方案：应该请50名工人和3名修理工. 但是也正是由于这个模型的简单化使得这个模型过于粗糙,对于系统稳定运行方面的细节研究得不够,误差也比较大,但是还是如实地反映了系统运行的真实状态.参考文献：1 姜启源.数学模型（第三版）M.北京.高等教育出版社.20032 魏宗舒.概率论与数理统计教程M.北京.高等教育出版社.20033 程晓民,贾亚洲. 加工中心失效分布规律的研究. 机床与液压.2000.2:69-70.20004 牛映武.运筹学.西安.西安交通大学出版社.1998附录：Matlab计算程序n0=50;EPk=0.0617;p=;p=p,EPk0*(1-EPk)n0;for i=1:18 b=1; a=1; for j=1:i b=b*(n0-j+1); a=a*j; end c=b/a*EPki*(1-EPk)(n0-i); p=p,c;endpTs=0;N=156*5*8;for i=5:6 Ts=Ts+(i-4)*p(i+1)*7*N;endfor i=7:9 Ts=Ts+2*p(i+1)*7*N+(i-6)*p(i+1)*14*N;endfor i=10:12 Ts=Ts+2*p(i+1)*7*N+3*p(i+1)*14*N+(i-9)*p(i+1)*21*N;endfor i=13:15 Ts=Ts+2*p(i+1)*7*N+3*p(i+1)*14*N+3*p(i+1)*21*N+(i-12)*p(i+1)*8*N;endTs=fix(Ts)nnn=(N*n0-Ts)/Nmmm=nnn*7/157加工业生产的稳态模拟问题摘 要 本文主要解决的问题是关于加工业生产的稳态模拟问题。其中涉及到在固定的机器数量情况下。怎样合理安排机床工与修理工的人数，以达到最佳的工作效率。在本题中，厂家为我们提供了工作机床与备用机床数、发生机床故障时间间隔与修好时间的相应概率分布。而我们所需要解决的是评估其安排的工作人数是否是最佳工作效率方案。 经过初步分析，我们认为这是一个典型的随机排队论问题。故障的机床就相当于进入服务台的顾客，当出故障后进入维修的服务队列，而修理工就相当于服务台的服务员，负责对故障机床的修理工作。于是我们根据排队论建立了基本随机稳态模型，并依照模型原理建立了一套计算机模拟系统。同时，我们在模拟循环中加入符合概率分布的统计变量，以便于即时的统计和记录每个状态的相关数据。最终我们得出结论，平均每小时有约47.5名机床工在工作，其利用率为95%；平均每小时约有2.1名修理工处于工作状态，其利用率为72%。 在求解以后，我们还对于我们所求出的结果进行了全面的对比分析。其中我们发现，当修理工少于3人时，排队需要修理的机器太多导致机床工的利用率较低。而多于3人时，修理工又有很多时间处于闲置状态。故我们认为在题目所给出的条件下，原题中的人事安排是最合理的。 最后，本文就改变条件对于最优解的影响给出了相关分析。我们的模型以及所对应建立的计算机模拟系统都是用参数编程。在不同的条件下，只需要改变参数的赋值，就可以得出新的模拟结果，而我们的模型几乎不需要改变。进而大大增加了我们的模型系统的适用性，并可应用于同类相关问题。问题重述某工厂共有50机床加工原料，另配有4台备用机床，当正在加工的机床发生故障时，立即将备用机床投入生产过程，而发生故障的机床则移至由三名修理工组成的机修组进行修理，假定一台机床只由一名工人操作使用，维修时也只由一名修理工修理。经过实际调查，机床发生故障的间隔时间服从均值等于157小时的指数分布，一名修理工修理一台机床的时间服从4,10小时之间的均匀分布。进入修理状态的机床修理完成后成为备用机床待用状态。为符合加工的实际情况，我们还制定两条规则：某机床发生故障直接交给修理工修理时，总是送给休息时间最久的修理工。某机床修理完成，若直接交给工人加工时，总是送给休息时间最久的工人。管理部门要求了解机床用于生产的利用率、处于备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，以便对此维修策略进行评价。对于这个稳态模拟问题，我们可考虑该系统运行三年（共156周）的情况，并假设每周工作5天，每天工作8小时。问题假设1. 假设生产系统不计非工作时间，即认为该系统是连续工作的，因而总系统运行时间T应为15658=6240小时。2. 假设有m名加工工人，n名修理工人，k台备用机器。3. 一台机器只由一名工人操作，维修时也只由一名修理工人维修。4. 机床发生故障的间隔时间服从均值等于157小时的指数分布。5. 一名修理工修理一台机床的时间服从4,10小时之间的均匀分布。6. 开始状态时，所有机床均处于稳定运行状态，从而不至于因是新机器而要等很长时间才出故障；同样的，机床也不会因为运行时间过长而经常出故障。7. 不计状态发生故障切换的时间，即是说，某机床发生故障时，如果修理工空闲则直接送给修理工立即进行修理；某机床修理完成后，如果有机床工空闲也直接送给机床工立即进行加工。忽略运送时间。8. 以工人编号进入状态变化，而排队等候的机床进入修理状态的时候不考虑先后顺序。9. 某机床发生故障直接交给修理工修理时，总是送给空闲时间最久的修理工。10. 某机床修理完成直接交给机床工加工时，总是送给空闲时间最久的加工工人。11. 假设机床发生故障间隔时间与维修时间是相互独立的。符号约定t为时刻Ui第i名机床工（i=1,2,m）Vi第j名修理工（j=1,2,n）Ur(i)取值为1表明第i名机床工正在加工；取为0表明所使用的机床出现了故障；Ut(i)-第i名机床工所用机床出现故障的时刻；Vr(i)取值为1表明第i名修理工正在修理；取值为0表明该修理工在空闲。Vt(i)-第i名修理工修理好机器的时刻。Pn(t)-t时刻有n台机床出现故障的概率。-上次发生系统状态变化的时刻-上次发生系统状态变化至本次系统状态变化时刻的时间差-t时刻机床工已经工作的总时间-t时刻修理工已经工作的总时间-t时刻待修机床等候总时间-修理工中的最长空闲时间-t时刻正在加工的机床工的人数 -t时刻正在修理的修理工人数 -t时刻待修的机床数-t时刻备用机床数-同时运行的机床最少台数-待修理机器队列的最大长度(i)-有i名机床工同时加工的总时间(i=1,2,m)(i)-有i名修理工同时修理的总时间(i=1,2,n)L队-系统等待维修平均队长W队一台机床在等待维修的队列中的平均等待时间-为机床的效率-机床工作的有效总时间-为整个工作流程的总时间m机床工人数n修理工人数k备用机床数问题分析本题目是研究最大工作效率问题，主要考虑的是机床的利用率、不在同时间段处于备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，以便对此维修策略进行评价。建立数学模型以分析整个生产系统的特性（最少有多少台机器同时在运行；最多有多少台机器在等候修理；平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；等等。）；进一步研究生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，最终给出最优的人事安排方案。其实其间的两个主要的量既是机床的利用率以及工人的工作效率. 本题是一个关于对故障机床修理的一个随机排队论问题。故障的机床就相当于随机进入服务台的顾客，当出故障后进入维修的服务队列，而修理工就相当于服务台的服务员，负责对故障机床的修理工作。题目中指出机床的故障服从指数分布，所以顾客源就相当于是连续不断的，则对于故障机床的输入过程是一个简单流。对于故障机床等候修理的排队，队长是不限制的，对于服务顺序没有任何要求，只是要求有故障机床就要修理，则不妨认为是先到先服务。对于修理时间是服从4到10小时的均匀分布，另外有服务台即修理工3人。综上所述，这是一个M/G/3的随机排队问题。模型建立在初始研究阶段，为了方便模型的建立，我们先讨论只有一名修理工的情况。这样可以大大简化问题,可以通过随机排队模型求得系统等待维修平均队长和平均等待时间。对于这样的随机排队论问题，我们考虑在t+t时间段，系统有n台机床发生故障的概率为Pn（t+t）。而每台机床发生故障的间隔时间服从均值等于157小时的指数分布。参数，维修一台机床的时间服从4,10小时之间的均匀分布，参数7于是当t0时，我们给出在t时刻发生不同台数机床故障相互概率变化率的关系式：在稳定状态下，有，解关于的递推方程并注意到：从而可以得到：其中，由此得到系统等待维修平均队长L队和平均等待时间W队为：对于有n个修理工的情形在整个模型中，所谓在一个时段机床的利用率也就是该时段工作机床的台数与总的机床基数的比值，对于这个量我们不妨用时间来量化，即用机床工作的有效时间与全部机床都处于工作状态的时间的比值，有.同理,对于修理工的工作效率也有根据以上分析，我们的目标函数建立如下：其中，据题意和假设易知, =15658=6240小时.m,n分别为机床工和修理工的人数,由此可见,整个模型的重点在于对和的求解.然而,对于这种多人，多服务变量的较很难确定与的表达式,我们根据实际问题中随机变量所满足的概率分布，构建计算机模拟过程。其模拟过程框图见附件2模型求解我们先对计算机模拟模型做详细的描述：对t时刻Ut(i)或Vt(i)从空闲状态切换为工作状态而发生以下属性变换的过程分别记为G1(i)或G2(i)。G1: Uw(i1)=1,Ut(i1)=t+A(i1,1)G2: Vr(i2)=1,Vt(i2)=t+unifrnd(4,10) 系统运行过程中，我们以两类事件作为引起系统状态发生变化的要素：一是正在工作的某台机床发生故障脱离生产线的时刻；二是某台机器修理完毕成为备用机器或直接投入加工过程的时刻。在考虑模拟时间推近时，我们取最近发生系统变化的时刻作为下次时间的时间点。为此，令 =minUt(i)|Ur(i)=1,i=1,2,m =minVt(i)|Vr(i)=1,i=1,2,n 特别的，如果所有的修理工均空闲，则取=0同时，记是满足Ut()= 的机床工的编号，是满足Ut()=的修理工的编号 于是，不断推进的状态时间t即可取t=min(,) 下面对模型时间进行分析。(1)t=.这表明在t时刻，号工人所使用的机床出现了故障是离前一状态时刻相距间隔最短时间的，从而设置： Uw()=0此时，如果未有排队等候的机器或者有修理工空闲，令maxt-Vt(i)|Vr(i)=0,i=1,2,n 并取i=i|t-Vt(i)=,i=1,2,n,Vi既为空闲时间最久的修理工，于是调用G2（i）改变修理工的属性，既让Vi开始修理当前出现故障的机器。 若t时刻有机器等待修理，或者修理工均在工作，故障机器进入队列等候修理。 下一步，考虑是否有备用机器。若有则将其直接送到生产工人S处继续工作，因而调用G1（）改变该机床工的属性。(2)t= 这表明t在时刻，维修工人R修理完毕一台机床，从而设置 Vr（）=0如果此时有机床工空闲，令 =maxt- Ut(i)| Ur(i) =0,i=1,2,m并取 i=i| t- Ut(i) =,i=1,2,mUi即为空闲时间最久的机床工，于是调用G1(i)改变该机床工的属性，即将修好的机床交给Ui开始加工。 下一步 ，考虑是否有排队等候修理的机床。若有说明其他名修理工正在工作，于是将队列中的机床直接交给修理工，因而调用改变该修理工的属性。在状态变化模拟中，对各时段机床工已经工作的总时间、修理工已经工作的总时间、 待修机床等候总时间、修理工中的最长空闲时间、正在加工的机床工的人数、正在修理的修理工人数、待修的机床数、备用机床数、同时运行的机床最少台数、待修理机器队列的最大长度、有i名机床工同时加工的总时间(i)、有i名修理工同时修理的总时间(i)等变量进行必要的分段统计和叠加统计，从而计算机床工作的有效总时间和整个工作流程的总时间，计算出机床工作效率Z机，最终得到企业管理者决策需要的各类数据。模型的结果与检验分析经过计算机多次模拟的输出结果如下：（1）整个生产系统最少有41台机床同时运行；最多有9台机床在等候修理。 平均每小时有47.5名机床工处于工作状态，即机床工利用率为95%； 平均每小时有2.1名修理工处于工作状态，即修理工利用率为72%； 平均每小时有0.7台机器在等候修理。 （2）在计算机模拟统计中，统计了同时进行修理的修理工人数与修理时间分布情况如下表1 表1 机床工人数与加工时间分布表人数4344454647484950工作时间143346711622634925153概率0.0020.0040.0080.0120.0250.0420.0780.827又统计了同时加工的机床工人数与加工时间分布情况如下表2。表2修理工人数与加工时间分布表人数0123工作时间510114814613121概率0.080.180.240.50然后，我们再考察了修理工人数的多少对该系统运行情况的影响，我们修改修理工人数重新进行模拟，得到表3所示的不同修理人数的各项统计数据。表3不同修理工人数的统计情况修理工人数同时运行的最少机器数最多等候修理的机器数机床工利用率修理工利用率平均每小时等待修理机器数1371550%99%282262587%98%8341999%72%0.7445699%53%0.1546499%43%0.02通过表3的对比数据来看，只有一名修理工的时候，机床工的利用率较低，不符合生产计划优化决策。在2名修理工时，机床工利用率比修理工利用率低11%，且出现有25台机器同时等候修理的情况，这种安排也不符合生产计划优化决策。对于有3或4名修理工的情形，机床工的利用率都很高，但安排4名修理工时，修理工的利用率却比安排3名修理工时修理工的利用率要低21%。在有5名修理工的时候，虽然机床工的利用率很高，但修理工利用率不高，有些浪费。综合以上分析，因此我们认为在生产计划安排中设置3名修理工是最优决策。 模型的评价与推广本模型中，对于较简单的随机排队问题给出了解析模型表达式，对于较复杂的系统我们采用了计算机模拟统计方法。最后，我们讨论一下就改变条件对于最优解的影响。我们的模型以及所对应建立的计算机模拟系统都是用形式参数编程。其中我们的t时间推进与仿真的满足题目所给的概率分布产生的随机数有关，我们的t均是由模型中的相应参数变量所决定的。在不同的企业规模，不同的生产线用工条件下，只需要改变参数的赋值，就可以得出相应的模拟结果。而在处理符合特定的概率分布参数中，我们专门作了一个参数函数。如果实际问题改变概率分布类型，我们的模型几乎不需要改变，只需要在相关参数及概率分布函数来改变随机生成的命令即可。，所以我们认为我们的模型系统适用范围较广。同类相关问题均可以适用。参考文献1 郭耀煌，运筹学原理与方法，西南交大出版社，1994年9月2 吴孟达，数学建模的理论与实践，国防科技大学出版社，1999年8月3 姜启源，数学模型，高等教育出版社，1993年8月4 费培之，数学模型，四川大学出版社，1998年4 薛长虹，大学数学试验-MATLAB应用篇，西南交通大学出版社，2003年10月附件1程序：%tl为上次发生系统状态变化的时间,%td为上次发生系统状态变化至t时刻的时间差，%ts为t时刻机床工已工作的总时间%tr为t时刻修理工已工作的总时间%tq为t时刻待修机器等候总时间%ns为t时刻正在加工的机床工人数%nr为t时刻正在修理的修理工人数%nq为t时刻待修的机床数%nb为t时刻备用机床数%Jmin为同时运行的机床最少台数%qmax为待修理机床队列的最大长度%m为机床工人数%n为修理工人数%i1为最近出现故障机床的编号%i2为最近出现修理工闲置的编号m=input(m=);n=input(n=);k=input(k=);%初始化t=0;tl=0;ts=0;tr=0;tq=0;nr=0;nq=0;ns=50;nf=4;Ts=zeros(1,m);Tr=zeros(1,n);i2=1;Jmin=50;qmax=0for i=1:m A(i,:)=exprnd(157,1,40);%生成一组指数分布随机数，用于求时间间隔用endA1=10000*ones(m,1);A=A,A1