如何解一元一次方程应用题.doc

如何解一元一次方程应用题 一、 如何根据实际问题列方程 1、实际问题与数学知识的相互转换 数学来源于实践，在实际问题中，我们应学会用数学的观点考察与分析问题，我们经常是这样。 列一元一次方程解题，就是根据已知条件，列出一个一元一次方程，通过求方程的解达到解决问题的目的，列方程的关键是抓住问题中有关数量的相等关系，即找到一个包含题目含义的数量关系，所以在列方程时，要把握三个重要环节： 整体地、系统地审题，弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数。 找出能表示问题含义的一个主要的“等量关系”。 根据等量关系中涉及的量，列出表达式及方程，正确求解。 2、利用一元一次方程解决实际问题的常见题型：题型基本量，基本数量关系寻找相等关系的思路方法等积形式问题常见几何图形的长、宽、高、面积、周长、体积的公式，及相互之间的关系。（1）形变积不变（2）形变积也变，但重量不变利息问题本息和、本金、利息、利息和、利息税、期数的关系。利息=本金利率期数本息和=本金+利息年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人平等数字问题多位数的表示方法：是一个多位数，它可表示为： 1. 抓住数字间或新数、原数之间的关系，寻找相等关系。2. 常需设间接未知数。比例问题甲：乙：丙=a：b：c各部分量之和=总量设其中一份为x，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式。追及问题路程、速度、时间的关系路程=速度时间甲走的路程与乙走的路程之间关系等式。相遇问题路程、速度、时间的关系甲走的路程+乙走的路程=A、B两地间的路程航行问题顺水速度、静水速度、水流速度、时间、路程、速度之间的关系。两地间距离不变顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度水流速度 三、设未知数的方法： 根据具体问题作具体分析，设未知数通常有两种方法： 直接设未知数法： 即题目里问什么，就设什么作为未知数，这样设之后，只要能求出所列方程的解，就可以直接求得题目的所问。在多数情况下，应用题都可以直接设未知数求解。 间接设未知数法： 有些问题，若采用直接设未知数法，则不易列出方程，这时可以考虑采取间接设未知数法，即通过间接的桥梁作用。来达到求解的目的。按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可用间接设未知数法。二、典型例题 例1. 某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42500千克，问这个仓库原来有面粉多少千克？ 分析：把仓库中存放的面粉运出去，仓库中的面粉就比原来减少了，因此可以发现这道应用题隐含这样的一个相等关系：原来重量运出重量=剩余重量 利用直接方法设原来重量为x千克，则易列方程。 解：设原来重量为x千克，则运出重量为15%x，根据题意得： 解之得： 经检验，符合题意 答：原来重量为50000千克。 例2. 一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟，此时，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍？ 分析：这是一个追及问题，由于通讯员从学校出发按原路追学生队伍，所以与学生是同向而行且同地。所以有以下相等关系： 通讯员行进路程=学生行进路程 路线图示如下：设通讯员需x小时追上学生队伍 解：设通讯员需x小时追上学生队伍，根据题意得： 解之得： 经检验，符合题意 答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍。 例3. 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 分析：设应调往甲处x人，则调往乙处（20-x）人，那么甲、乙两处的人数可列出下表： 解：设应调往甲处x人，则调往乙处（20-x）人，根据题意得： 解之得： 经检验，符合题意 答：应调往甲处17人，乙处3人。 例4. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，则所得新数比原数大63，求原两位数。 分析：若直接设这两位数很难求解，根据已知条件，可间接设原来两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为11-x。 解：设原来两位数的个位上的数字为x，根据题意得： 解之得： 答：所求两位数为29。 例5. 某商品的售价为每件900元，为了加大参与市场竞争力度，商店按售价的9折再让利40元酬宾，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？ 分析：本题属商品利润问题：此类问题的基本量关系有： 商品利润=商品售价商品进价 可利用列方程的等量关系是：商品现售价商品进价=商品进价商品的利润率，即（商品原售价90%40）商品进价=商品进价商品的利润率。 解：设此商品进价为x元，根据题意，得： 解这个方程，得： 经检验，符合题意 答：此商品进价为700元。 说明：商品利润问题，常用于列方程的等量关系是： 商品售价商品进价=商品利润 例6. 某校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京参加夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元。 （1）设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，、乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费； （2）当学生是多少人时，两家旅行社的收费一样。 分析：本题是现实生活中经常出现的问题： （1）由两家旅行社的规定费用，根据参加人数可直接计算出两家旅行社的收费。 （2）由两家旅行社收费可得方程，进而可求得学生人数 解：（1）设学生人数为x人，则 （2）根据题意，得： 解这个方程得： 答：当学生数为4时，两家旅行社收费一样。 说明：本题如果你是校长，你应该选择哪家旅行社呢？那么这个问题就成了先计算两家旅行社费用，后比较费用的多少了。 例7. 依法纳税是每个公民的义务，中华人民共和国个人所得税法规定，有收入的公民依照下表中的规定的税率交纳个人所得税。 1999年规定，上表中“全月应纳税所得额”是从收入中减去800元后的余额，例如：某人月收入1020元，减去800元，应纳税所得额应是220元，应交个人所得税是：元。 王老师每月收入是相同的，且1999年第四季度交钠个人所得税99元，问王老师每月收入是多少元？ 分析：如果某人月收入不超过1300元（=800+500），那么每月交纳个人所得税不超过25元（=5005%），如果月收入超过1300元，但不超过2800元（=800+2000）。那么每月交纳个人所得税在25元到175元。，如果月收入超过2800元，那么每月交纳个人所得税在175元以上。因为王老师每月交个人所得税为993=33元，则他的月收入在1300元至2800元之间。利用月交纳个人所得税33元的等量关系可列方程求解。 解：设王老师的月收入为x元，根据题意，得： 解之得： 经检验，符合题意 答：王老师的月收入为1380元。 说明：在解题前先完成一个判断，即分类讨论，估计王老师月收入落在哪个范围内，然后才便于列出方程。列方程（组）解应用题的方法及步骤：（1）审题：要明确已知什么，未知什么及其相互关系，并用x表示题中的一个合理未知数。（2）根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。（关键一步）（3）根据相等关系，正确列出方程，即所列的方程应满足等号两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同。（4）解方程：求出未知数的值。（5）检验后明确地、完整地写出答案。检验应是：检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。2.应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系：（1）等积类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）变形后的体积（容积）。（2）调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。（3）利息类应用题的基本关系式：本金利率利息，本金利息本息。（4）商品利润率问题：商品的利润率，商品利润商品售价商品进价。（5）工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1，其中，工作效率工作总量工作时间。（6）行程类应用题基本关系：路程速度时间。相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程乙走的路程总路程。追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程前者走的路程两地间的距离。