专题复习之随机变量及其分布.doc

专题复习之随机变量及其分布一、知识点解析（一）离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母、等表示.随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（1，2，）的概率，则称下表. PP1P2 为随机变量的概率分布，简称的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1），1，2，;（2）.常见的离散型随机变量的分布列：（1）二点分布： 若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则期望方差证明：,（2）二项分布次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，n，并且，其中，随机变量的分布列如下：01P称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .期望方差期望公式证明：，又，（2） 超几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量的概率分布为：123kPpqp3、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量的概率分布为：P、期望：性质： ；若(是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有；设、相互独立，则。推论1：（均是常数）。 特别地：.推论2：若相互独立，则.性质的推导：的分布列为P于是)。、方差：性质： ；若(是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；若相互独立，则。、标准差：.、期望和方差的关系： 2、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望、方差的定义求出、.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可（二）、正态分布1正态分布密度函数：，（0，-x）其中是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差.正态分布一般记为 2正态分布）是由均值和标准差唯一决定的分布3正态曲线的性质：正态分布由参数、唯一确定，如果随机变量N(，2)，根据定义有：=E，=D。正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x =对称。（3）曲线在x =时位于最高点，峰值为 。（4）当x 时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）当一定时，曲线的形状由确定。越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。注意：决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.4.标准正态分布（三）回归直线1、设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数，,相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 2、相关系数：相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的，对于变量y与x的一组观测值，把= 叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度. 3、相关系数的性质： 1，且越接近1，相关程度越大；且越接近0，相关程度越小.一般的，当 0.75 时，就可以判断其具有很强的相关性，这时求线性回归方程才有意义。二、经典例题1、设的分布列为1 2 3P0.1 0.7 0.2 求：；的数学期望.2、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队、队最后所得分分别为，.（1）求的概率分布；（2）求，。3、6件产品中有2件次品，从中任意抽取2件，含次品的个数的数学期望与方差。4、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望与方差。5、设，且，求、，6、一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。7、甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲 射手乙击中环数8910击中环数8910概率P0.20.60.2概率P0.40.20.4用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平。8、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数。（1）求袋中所有的白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率。9、某批待出口的水果罐头，每罐净重x(g)服从正态分布N(184，2.52)，求：(1)随机抽取一罐，其实际净重超过184.5g的概率。(2)随机抽取一罐，其实际净重在179g与189g之间的概率。10、设，且总体密度曲线的函数表达式为：，xR。（1）求，；（2）求的值。11、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？12、某大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率；(2) 至少有3个设备