高考数学一轮复习 8.7 抛物线课件 文 新人教A版.ppt

第七节抛物线 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 在平面内 动点到定点f的距离与到定直线l的距离 定点 定直线上 相等 不在 2 抛物线的标准方程与几何性质 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py o 0 0 y 0 x轴 x 0 y轴 x 0 y r x 0 y r y 0 x r y 0 x r 2 必备结论教材提炼记一记抛物线焦点弦的几个常用结论设ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 y1y2 2 弦长 ab 为弦ab的倾斜角 3 以弦ab为直径的圆与准线相切 4 通径 过焦点垂直于对称轴的弦 长等于2p p2 x1 x2 p 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 待定系数法 点差法 定义法 设而不求 2 数学思想 数形结合思想 分类讨论思想 方程思想 转化与化归思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 2 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是x 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 解析 1 错误 当定点在定直线上时 轨迹为过定点f与定直线l垂直的一条直线 而非抛物线 2 错误 方程y ax2 a 0 可化为x2 y 是焦点在y轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是y 3 错误 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 答案 1 2 3 2 教材改编链接教材练一练 1 选修1 1p59t3 1 改编 设抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是 解析 如图所示 抛物线的准线l的方程为x 2 f是抛物线的焦点 过点p作pa y轴 垂足是a 延长pa交直线l于点b 则 ab 2 由于点p到y轴的距离为4 则点p到准线l的距离 pb 4 2 6 所以点p到焦点的距离 pf pb 6 答案 6 2 选修1 1p63t1 1 改编 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点p 2 4 则该抛物线的标准方程为 解析 很明显点p在第三象限 所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上 当焦点在x轴负半轴上时 设方程为y2 2px p 0 把点p 2 4 的坐标代入得 4 2 2p 2 解得p 4 此时抛物线的标准方程为y2 8x 当焦点在y轴负半轴上时 设方程为x2 2py p 0 把点p 2 4 的坐标代入得 2 2 2p 4 解得p 此时抛物线的标准方程为x2 y 综上可知 抛物线的标准方程为y2 8x或x2 y 答案 y2 8x或x2 y 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 安徽高考 抛物线y x2的准线方程是 a y 1b y 2c x 1d x 2 解析 选a y x2 x2 4y 所以抛物线的准线方程是y 1 2 2014 新课标全国卷 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过f且倾斜角为30 的直线交c于a b两点 则 ab 解析 选c 设 af 2m bf 2n f 0 则由抛物线的定义和直角三角形知识可得 ab af bf 2m 2n 12 故选c 3 2015 广州模拟 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 点a 0 2 若线段fa的中点b在抛物线上 则b到该抛物线准线的距离为 解析 依题意知 抛物线y2 2px p 0 的焦点f 0 又a 0 2 所以fa的中点b 1 又b在抛物线上 所以1 2p 所以答案 4 2014 上海高考 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆的右焦点重合 则该抛物线的准线方程为 解析 根据椭圆的右焦点坐标f 2 0 得p 4 所以抛物线的准线方程为x 2 答案 x 2 考点1抛物线的定义及其应用 典例1 1 2014 新课标全国卷 已知抛物线c y2 x的焦点为f a x0 y0 是c上一点 af x0 则x0 a 1b 2c 4d 8 2 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时点p的坐标 解题提示 1 由y2 x可知 抛物线的准线方程为x 从而可得a到抛物线准线的距离为x0 然后利用抛物线的定义即可求得x0的值 2 利用抛物线的定义可知 pf 即为点p到准线的距离 从而将 pa pf 的最小值转化为p到点a和到准线的距离之和最小问题 规范解答 1 选a 根据抛物线的定义可知 af 解之得x0 1 2 将x 3代入抛物线方程y2 2x 得y 因为 2 所以a在抛物线内部 如图 设抛物线上点p到准线l x 的距离为d 由定义知 pa pf pa d 当pa l时 pa d最小 最小值为即 pa pf 的最小值为此时p点纵坐标为2 代入y2 2x 得x 2 所以点p的坐标为 2 2 互动探究 在本例 1 中 若a点在x轴上方 且af的延长线交抛物线于点b 求b点的坐标 求 aob的面积 解析 由例题可知a 1 1 f 0 所以所以直线af的方程为即4x 3y 1 0 由即 4y 1 y 1 0 所以或y 1 又因为a在x轴上方 所以b在x轴下方 即 规律方法 1 与抛物线定义有关的两个线段抛物线的焦半径 焦点弦 2 抛物线定义的作用将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 变式训练 2015 玉溪模拟 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 4 0 在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1 p到直线l的距离为d2 则d1 d2的最小值是 解析 选d 因为抛物线的方程为y2 4x 所以焦点坐标f 1 0 准线方程为x 1 因为点p到y轴的距离为d1 所以到准线的距离为d1 1 又d1 1 pf 所以d1 d2 d1 1 d2 1 pf d2 1 焦点到直线的距离d 而 pf d2 d 所以d1 d2 pf d2 1 1 选d 加固训练 1 抛物线y 4x2上的一点m到焦点的距离为1 则点m的纵坐标是 解析 选b 抛物线方程可化为x2 其准线方程为y 设m x0 y0 则由抛物线的定义 可知 2 2015 潍坊模拟 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为y轴 抛物线上一点q 3 m 到焦点的距离是5 则抛物线的方程为 解析 设抛物线方程为x2 ay a 0 则准线为y 因为q 3 m 在抛物线上 所以9 am 而点q到焦点的距离等于点q到准线的距离 解得 a 2 或a 18 所以所求抛物线的方程为x2 2y 或x2 18y 答案 x2 2y或x2 18y 3 2015 天津模拟 设抛物线x2 4y的焦点为f 经过点p 1 4 的直线l与抛物线相交于a b两点 点p为线段ab的中点 则的值为 解析 如图 设a x1 y1 b x2 y2 则 aa1 bb1 y1 1 y2 1 y1 y2 2 8 2 10 答案 10 考点2抛物线的标准方程及其性质 典例2 1 点m 5 3 到抛物线y ax2的准线的距离为6 那么抛物线的标准方程是 2 2014 湖南高考 如图 正方形abcd和正方形defg的边长分别为a b a0 经过c f两点 则 解题提示 1 只要确定a的值 即可求出抛物线的方程 利用点m到抛物线准线的距离即可求出a 2 根据正方形的边长及o为ad的中点 求出点c f的坐标 将两点坐标代入抛物线方程求解 规范解答 1 选d 将y ax2化为x2 y 当a 0时 准线y 由已知得3 6 所以 12 所以a 当a 0时 准线y 由已知得 3 6 所以所以抛物线方程为x2 12y或x2 36y 故选d 答案 1 易错警示 解答本例 1 有两点容易出错 误将y ax2认为是抛物线的标准方程 从而误认为准线方程为y 易忽视对a进行分类讨论 规律方法 1 抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向 焦点位置 焦点到准线的距离 从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程 2 求抛物线的标准方程的方法及流程 1 方法 求抛物线的标准方程常用待定系数法 因为未知数只有p 所以只需一个条件确定p值即可 2 流程 因为抛物线方程有四种标准形式 因此求抛物线方程时 需先定位 再定量 提醒 求标准方程要先确定形式 必要时要进行分类讨论 标准方程有时可设为y2 mx或x2 my m 0 变式训练 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 并且经过点m 2 y0 若点m到该抛物线焦点的距离为3 则 om 解析 选b 由题意设抛物线方程为y2 2px p 0 则m到焦点的距离为所以p 2 所以y2 4x 所以y02 4 2 所以y0 所以 om 加固训练 1 2015 郑州模拟 抛物线y2 4x的焦点f到准线l的距离为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 该抛物线的焦点f 1 0 准线l为 x 1 所以焦点f到准线l的距离为2 2 设抛物线y2 mx的准线与直线x 1的距离为3 则抛物线的方程为 解析 当m 0时 准线方程为x 2 所以m 8 此时抛物线方程为y2 8x 当m 0时 准线方程为x 4 所以m 16 此时抛物线方程为y2 16x 所以所求抛物线方程为y2 8x或y2 16x 答案 y2 8x或y2 16x 3 2015 烟台模拟 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在y轴上 过焦点的直线与抛物线交于两点的横坐标之积为4 抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为6 能满足抛物线y2 8x的条件是 填序号 解析 错 抛物线的焦点在x轴上 设过抛物线焦点的直线为x my 2 代入y2 8x 得y2 8my 16 0 设两交点为 x1 y1 x2 y2 则y1y2 16 所以x1x2 4 故 正确 错 抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离等于其到准线x 2的距离 即d 2 2 4 答案 考点3直线与抛物线的综合问题知 考情直线与抛物线的综合问题是解析几何的重要内容 也是高考命题的亮点 题型以解答题为主 有时也会以选择题 填空题的形式出现 重点考查抛物线的定义 标准方程 几何性质 直线与抛物线的位置关系以及学生的运算能力 分析问题 解决问题的能力 明 角度命题角度1 直线与抛物线交点问题 典例3 2014 辽宁高考 已知点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 过点a的直线与c在第一象限相切于点b 记c的焦点为f 则直线bf的斜率为 解题提示 由抛物线的定义知p的值 也就确定了抛物线的方程和焦点坐标 进而结合导数的几何意义求出切点b的坐标 利用直线的斜率公式求出直线bf的斜率 规范解答 选d 根据已知条件得 2 所以p 4 所以抛物线方程为y2 8x 其焦点f 2 0 设切点b x0 y0 由题意 在第一象限内y2 8x 由导数的几何意义可知切线的斜率为kab 而切线的斜率也可以为kab 又因为切点b x0 y0 在曲线上 所以y02 8x0 由上述条件解得x0 y0 8 即b 8 8 所以直线bf的斜率为 命题角度2 与抛物线弦的中点有关的问题 典例4 2014 浙江高考 已知 abp的三个顶点在抛物线c x2 4y上 f为抛物线c的焦点 点m为ab的中点 1 若 pf 3 求点m的坐标 2 求 abp面积的最大值 解题提示 1 根据抛物线的定义 利用条件 pf 3 建立方程关系即可求点m的坐标 2 设直线ab的方程为y kx m 利用直线和抛物线联立结合弦长公式以及点到直线的距离公式 利用导数即可求出三角形面积的最值 规范解答 由题意知焦点f 0 1 准线方程为y 1 设p x0 y0 1 由抛物线的定义可知 pf y0 1 解得y0 2 2 由题意设直线ab的方程为y kx m a x1 y1 b x2 y2 由得x2 4kx 4m 0 于是 16k2 16m 0 x1 x2 4k x1 x2 4m 即ab的中点m的坐标为 2k 2k2 m 由得 x0 1 y0 3 2k 2k2 m 1 解得 所以s abp 4s abf 则f m 9m2 10m 1 令f m 9m2 10m 1 0 悟 技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 ab x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时 一般用 点差法 求解 通 一类1 2015 长沙模拟 抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f m是抛物线c上的点 若 ofm的外接圆与抛物线c的准线相切 且该圆面积为36 则p a 2b 4c 6d 8 解析 选d 因为 ofm的外接圆的圆心在线段of的中垂线上 所以圆心到抛物线准线的距离为由圆的面积公式得p 8 2 2015 杭州模拟 抛物线y2 x的焦点为f 点p x y 为该抛物线上的动点 又点a 0 则的最小值是 解析 选c 点a是抛物线的准线与x轴的交点 过p作抛物线准线的垂线 记垂足为b 则由抛物线定义可得当 pab最小时 的值最小 此时 直线pa与抛物线相切 可求得直线pa的斜率k 1 所以 pab 45 的值最小为 3 2015 沈阳模拟 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为的直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 两点 且 ab 9 1 求该抛物线的方程 2 o为坐标原点 c为抛物线上一点 若求 的值 解析 1 由题意得直线ab的方程为与y2 2px联立 从而有4x2 5px p2 0 所以x1 x2 由抛物线定义得 ab x1 x2 p p 9 所以p 4 从而该抛物线的方程为y2 8x 2 由 1