高考数学一轮复习 专题探究课 导数问题中的热点题型 文 新人教A版 .ppt

热点一利用导数解决函数的单调性问题 函数的单调性是函数在定义域内的局部性质 因此利用导数讨论函数的单调性时 要先研究函数的定义域 再利用导数f x 在定义域内的符号来判断函数的单调性 这类问题主要有两种考查方式 热点突破 热点一利用导数解决函数的单调性问题 解f x x2 2x a 开口向上 4 4a 4 1 a 2分 当1 a 0 即a 1时 f x 0恒成立 f x 在r上单调递增 4分 当1 a 0时 即a 1时 令f x 0 热点突破 热点一利用导数解决函数的单调性问题 综上所述 当a 1时 f x 在r上单调递增 热点突破 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 求含参函数f x 的单调区间的一般步骤 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 讨论含参函数的单调性 大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论 注意根据对应方程解的大小进行分类讨论 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 1 当a 1时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 2 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 3 当0 a 1时 令f x 0 训练1 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 求函数f x 的单调区间 解f x 的定义域为 0 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 令h x x2 ax 1 函数g x 在 1 2 上是减函数等价于h x 0在 1 2 上恒成立 而f 2 4 a 2 解得a 2 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 求解此类由函数单调性确定参数取值范围问题的关键在于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件 函数在指定区间内不单调也就是导函数在指定区间内符号发生变化 此类问题的求解 一般是利用补集思想 先求函数在指定区间内单调时对应的参数取值范围 然后求解补集 也可根据导函数图象的特征列出对应的条件 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 若f x 为单调递减函数 则f x 0 f 1 1 a e 训练2 已知函数f x exlnx aex a 0 1 若函数f x 的图象在点 1 f 1 处的切线与直线x ey 1 0垂直 求实数a的值 2 若函数f x 在区间 0 上是单调函数 求实数a的取值范围 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 由上述推理可知此时a 1 故a的取值范围是 1 由g x 0得x 1 故g x 在 0 1 上为单调递减函数 在 1 上为单调递增函数 此时g x 有最小值为g 1 1 但g x 无最大值 故f x 不可能是单调递减函数 若f x 为单调递增函数 训练2 已知函数f x exlnx aex a 0 1 若函数f x 的图象在点 1 f 1 处的切线与直线x ey 1 0垂直 求实数a的值 2 若函数f x 在区间 0 上是单调函数 求实数a的取值范围 热点一利用导数解决函数的单调性问题 热点突破 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值 用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一 对于此类问题的求解 首先 要理解函数极值的概念 需要清楚导数为零的点不一定是极值点 只有在该点两侧导数的符号相反 即函数在该点两侧的单调性相反时 该点才是函数的极值点 其次 要区分极值与最值 函数的极值是一个局部概念 而最值是某个区间的整体性概念 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值 解 1 因为f x ax xlnx 所以f x a lnx 1 因为函数f x ax xlnx的图象在点x e处的切线斜率为3 所以f e 3 即a lne 1 3 所以a 1 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值 2 由 1 知 f x x xlnx 令h x x lnx 2 x 1 所以函数h x 在 1 上单调递增 因为h 3 1 ln30 所以方程h x 0在 1 上存在唯一实根x0 且满足x0 3 4 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值 在 x0 上单调递增 所以k g x min x0 3 4 故整数k的最大值为3 当1x0时 h x 0 即g x 0 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值 解因为f x x2 a 1 当x 1时 f x 取得极值 所以f 1 1 a 0 a 1 又当x 1 1 时 f x 0 x 1 时 f x 0 所以f x 在x 1处取得极小值 即a 1时符合题意 2 当a 0时 f x 0对x 0 1 恒成立 所以f x 在 0 1 上单调递增 f x 在x 0处取得最小值f 0 1 当a 0时 令f x x2 a 0 热点突破 热点二利用导数求解函数的极值 最值 x 0 1 时 f x 0 f x 单调递减 综上所述 当a 0时 f x 在x 0处取得最小值f 0 1 热点突破 热点三构造函数法求解不等式恒成立问题 函数与导数的试题 在每年的高考中属于必考内容 一般为压轴题 主要围绕函数的单调性 极值 最值 不等式恒成立等问题展开 此类压轴试题难度较大 对逻辑推理能力较强 不可小视 热点三构造函数法求解不等式恒成立问题 解 1 若a 0 则f x xlnx x 1 f x lnx x 0 1 时 f x 0 f x 为减函数 x 1 时 f x 0 f x 为增函数 例4 2015 石家庄模拟 已知函数f x xlnx x 1 ax a 1 a r 1 若a 0 判断函数f x 的单调性 2 若x 1时 f x 0恒成立 求a的取值范围 热点突破 热点三构造函数法求解不等式恒成立问题 例4 2015 石家庄模拟 已知函数f x xlnx x 1 ax a 1 a r 1 若a 0 判断函数f x 的单调性 2 若x 1时 f x 0恒成立 求a的取值范围 一审 二审 三审 四审 五审 热点突破 热点三构造函数法求解不等式恒成立问题 2 依题意知xlnx x 1 ax a 1 0在 1 上恒成立 若a 0 则f x xlnx x 1 f x lnx x 1 时 f x 0 f x 为增函数 f x f 1 0 即f x 0不成立 a 0不合题意 若a 0 x 1 例4 2015 石家庄模拟 已知函数f x xlnx x 1 ax a 1 a r 1 若a 0 判断函数f x 的单调性 2 若x 1时 f x 0恒成立 求a的取值范围 热点突破 热点三构造函数法求解不等式恒成立问题 x 1时h x 0 h x 为增函数 h x h 1 0 不合题意 例4 2015 石家庄模拟 已知函数f x xlnx x 1 ax a 1 a r 1 若a 0 判断函数f x 的单调性 2 若x 1时 f x 0恒成立 求a的取值范围 h x 为增函数 h x h 1 0 不合题意 h x h 1 0 符合题意 热点突破 热点三构造函数法求解不等式恒成立问题 求解不等式恒成立时参数的取值范围问题 一般常用分离参数的方法 但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值 或者求解其函数最值繁琐时 可采用直接构造函数的方法求解 热点突破 f x x2 2x 3 k f 3 0 又f 3 9 切线方程为y 9 热点三构造函数法求解不等式恒成立问题 热点突破 2 f x x2 2x m2 1 其对称轴为x 1 热点三构造函数法求解不等式恒成立问题 热点突破 x1 x2 3