概率思想在数学证明中的应用.pdf

2 0 0 5 年第6 期广西教育学院学报N O 6 2 0 0 5 总第8 0 期 G U a N G X lJ I A O Y U X U E Y U A NX U E B A O S e d a lN 0 8 0 q p 司h 驴q 母h 硒 4 妒 驴 驴矿 q h 妒 驴谚 d 驴 4 睁峥 司h d 时趔h 妒啼埘h 4 h 4 胡h 妒 矿廿埘h d d 协捌时妒 旁 概率思想在数学证明中的应用 黄绪明 长江大学湖北荆州邮编 4 3 4 0 2 3 摘要 通过举例说明如何利用概率思想证明代数不等式以及求无穷级数的和及极限的方 法 从中可以看到概率与其它数学分支的联系以及用概率思想解题的美妙之处 进一步阐明概 率方法应用的广泛性 关键词 恒等式不等式随机模型概率思想中心极限定理 中图分类号 0 2 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 6 9 4 1 0 2 0 0 5 0 6 0 0 7 3 0 2 概率论是数学的一个很重要分支 它的理论 解题方法不同于数学分析和代数 现用概率方法 来解决数学分析 代数中的问题 一方面显示出概 率方法在证明某些数列问题时的简明性 另一方面 也表现了数学各个分支之间的联系 并阐明利用 概率方法的关键是根据不同的数学问题建立相应 的随机模型 然后利用相关的定理 直接解出问题 1 利用概率方法证明数列中的一些问题和 不等式 引理设x 是一只取有限个值的离散型随机 变量 其分布列为 P X k P K 1 2 n 则E x 2 E 2 x 当且仅当X l x 2 一 l E X 时 等号成 立 证明 E X 2 一E 2 x D X i E x 2 O 所以引理成立 例1 如果a b R 且a b 求证 a 3 口 f b a b 2 1 证明 设随机变量x 的分布率为 P x 詈 土 r x 赢 E x 苦击 赢 1 注意a b 由引理即得 1 证毕 1 式等价于誓 普 a b 类似地 若设 推广1 设a 1 a 2 日t I 是不全相等的正数 则 奎蔓 妻轧 规定a T 1 I 1 1 3 例2 已知a b c 是不全相等的正数 求证 a b 2 c 2 b c 2 a 2 c a 2 b 2 6 a b e 证明 原式等价于 b e 掣 鲥尘 6 设随机变量x 的分布列为 r x r x 古 r x 詈 1 8 一7 3 一 点 警 囝 n2 咎酗 l I 土 X 推 1 得汪可 万方数据 其中s a b c 则 E X 2 2 詈 景 2 2 量 旦 aDC 也 半 业 3 E x s 舌 詈 詈 詈 3 由引理即可得证 类似的证明可得命题的推广 推广2 设a a 2 是不全相等的正数 n 2 且竞a i 则主旦二里 n n 1 i 1 i l氆 例3 如果a b c E R 求证 ahn3 b c i i i 巧之丁 证明 设随机变量X 的分布率为 r X 卉 尝 r x 毒 茅 r x 赢 芋 其中s2a b c 则E x 2 丽南 j 南 谛j E X 丢 由引理E X 2 E 2 x 代入整理 得 a b n3 i 再 i 再 i 再 i 例4 法捷耶夫定理 设f x 和g x 是n 上 的两个正值要测函数 又q a g x 兰y 中 y nf x a x 则 fn x g x d 中 y d y 证明 建立随机模型 令随机变量x 的密度函 数为 吣 揣x n 则E g x g x x d x I 令E Y g x 的分布函数为F y 则E Y f f y d F y f0 1 一F y d y f i x d x d y 2 赢f 中 y d y 2 一7 4 由 1 与 2 得 fn x f l x d 击 i 中 y d r 即 n x g x d x m y d y 2 利用概率方法求级数的和 例5 求证耋面尚 1 0 证明 建立一个随机模型 令E 只有两个基本 事件A 和五的随机试验 试验E 独立重复n 次 在 第 次试验中 A 出现的概率m 不出现的概率为 啄 1 一A 令L 表示n 次独立试验中A 首次出现 在第1 3 次试验的概率 则有 P l 与 吼p 2 q 1 啦 一1 令p N 蚤 0 w2 旦 则有p N 目 1 取 而n 则e N n f f l 而1 p w o w 导 要 薹南i 鱼而1 11 3 1 j 一篇 n 兰 一 取忡 艘立 而1 o 蓥南 1 例6 求证 蚋e 妻蔷 吉 证明 建立随机模型设x 1 X 2 n 为独立同 分布随机变量 设p I x x 西七j 则p 蓦X i x l 可n k e 由中心极限定理 地 学 掣l i m 枷毗 舰e 壹簧 去h e a t 参考文献 1 盛骤 谢式千 等 概率论与数理统计 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 1 第3 版 2 同济大学 高等教学 M 北京 高等教育 出版社 2 0 0 2 第5 版 万方数据 概率思想在数学证明中的应用概率思想在数学证明中的应用 作者 黄绪明 作者单位 长江大学 湖北 荆州 434023 刊名 广西教育学院学报 英文刊名 JOURNAL OF GUANGXI COLLEGE OF EDUCATION 年 卷 期 2005 6 被引用次数 1次 参考文献 2条 参考文献 2条 1 盛骤 谢式千 概率论与数理统计 2001 2 同济大学 高等教学 2002 相似文献 10条 相似文献 10条 1 期刊论文 钮鹏程 张慧清 罗学波 Heisenberg群上的Hardy不等式与Pohozaev恒等式 数学学报2003 46 2 本文对Heisenberg群Hn上的p 次Laplace算子 Hn p构造了基本解 建立了关于基向量场的Picone恒等式 进而建立了Hardy不等式 利用向量场的非交 换运算导出了Pohozaev恒等式 这些结果均推广了Folland Garofalo Lanconelli已有的结果 而方法则有所改进 最后给出了在非线性次椭圆方程中的应 用 2 期刊论文 王家林 廖冬妮 喻译峰 WANG Jia lin LIAO Dong ni YU Ze feng 关于四元素Heisenberg群上的 Picone恒等式和Hardy不等式 西南民族大学学报 自然科学版 2006 32 4 给出了构成四元素 Quaternionic Heisenberg 群上次Laplace算子L n p 13 i 0X2pi的向量场的Picone恒等式 并由Picone恒等式导出了Hardy不 等式 3 学位论文 张慧清 和向量场相关的Hardy不等式 Pohozaev恒等式及边值问题 2001 在论文第一章中 作者首先沿用Folland建立 H 的基本解的思想给出广义Greiner算子L在原点处的基本解 在此基础上 沿用Garofalo的思想 给出平均值定理 Hardy不等式及不确定原理 由于Garoflo对 H 建立Pohozev恒等式的方法已不再适用于L 作者采用建立Rellich恒等式的方法给 出了Pohozaev恒等式及其对非线性方程的应用 最后 讨论了Carlenman估计及唯一延拓性 在第二章中 给出了L所构造的p次非椭圆算子L的一些性质 首先给出了在原点处的基本解 但没有用于建立Hardy不等式 原因在于Garofalo的思想在此也不适用 作者采取另外的途径 即建立Picone恒等式 进而得 到了Hardy不等式 当p 1时 即为第一章的结论 但该方法计算简便 优于第一章的方法 最后 作者推广了Rellich恒等式 进而得到了更一般形式的 Pohozaev恒等式 在第三章中 给出了Baouendi Grushinp算子所构成的p次退化算子L的一些性质 像第二章一样 给出了在原点处的基本解 Hardy不等式 Pohzaev恒等式及一些不存在性结果 4 期刊论文 张慧清 钮鹏程 关于一类向量场的Picone恒等式和Hardy不等式1 数学杂志2003 23 1 本文绘出了构成Baouendi Grushin算子L x z 2 t 0 z Rn t Rm 的向量场的Picone恒等式 由此导出了Hardy不等式 已有文献中得到 的不等式成为本文结果的特殊情形 5 期刊论文 刘卓平 褚小光 郭白妮 LIU Zhuo ping CHU Xiao guang GUO Bai ni 两个具偶数元的代数不等式 河 南理工大学学报 自然科学版 2005 24 5 通过证明1个组合恒等式和代数恒等式 并利用著名的Cauchy不等式 建立了2个新的具有偶数个变量的代数不等式 推广了杂志 2004年第2期的CIQ 103问题和2005年第1期的CIQ 142问题 6 学位论文 韩亚洲 齐次群上的Hardy不等式 振荡理论 Pohozaev恒等式及其应用 2003 该文是在我导师钮鹏程教授的悉心指导下完成的 通过讨论齐次群上的一些性质 从而得到该文的结果 首先我们利用Garofalo和Lanconelli证明 Hardy型不等式的方法 得到了齐次群上的一类Hardy型不等式和不确定原理 然后作为应用证明了一类具有不确定权的次椭圆偏微分方程的特征值问题的 存在性 在第二章我们沿用Allegretto和Huang以及后来由钮鹏程 张慧清和王勇发展到Heisenberg群上的思路 建立了齐次群上的Picone型恒等式 然后 通过构造不同的辅助函数 证明了欧氏空间和Heisenberg群上球域内外的一些Hardy型不等式 在第三章首先建立了齐次群上的一类更为广泛的Picone型恒 等式 然后建立齐次群上的一类半线性方程组的Sturmian型比较定理 这里的Hardy型不等式包括了已有结果 在第四章我们首先建立齐次群上的 Pohozaev型恒等式 然后通过对待征集的讨论我们建立了齐次群上的一类不存在问题 7 期刊论文 韩亚洲 张书陶 HAN Ya zhou ZHANG Shu tao Caffarelli Kohn Nirenberg不等式的证明 浙江大学学 报 理学版 2007 34 5 先用函数表示和Picone恒等式的方法建立高维欧氏空间的一类Hardy型不等式 结合CAFFARELLI KOHN NIRENBERG三人证明Caffarelli Kohn Nirenberg不等式的思想 给出Caffarelli Kohn Nirenberg不等式的证明 突破原文需转化为一维情形的限制 对高维空间的情形直接证明 易于推广 8 期刊论文 陈梅香 杨忠鹏 林国钦 CHEN Mei xiang YANG Zhong peng LIN Guo qin 关于Sylvester与 Frobenius不等式等号条件的研究 莆田学院学报2008 15 2 应用新近得到的矩阵多项式秩的恒等式 对矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式限定在矩阵多项式上取等号的条件进行进一步讨论 同时给 出近期相关结果的一种统一的证明方法 9 学位论文 韩军强 H型群上的Hardy不等式 Pohozaev恒等式和唯一延拓性 2004 该文致力于H型群上某些性质的研究 第一章给出了H型群上的几类Hardy不等式 并确定出了次Laplace算子的Hardy不等式中的最佳常数 第二章建立 了H型群上的一些积分恒等式 得到了H型群上半线性次椭圆Laplace方程正解的一个不存在性结果 第三章建立了H型群上次Laplace算子的Carleman估计 并证明了一个唯一延拓性定理 10 期刊论文 王胜军 WANG Sheng jun 一类具有双权退化椭圆算子的Picone恒等式及其应用 青海大学学报 自然 科学版 2007 25 3 提出一类比广义B