高中数学 圆锥曲线与方程综合题专练 北师大版选修11.doc

圆锥曲线与方程综合题专练1(2015湖南文，20)已知抛物线c1：x24y的焦点f也是椭圆c2：1(ab0)的一个焦点，c1与c2的公共弦的长为2.过点f的直线l与c1相交于a，b两点，与c2相交于c，d两点，且a与b同向(1)求c2的方程；(2)若|ac|bd|，求直线l的斜率解析(1)由c1：x24y知其焦点f的坐标为(0,1)，因为f也是椭圆c2的一个焦点，所以a2b21 ；又c1与c2的公共弦长为2，c1与c2都关于y轴对称，且c1的方程为：x24y，由此易知c1与c2的公共点的坐标为(，)，1，联立得a29，b28，故c2的方程为1.(2)如图，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)，因与同向，且|ac|bd|，所以，从而x3x1x4x2，即x3x4x1x2，于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1，由得x24kx40，由x1，x2是这个方程的两根，x1x24k，x1x24由得(98k2)x216kx640，而x3，x4是这个方程的两根，x3x4，x3x4 将、代入，得16(k21).即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.2(2015安徽文，20)设椭圆e的方程为1(ab0)，点o为坐标原点，点a的坐标为(a,0)，点b的坐标为(0，b)，点m在线段ab上，满足|bm|2|ma|，直线om的斜率为.(1)求e的离心率e；(2)设点c的坐标为(0，b)，n为线段ac的中点，证明：mnab.解析(1)|bm|2|ma|且a(a,0)，b(0，b)，m(a，b)又om的斜率为，e.(2)由题意可知n点的坐标为(，)，kmn，kab，kmnkab1.mnab.3(2015广东文，20)已知过原点的动直线l与圆c1：x2y26x50相交于不同的两点a，b.(1)求圆c1的圆心坐标；(2)求线段ab的中点m的轨迹c的方程；(3)是否存在实数k，使得直线l：yk(x4)与曲线c只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解析(1)圆c1：x2y26x50化为(x3)2y24，所以圆c1的圆心坐标为(3,0)(2)设线段ab的中点m(x0，y0)，由圆的性质可得c1m垂直于直线l.设直线l的方程为ymx(易知直线l的斜率存在)，所以kc1mm1，y0mx0，所以1，所以x3x0y0，即2y.因为动直线l与圆c1相交，所以2，所以m2，所以ym2xx，所以3x0xx，解得x0或x00，又因为0x03，所以x03.所以m(x0，y0)满足2y，即m的轨迹c的方程为2y2.(3)由题意知直线l表示过定点t(4,0)，斜率为k的直线结合图形，2y表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧根据对称性，只需讨论在x轴下方的圆弧设p，则kpt，而当直线l与轨迹c相切时，解得k.在这里暂取k，因为，所以kptk.可得对于x轴下方的圆弧，当0k或k时，直线l与x轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知k或k.综上所述：当k或k时，直线l：yk(x4)与曲线c只有一交点4(2015陕西文，20)如图，椭圆e：1(ab0)经过点a(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆e的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p，q(均异于点a)，证明：直线ap与aq的斜率之和为2.解析(1)由题意知，b1，综合a2b2c2，解得a，所以，椭圆的方程为y21.(2)由题设知，直线pq的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线ap与aq的斜率之和kapkaq2k(2k)()2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.5(2015天津文，19)已知椭圆1(ab0)的上顶点为b，左焦点为f，离心率为.(1)求直线bf的斜率；(2)设直线bf与椭圆交于点p(p异于点b)，过点b且垂直于bp的直线与椭圆交于点q(q异于点b)，直线pq与y轴交于点m，|pm|mq|.(i)求的值；(ii)若|pm|sinbqp，求椭圆的方程解析(1)f(c,0)，由已知离心率及a2b2c2，可得ac，b2c，又因为b(0，b)，f(c,0)故直线bf的斜率k2.(2)设点p(xp，yp)，q(xq，yq)，m(xm，ym)(i)由(1)可得椭圆方程为1，直线bf的方程为y2x2c，两方程联立消去y，得3x25cx0，解得xp.因为bqbp，所以直线bq的方程为yx2c，与椭圆方程联立，消去y，得21x240cx0，解得xq.又因为，及xm0，得.(ii)由(i)得，所以，即|pq|pm|，又因为|pm|sinbqp，所以|bp|pq|sinbqp|pm|sinbqp.又因为yp2xp2cc，所以|bp|c，因此c，c1，所以椭圆方程为1.6(2015新课标卷文，20)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，点(2，)在c上(1)求c的方程；(2)直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m.证明：直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解析(1)由题意有，1，解得a28，b24，所以椭圆c的方程为1.(2)设直线l：yk