高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式的证明及简单的最值问题（第一课时）》新授课详细教案.doc

第三章 不等式3.4基本不等式 （第一课时）【创设情景 引入新知】 ICM2002会标 图3.4-1 探究如图3.41是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？【探索问题 形成概念】（一）不等式的推导方法 根据上面的图形，请同学们思考下面的问题：1、正方形ABCD的面积S=；2、四个直角三角形的面积和S1=；3、S与S1有什么样的不等关系？4、那么它们有相等的情况吗？将图3.41中的“风车”抽象成如图3.42，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a,b（ab）那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是s1=2ab，正方形的面积为s=.由于4个直角三角形的面积小 于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有. 于是我们可以得到：一般的，对于任意实数，我们有当且仅当时，等号成立. 思考你能给出它的证明吗？证明： 当所以，即当且仅当时，等号成立. 思考（二）基本不等式的推导方法.法一：当时，在不等式中，以分别代替a、b ，得到，即.思考你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？法二（分析法）：要证 只要证 要证，只要证 要证，只要证 显然，是成立的.当且仅当时，中的等号成立.这样就得到了基本不等式.注意啦！a 2b 22ab和成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.（三）基本不等式的两种解释.探究在图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 如何用a, b表示OD? OD=_如何用a, b表示CD? CD=_OD与CD的大小关系怎样? OD_CD代数解释几何解释如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.在图3.43中，是圆的直径，点是上的一点，.过点作垂直于的弦，连接.由于，那么即.圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此，基本不等式又可叙述为：半径不小于半弦.我们把称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.因此，本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（四）基本不等式的应用可利用求最值，但要注意下面三条：（1）一正：各项均为正数，即；（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值，即为定值记为S，则有最大值且；两个正数和为定值，积有最大值，即为定值记为P，则有最小值且；（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误.（即当或有一个为定值时，可以利用公式求另一个的最值）【例题】若x0，则x的最小值为.【思路】直接利用基本不等式求最值.【解答】x2当且仅当x，即x时，x取得最小值为2.【反思】若（积为定值），则当时，和取得最小值。【解疑释惑 促进理解】难点一、如何应用基本不等式求最值 用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，然后这两项的积或和或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值【例题】 (1) 若x0,求的最小值; (2)若x0和=36两个前提条件;(2)中x0来转化.【解答】（1) 因为 x0 由基本不等式得,当且仅当即x=时, 取最小值12.(2)因为 x0, 由基本不等式得:,所以 .当且仅当即x=-时, 取得最大-12.【反思】 利用基本不等式求最值时应注意：（1）a、b均为正数；（2）与有一个为定值；（3）等号必须取到.这三个条件缺一不可.其次利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.【例题】.【思路】直接利用基本不等式求出积的最大值.【解答】由基本不等式平方得，【反思】如果两个正数的和为定值，由基本不等式可以得到两个正数的积有最大值.【指导运用 巩固拓展】【例题】.【思路】思路一：由已知等式利用基本不等式，然后解出所求式的最大值；思路二：通过对所求式配系数然后利用基本不等式直接得到最大值.【反思】本题解法二对所求式进行了系数的配凑，合理拆分或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值【小结归纳 自主建构】 本节课我们重点掌握了：（）两个不等式与都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同. （）不等式的简单应用：主要在于求最值，把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等” .【反馈学习，查缺补漏】本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab，ab（）2. 下一节我们将学习它们的应用，请同学们预习课时详解第三十二课时，并思考下列问题： 如何利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值问题？ 本课后收集有关基本不等式的资料并阅读。【阅读延伸，开阔视野】 均值不等式链设、，则（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当时等号成立. 证明：（1）由、，得，当且仅当时等号成立.（2），当且仅当时等号成立，已证.（3）由. 所以，当、时，有，当且仅当时等号成立. 综合（1）、（2）、（3）得，当、时，有，当且仅当时等号成立.说明事实上当、时，有： ，当且仅当时等号成立. .证明： 由，当且仅当 时等号成立. 由 . 即，. 不等式等号成立当且仅当. 不等式等号成立当且仅当. 不等式等号成立当且仅当.课时作业【补充作业】1.【选择】【基础】【容易】【利用基本不等式求最大值】若a0，b0，且a2b20，则ab的最大值为( ) A. B1 C2 D4【思路】将已知条件a2b20变形为a2b2，利用基本不等式即可解得ab的最大值。【解答】由已知得a2b2，又因为a0，b0，所以2a2b2，所以ab，当且仅当a2b时取“”【反思】利用基本不等式求最值时必须确保能够取得等号，否则最值不成立。2.【选择】【基础】【容易】【基本不等式的应用】若a、bR，且ab0，则下列不等式中恒成立的是( ) Aa2b22ab Bab2 C. D.2【思路】根据基本不等式的条件逐一验证。【解答】由基本不等式的条件“一正二定三相等”求最值，易知只有D全满足【反思】对不成立的结论，可以利用取特殊值的方法将其排除掉，这样排除掉三个答案，剩余的答案就是正确的。3.【选择】【基础】【容易】【基本不等式的应用】下列不等式不一定成立的是 （ ） 【思路】利用基本不等式或排除法进行选择。【解答】由基本不等式容易知道A、D正确，对B，有 ，所以B正确。 故答案为C。【反思】选项C错误的原因是x的符号不确定，可能为正，也可能为负，故不能直接应用基本不等式。4.【选择】【巩固】【中档】【基本不等式的应用】下列结论正确的是() A当x0且x1时，lg x2 B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2 D当0x2时，x无最大值【思路】利用基本不等式以及不等式的性质逐一判断。【解答】A错误，若0x1时，则lg x0,但的符号仍然不确定，故A不正确。5. 【选择】【巩固】【中档】【基本不等式的应用】给出下列各式： a212a；2；2；x21. 其中正确的个数是()A0B1C2D3【思路】利用基本不等式以及特殊值验证排除法进行判断。【解答】当a1时，a212a，不正确 当x0时，x2；当x0时，x2，所以2，正确因为ab0，所以a、b同号当a0，b0时，ab2，即2，所以不正确x2x211211，所以正确【反思】对还可以利用绝对值不等式的性质及基本不等式求解，；对于关键是通过添减项使得乘积为常数。6.【填空】【基础】【容易】【利用基本不等式求最大值】若x0，y0且x8y1，则xy的最大值为_【思路】直接利用基本不等式进行求解。【解答】因为x8y2，当且仅当x=8y,即时取等号，所以xy，xy的最大值为，故答案为。【反思】本题解法较多，还可以利用利用变量代换法，把x或y解出，转化为关于y或x的函数求最值。7.【选择】【巩固】【中档】【利用基本不等式求最值】 【思路】将函数变形为，前两项利用基本不等式即可得到值域。【反思】当积或和不是定值时，常用添减项的方法使得积或和成为定值，从而利用基本不等式得到最值。8.【解答】【巩固】【中档】【利用基本不等式求最大值】设0x2，求函数y的最大值.【思路】要求函数的最大值，显然只需要求的最大值即可，考虑到为乘积的形式，且和为为定值，所以利用基本不等式即可得解。【解答】因为0x2，所以03x20，所以y4.当且仅当3x83x，即x时，取等号所以当x时，y的最大值是4.【反思】本题还可以将展开，利用一元二次函数的配方