9第九章 多元函数微分学及其应用.doc

第九章 多元函数微分学及其应用第九章 多元函数微分学及其应用 第一节 多元函数的基本概念1、求下列各函数的定义域，并作出其草图.(1) ； 解: 定义域,图略(2) ；解: 由得:定义域,图略(3) 解: 由得:定义域,图略设，求解:令,得： 代入得故3、求下列极限：(1) ； 解: (直接代入)原式= (2) ；解:原式=(3)； 解:原式= 4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)；解:当时，令，则，其值与有关，故极限不存在(2)；解:当时，有，故5、设，求和试问：极限是否存在？为什么？解: ，极限不存在，因为当时，令，其值与有关6、研究函数的连续性（在哪些点连续，哪些点不连续）解:，故函数在处不连续，其它处均连续第二节 偏导数填空题：(1) 在处均存在是在该点连续的 既非充分也非必要 条件；(2)曲线在点处的切线与轴正向所成的角是；(3)设，则，；(4)设，则，2求下列函数的一阶偏导数：(1) ；解: ， (2) 解: ，(3) ；解: ，3求下列函数的二阶偏导数：(1)解: ，(2) ；解: ，4设函数判断其在点处的连续性和偏导数是否存在解: 1）故函数在点处连续；2），极限不存在，故此点处关于的偏导数不存在第三节 全微分填空选择题：(1)二元函数在点处可微的充分必要条件是，其中,为表达式,(2) 在点处存在的充分条件为的全部二阶偏导数均存在； 连续；的全部一阶偏导数均连续； 连续且均存在2求函数当，时的全增量和全微分解:3求下列函数的全微分：(1) 解: ，(2) 解: ，(3) 解: ，4讨论函数在点处的可导性与可微性解:, ,故函数在点处的偏导数存在；但，其中易知当沿直线趋于时此极限不存在。故函数在点处不可微第四节 多元复合函数的求导法则求下列函数的偏导数或全导数：(1) ，解:= (2) ，其中可导解: (3) ，其中可导解: =(4)设，求解: (5) ，解:= 2求下列函数的偏导数：(1) ，其中可导，求，解: (2) ，其中可导，求，解: ，= ，=(3) 设，其中二阶可导，求，解: ，=(4) 设具有二阶连续偏导数，求，解: ，=3已知函数，可导，验证满足证明：，故第五节 隐函数的求导公式1设方程确定了隐函数，求解:（公式法）令， 则， 提示：另还可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。2设方程确定了隐函数，求，解:（公式法）令，则，=3设方程确定了隐函数，求，解:令，则， =4设隐函数由方程所确定，证明证明：，,=,故5求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：(1)设，求，解: 方程组两边直接对自变量求偏导，得：故，(2)设，求，解: 方程组两边直接对自变量求偏导，得：故=，=同理可得到：=，=6设而是由所确定的的函数，其中均有一阶连续的偏导数，求解:联立方程组两边直接对自变量求偏导，得：故第六节 多元函数微分学的几何应用1求曲线在对应的点处的切线方程和法平面方程解:切向量曲线在对应的点处的切线方程为：，法平面方程为：，即2求曲线在点处的切线方程及法平面方程解:用隐函数组求导的方法得到，点处的切向量曲线在对应点处的切线方程为：，法平面方程为：3求曲面在点处的切平面方程和法线方程解: 法向量故所求切平面方程为即法线方程为：4求椭球面上某点处的切平面的方程，使平面过已知直线解:设点的坐标为 ，则切平面的法向量，直线过点，且方向向量为，故有，解得或所求切平面方程为或注：上题中在直线上任取两点的坐标代入平面的方程，同样可求得点，过程略5设是可微函数，证明：曲面的切平面平行于某定直线证明：曲面在任意点处切平面的法向量，设向量，有，即，就是过点的某直线的方向向量（常向量），该直线就是所求平行于切平面的定直线第七节方向导数与梯度1填空题：(1) 在点处均存在是在该点的方向导数存在的既不充分也不必要条件(2) 函数在点沿方向的方向导数最大，其最大值是2求函数在点处沿着抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数解: ，=3求函数在点处沿着锥面的外法线方向的方向导数解: ，锥面的外法线方向为，其方向余弦为，+=4设，求，并求函数沿该梯度方向的方向导数解:，=，第八节多元函数的极值及其求法1填空题：(1)二元函数的极值只可能在驻点和_不可导点_处取得(2)若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_0_,_0_2求函数的极值解:由得驻点，对四个驻点分别计算，易知，处都有，故都不是极值点，而处，所以当时，函数在此点取得极小值，当时，函数在此点取得极大值3求由确定的函数的极值解:令由隐函数求导得得驻点， 代入原方程得：，解得，由方程知此曲面为椭球面，故函数的极大值为，极小值为4求函数在闭区域上的最大值和最小值解: (1)求内的驻点：由得，无零点，故内无驻点，函数的最值只能在边界上达到；(2) 求函数在边界上的最值当时，同理可讨论另外三条边界，得函数的最大值在处达到，最小值在，三点处达到5经过第一卦限中的点作平面与三坐标轴相交，如何作法使该平面与坐标面围成的四面体体积最小解:设该平面方程为，则有，目标函数：四面体体积，作拉格朗日函数由得驻点由于驻点唯一且此问题定有最小值存在，故知作该平面与三坐标轴的截距分别为时，满足题意。6求函数在条件，下的极值解: 作拉格朗日函数由得驻点，两曲面，的交线为一个圆心在原点，半径为的大圆，易得函数在三点处有极小值，在三点处有极大值第八章综合练习1用不等式和图形表示下列二元函数的定义域：(1)解: 定义域：，图略(2)解: 定义域：，图略 2求下列函数的极限：(1)解: 原式=（直接代入）(2) 解: 原式=（无穷小量乘有界量）3求下列函数的偏导数：(1)，求解: ；(2)，求解:， ，4求下列函数的全微分：(1)；解: ，；(2)解: 5已知，而是方程确定的的函数，求解: 方程组确定隐函数组，将它两边直接对自变量求偏导，得：故6设由方程确定，求和解: =，=7设具有二阶连续的偏导数，且满足，证明：也满足证明：，8在螺旋线上求一点，使曲线在该点的切线平行于平面解: 切向量平面的法向量为法向量由得， 故所求点为或9求函数在点处沿向量方向的方向导数解:方向余弦为，+=10设，试问：参数满足什么条件时有唯一极大值？有唯一极小值？