导数(历届高考压轴题).doc

1.已知函数的图象如图所示（I）求的值；（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围2.已知函数（I）求函数的单调区间；（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围3.已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（I）求实数的取值范围；（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：4.已知常数，为自然对数的底数，函数，（I）写出的单调递增区间，并证明；（II）讨论函数在区间上零点的个数5.已知函数（I）当时，求函数的最大值； （II）若函数没有零点，求实数的取值范围6.已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）证明：若7.设曲线：（），表示导函数（I）求函数的极值；（II）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于8.定义，（I）令函数，写出函数的定义域；（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为8的切线，求实数的取值范围；（III）当且时，求证9.（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()a；（3）记（n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn。14. （2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数,且，求： (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间； （2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）15.设二次函数，方程的两根和满足（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小并说明理由 16. （2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数 （1）如，求的单调区间；（2）若在单调增加，在单调减少，证明6. 17.已知函数(1) 若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则；(2) 若0，1，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。参考答案：1解：函数的导函数为 （2分）（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且得 （4分）（II）依题意 且 解得 所以 （8分）（III）可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点； ，+0-0+增极大值减极小值增 （10分）当且仅当时，有三个交点，故而，为所求 （12分）2解：（I）（2分）当当当a=1时，不是单调函数（5分） （II）（6分）（8分）（10分）（12分）3.解：（I）由，因为当时取得极大值，所以，所以；（4分）（II）由下表：+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得：，解得：所以函数的解析式是： （10分）（III）对任意的实数都有在区间-2，2有：函数上的最大值与最小值的差等于81，所以（14分）4解：（I），得的单调递增区间是， （2分），即 （4分）（II），由，得，列表-0+单调递减极小值单调递增当时，函数取极小值，无极大值 （6分）由（I）， （8分）（i）当，即时，函数在区间不存在零点（ii）当，即时 若，即时，函数在区间不存在零点 若，即时，函数在区间存在一个零点； 若，即时，函数在区间存在两个零点；综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当 时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点 （12分）5解：（I）当时，定义域为（1，+），令， （2分）当，当，内是增函数，上是减函数当时，取最大值 （4分）（II）当，函数图象与函数图象有公共点，函数有零点，不合要求； （8分）当， （6分）令，内是增函数，上是减函数，的最大值是， 函数没有零点，因此，若函数没有零点，则实数的取值范围（10分）6.（1）的定义域为， 2分（i）若，则 故在单调增加（ii）若 单调减少，在（0，a-1）， 单调增加（iii）若 单调增加（II）考虑函数 由 由于，从而当时有 故，当时，有7.解：（I），得当变化时，与变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减当时，取得极大值，没有极小值； （4分）（II）（方法1），即，设，是的增函数，；，是的增函数，函数在内有零点， （10分）又，函数在是增函数，函数在内有唯一零点，命题成立（12分）（方法2），即，且唯一设，则，再设，在是增函数，同理方程在有解 （10分）一次函数在是增函数方程在有唯一解，命题成立（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分8.解：（I），即 （2分）得函数的定义域是， （4分）（II）设曲线处有斜率为8的切线，又由题设存在实数b使得 有解， （6分）由得代入得， 有解， （8分）方法1：，因为，所以，当时，存在实数，使得曲线C在处有斜率为8的切线（10分）方法2：得， （10分）方法3：是的补集，即 （10分）（III）令又令 ，单调递减. （12）分单调递减， ， （14分） 9.(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,),，令，解得x=0，当-1x0时,，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：.由(I)的结论知，由题设0ab,得,因此，所以又 综上(II)证法二：，设，则，当0xa时，因此F(x)在(a,+)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即设,则当x0时,因此G(x)在(0,+)上为减函数，因为G(a)=0,ba,所以G(b)0，t1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，当时，有，函数f(t)在递增f(t)f(1)即t-1g(1)=0综上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得12.分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。解析 由题意有又（消元）消去可得又，且 13.解析：（1），是方程f(x)=0的两个根，； （2），=，有基本不等式可知（当且仅当时取等号），同，样，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又14.解法一:()依题意,得由.从而令 当a1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联；Kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时，解得直线MP的方程为 令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.15.本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力解法1：（）令，则由题意可得故所求实数的取值范围是（II），令当时，单调增加，当时，即解法2：（I）同解法1（II），由（I）知，又于是，即，故解法