高考数学一轮复习 三角函数与平面向量的综合应用（二）课件 文 新人教A版.ppt

热点专题突破系列 二 三角函数与平面向量的综合应用 考点一三角函数的求值与平面向量的综合 考情分析 以平面向量为载体利用诱导公式 同角三角函数关系式 两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题 是高考的重要考向 考查学生分析问题 解决问题的能力 典例1 2015 海滨模拟 已知m sinx cosx n sinx sinx f x m n 1 求的值 2 当x 0 时 求函数f x 的最大值与最小值 解题提示 1 利用向量的坐标计算两向量的数量积 从而得f x 把x 代入可得 2 利用x的范围确定角的范围 从而得三角函数的最大值与最小值 规范解答 1 由已知得 f x m n sinx cosx sinx sinx sin2x cosxsinx sin2x cos2x sin 2x 故 2 当x 0 时 故当2x 即x 时 f x max 1 当2x 即x 0时 f x min sin 0 规律方法 平面向量在三角函数求值中的应用步骤 1 此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正 余弦给出 把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式 2 利用三角恒等变换进行条件求值 变式训练 2015 南京模拟 已知向量a sin 2 与b 1 cos 互相垂直 其中 0 1 求cos sin 的值 2 若5cos 3cos 0 求cos 的值 解析 1 因为a b 所以a b sin 2cos 0 即sin 2cos 又sin2 cos2 1 所以4cos2 cos2 1 即cos2 因为 0 所以cos sin 2cos 2 由5cos 3cos 得5 cos cos sin sin 3cos 即cos 2sin 3cos 所以sin cos 因为 0 所以cos 加固训练 设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a与b 2c垂直 求tan 的值 2 求 b c 的最大值 3 若tan tan 16 求证 a b 解析 1 因为b 2c sin 2cos 4cos 8sin a与b 2c垂直 所以4cos sin 2cos sin 4cos 8sin 0 即sin cos cos sin 2 cos cos sin sin 所以sin 2cos 所以tan 2 2 因为b c sin cos 4cos 4sin 所以 b c 所以当sin2 1时 b c 取最大值 且最大值为 3 因为tan tan 16 所以 16 即sin sin 16cos cos 所以 4cos 4cos sin sin 即a 4cos sin 与b sin 4cos 共线 所以a b 考点二三角函数的性质与平面向量的综合 考情分析 以平面向量的坐标运算为载体 引入三角函数 通过三角恒等变换化为一个角的三角函数 重点考查三角函数的单调性 周期性 最值 取值范围及三角函数的图象变换等 典例2 2015 沈阳模拟 已知向量m sinx 1 n cosx f x m n m 1 求f x 的最小正周期及单调递增区间 2 当x 0 时 求f x 的值域 3 将f x 的图象左移个单位后得g x 的图象 求g x 在上的最大值 解题提示 1 利用向量坐标运算得f x 的解析式可求周期及增区间 2 利用已知求得角的范围后可求f x 的值域 3 利用图象平移变换可得g x 再利用角的范围求解最大值 规范解答 1 由已知可得m n sinx cosx 故f x m n m sinx cosx sinx 1 sin2x sinxcosx sin2x cos2x 故f x 的最小正周期t 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 故f x 的单调递增区间是 k k k z 2 当x 0 时 2x 故 sin 2x 1 故 sin 2x 所以当x 0 时 f x 的值域为 3 由已知得g x 故当x 时 2x 所以当2x 0即x 0时 g x max cos0 规律方法 平面向量与三角函数性质的综合问题的解法 1 利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题 2 利用三角函数恒等变换公式 尤其是辅助角公式 化简函数解析式 3 根据化简后的函数解析式研究函数的性质 变式训练 2015 东营模拟 已知m bsinx acosx n cosx cosx f x m n a 其中a b r 且满足 2 f 0 2 1 求a b的值 2 若关于x的方程f x 0在 0 上总有实数解 求k的取值范围 解析 1 由已知得 f x m n a bsinxcosx acos2x a 由 2得a b 8 又因为f x bcos2x asin2x且f 0 2 所以b 2 所以a 2 2 由 1 得f x sin2x cos2x 1 2sin 2x 1 所以x 时 2x 所以 1 2sin 2x 2 所以f x 0 3 又因为f x 0在上总有实数解 即f x 有解 所以0 3 即 3 log3k 0 所以 k 1 故k的取值范围是 加固训练 已知向量a sin x sin x b cos x cos x 0 若f x a b 且f x 的最小正周期为 1 求 的值 2 试述由y sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f x 的图象 3 求y f x 的值域 解析 1 f x a b sin x cos x sin x cos x sin xcos x cos2 x sin2 x 所以 即 1 2 由 1 得f x 首先把y sinx的图象向左平移个单位 得y sin x 的图象 其次把y sin x 的图象纵坐标不变 横坐标变为原来的倍 得y sin 2x 的图象 然后把y sin 2x 的横坐标不变 纵坐标变为原来的倍 得y 的图象 最后 把y 的图象向上平移个单位 得f x 的图象 3 因为f x min f x max 所以f x 的值域是 考点三平面向量在三角形计算中的应用 考情分析 以平面向量的线性运算 数量积为载体考查三角形中正 余弦定理的应用及简单的三角恒等变换 主要解决三角形中求边 求角及求三角形面积等 考查分析问题 解决问题的能力 典例3 2015 台州模拟 在 abc中 三内角a b c所对的边分别为a b c 已知sinc 2sin b c cosb 1 判断 abc的形状 2 设向量m a c b n b a c a 若m n 求a 解题提示 1 利用a b c 转化角后去掉角c 得角a b的关系 可判断 2 利用已知转化边的关系 利用余弦定理可解 规范解答 1 在 abc中 因为sinc sin a b sina sin b c 故sinc sin a b 2sin b c cosb 2sinacosb 所以sinacosb cosasinb 2sinacosb 即sinacosb cosasinb 0 即sin a b 0 又因为 a b 所以a b 0即a b 故 abc为等腰三角形 2 由m n得 a c c a b b a 即b2 a2 c2 ab 0 即b2 a2 c2 ab 从而cosc 又0 c 所以c 又因为a b 所以a b 即a 规律方法 平面向量与三角形计算综合问题的解法 1 利用平面向量数量积的计算公式 把问题转化为三角形中的计算问题 在三角形中 结合三角形内角和公式 正余弦定理 三角形的面积公式进行相关计算 2 先在三角形中利用相关公式进行计算 再按要求求向量的数量积 夹角 模等 提醒 解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的方向 从而弄错向量的夹角 变式训练 2015 安庆模拟 已知 abc的面积是30 三内角a b c所对边长分别为a b c cosa 1 求 2 若c b 1 求a的值 解析 1 由cosa 得sina s abc bcsina bc 30 bc 156 2 因为c b 1 bc 156 所以a2 b2 c2 2bccosa c b 2 2bc 1 156 25 即a 5 加固训练 在 abc中 角a b