§2.2.1 椭圆的标准方程.doc

椭圆的标准方程授课教师：陆海琴教材：苏教版选修系列数学21l 教学目标 根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：知识目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆能力目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行合作推理的能力，及应用代数知识进行同解变形和化简的能力情感目标：在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度l 重点、难点及关键 重点：椭圆的标准方程的应用； 难点：椭圆标准方程的推导； 关键：创设椭圆的直观情境，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨l 教学方法 启发、探索l 教学手段 运用多媒体辅助教学l 教学过程创设情景、引入课题播放课件：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空问题讨论：紫金山天文台预测3000年以后它还将光临地球上空的依据是什么？ 原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周期，预测它接近地球或渐渐离去的时间由此可说明轨迹方程有很大作用，怎样才能算出彗星运行轨道的方程呢？这就是我们今天要探究的问题椭圆的标准方程目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题新授课1复习回顾上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距数学实验请大家把课前准备好的一根绳子和两颗图钉拿出来，同桌合作根据上节课讲的方法在纸上画出椭圆的图形学生讨论在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？2a 2c2a = 2cc = 02a 2c ) 让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系 结合建立坐标系的一般原则使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在y轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么方案1：如图，焦点落在x轴上建系：以F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy 设点：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 列式：依据椭圆的定义式|PF1| + | PF2| = 2a 列方程，并将其坐标化为目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。 这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？化简：通过移项、两次平方后得到：，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令，可的椭圆的标准方程为先让学生尝试化简，然后教师指出含有根式的化简规则 总结含有根式的化简步骤：（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方方案2：如图，焦点落在y轴上试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？焦点，焦距为2c，椭圆的方程为请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程；令渗透数学对称美，简洁美教学根据所学知识让同学们完成下表标准方程不同点图形焦点坐标相同点定 义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹a、b、c的关系焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上强调：是；是（要区别与习惯思维下的勾股定理）；是定方程“型”与曲线“形”目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法；通过讨论，利用类比的方法来深化学生对椭圆标准方程的理解。3例题讲解 快速反应： ，则 , ； ，则 , ； ，则 , ； 例1：已知,，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程 口答：根据已知条件，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程 ； ； ； 例2：已知,，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程口答：根据已知条件，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程 ； ； ； 目的：同步练习，检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利于学生思维能力的培养。 例3：已知椭圆的焦点坐标是，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程 练习：已知椭圆的焦点坐标是，椭圆上的任意一点到、的距离之和是8，求椭圆的标准方程 例4：判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦距与焦点坐标 ； ； 解：因为,所以焦点在x轴上； 因为， 所以焦距，焦点坐标为 因为，所以焦点在y轴上； 因为 所以焦距，焦点坐标为 方程可化为 因为，所以焦点在x轴上； 因为 所以焦距，焦点坐标为目的：通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时会求焦点坐标、焦距等基本量（求前要将方程先化成标准式），教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法。例5：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程 解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准方程可设为 根据题意知，即，所以 ， 因此，这个椭圆的标准方程为 目的：进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系； 掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量； 培养学生运用知识解决问题的能力。 练习：求下列椭圆的焦点坐标： ； 求适合下列条件的椭圆的标准方程： ，焦点在x轴上； ，焦点在y轴上； 两个焦点分别是F1，F2，且过点P； 经过点和目的：熟悉巩固知识、运用知识。课堂小结（启发引导学生进行归纳整理；利用幻灯片展示归纳结果；对学生主动学习的态度及方式给予肯定；强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态度.）椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系；用坐标法研究曲线