平面几何精选--冷老师--(08[1][1].1.280) 题目部分.doc

14平面几何精选16401 AM = MB，l1l3 = E, l1l4 = F, l2l3 = G, l2l4 = H，EHAB = C，FGAB = D求证：CM = MD02 双心四边形，外心为O，外接圆半径为R，内心为P，内切圆半径为r，OI = h求证：+ = 03 设D、E、F分别为ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD与EF垂直相交于O，又DE、DF分别平分ADC, ADB，求证：OD平分BOC04 已知ABC，内心为I，圆C1与边AB、BC相切，圆C2过A、C，且C1与C2外切于点M求证：AMC的平分线过I05 ABC和PQR满足如下条件：A和P分别是线段QR和BC的中点，QR和BC是BAC和QPR的内角平分线求证：AB + AC = PQ + PR06 已知Q为以AB为直径的圆上的一点，Q A, B，Q在AB上的投影为H，以Q为圆心，QH为半径的圆与以AB为直径的圆交于点C、D证明CD平分线段QH07 凸四边形ABCD的外接圆圆心为O，已知AC BD，且AC与BD交于E若P为ABCD内部一点，且PAB + PCB = PBC + PDC = 90求证O、P、E三点共线08 设O1与O2相交于A、B两点，过交点任作一条割线分别与两圆交于P、Q，两圆在P、Q处的切线交于R，直线BR交O1O2B的外接圆于另一点S求证RS等于O1O2B的外接圆的直径09 设P为ABC的一个内点，PA、PB、PC分别交边BC、CA、AB于D、E、F证明SPAF + SPBD + SPCE = SABC成立当且仅当P至少位于ABC的一条中线上10 与等腰ABC两腰AB和AC都相切的圆w交边BC于点K和L，连结AK，交圆w于另一点M，点P和Q分别是点K关于点B和C的对称点证明PMQ的外接圆与圆w相切11 已知O与ABC的外接圆、AB、AC均相切，切点分别为T、P、Q，I是PQ中点证明I是ABC的内心或旁心12 ABC的三个角平分线足分别为X、Y、Z，XYZ的外接圆在AB、BC、CA上截出了三条线段证明这三条线段中有两条的长度和等于另外一条的长度13 ABC的三个内点A1、B1、C1分别在从A、B、C引出的三条高线上若SABC = SABC1 + SBCA1 + SCAB1 ，证明A1B1C1的外接圆通过ABC的垂心H14 ABC的中线AM交其内切圆w于K和L过K和L作BC的平行线，分别再次交w于X、Y，AX与AY分别交BC于P、Q证明BP = CQ15 C、D为 的三等分点(C距A近)，绕A旋转 后，点B、C分别成为B1、C1，AB1交C1D于F，E在B1BA平分线上，且DE = BD证明CEF为正三角形16 设AH1、BH2、CH3是锐角ABC的三条高线，ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点T1、T2、T3设直线l1, l2, l3分别是直线H2H3、H3H1、H1H2分别关于直线T2T3、T3T1、T1T2的对称直线证明l1, l2, l3所确定的三角形，其顶点都在ABC的内切圆上17 证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线18 在锐角ABC中，AD、BE、CF为三条高证明AEF、BDF、CDE的三条欧拉线交于一点，且此交点在ABC的九点圆上19 在四边形ABCD中，点E和F分别在边AD和BC上，且 = ，射线FE分别交线段BA和CD延长于S和T求证SAE、SBF、TCF和TDE的外接圆有一个公共点20 点D、E、F分别在锐角ABC的边BC、CA、AB上(均不是端点)，满足BCEF，D1是边BC上一点(不同于B、D、C)，过D1作D1E1DE，D1F1DF，分别交AC、AB两边于点E1、F1，连结E1F1，再在BC上方(与A同侧)作PBC，使得PBCDEF，连结PD1求证EF、E1F1、PD1三线共点21 设锐角ABC的外接圆为w，过点B、C作w的两条切线，相交于点P，连结AP交BC于点D，点E、F分别在边AC、AB上，使得DEBA，DFCA(1) 求证F、B、C、E四点共圆；(2) 若记过F、B、C、E的圆的圆心为A1，类似定义B1、C1，则直线AA1、BB1、CC1三线共点22 在梯形ABCD中，ABCD，梯形内部有两个圆w1和w2满足：圆w1与三边DA、AB、BC相切，圆w2与三边BC、CD、DA相切令l1是过点A的异于直线AD的圆w2的另一条切线，l2是过点C的异于直线CB的圆w1的另一条切线证明l1l223 ABC内部有两点P、Q，AP、AQ分别交ABC外接圆于A1、A2，直线A1A2 (当A1 = A2时此直线为过A1的ABC外接圆切线)交直线BC于A3，类似定义B3、C3证明A3、B3、C3三点共线24 ABCD是等腰梯形，其中AD、BC为底，一个与AB、AC均相切的圆交BC于M、N，DM、DN与BCD内切圆的交点，其中离D较近的分别记作X、Y求证XYAD25 已知ABC，在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形求证AD、BE、CF三线共点26 ABC的内切圆I切BC、CA、AB于D、E、F，AD与I的另一个交点X，BX、CX分别交OI于P、Q又记BC中点为M若AX = XD，求证：(1) FDEQ；(2) AD、EP、FQ三线共点；(3) = ；(4) X、I、M三点共线27 点P为ABC的外接圆上 (不含A)上的动点I1、I2分别为PAB、PAC的内心求证：(1) PI1I2的外接圆过定点；(2) 以I1I2为直径的圆过定点；(3) I1I2的中点在定圆上28 ABC中，点A关于BC的对称点为D，类似定义E、F设ABC外心为O，垂心为H，外接圆半径为R求证D、E、F三点共线 OH = 2R29 AB为圆w的直径，直线l切w于AC、M、D在l上满足CM = DM，又设BC、BD交w于P、Q，w切线PR、QR交于R求证R在BM上30 ABCD为圆内接四边形，ABCD = E，ACBD = F又AFD与BFC的外接圆交于F、H求证EHF = 9031 ABC中，I1, I2, I3分别是A, B, C所对的旁切圆，I、G是ABC的内心、重心求证I1, I2, I3的根心在IG上32 锐角ABC中，AB AC，H为垂心，M为BC中点D、E分别在AB、AC上，且AE = AD，D、H、E三点共线求证HM平行于ABC、ADE的外心连线33 设ABC内接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S证明，若QR = ST，则PQ = UT34 圆心为O1和O2的两个半径相等的圆相交于P、Q两点，O是公共弦PQ的中点，过P任做两条割线AB和CD (AB, CD均不与PQ重合)，点A、C在圆O1上，点B、D在圆O2上，连结AD、BC，点M、N分别是AD、BC的中点，已知O1、O2不在两圆公共部分内，点M、N均不与点O重合求证M、N、O三点共线35 在ABC中，I为内心，延长AI、BI、CI交对边于D、E、F，连DF、DE交BI、CI于G、H (AB AC)求E、F、G、H四点共圆的充要条件36 已知四边形ABCD外切于圆w，直线AB、CD相交于O，圆w1, w2与AB、CD都相切，并且圆w1与BC相切于K，圆w2与AD相切于L已知O、K、L三点共线，求证BC中点、AD中点及圆w圆心三点共线37 如图，在锐角ABC中，高AA1与CC1交于垂心H，AA1与CC1所夹锐角的平分线分别交BA、BC于P、Q，垂心H与AC中点的连线与ABC的平分线相交于R求证P、B、Q、R四点共圆38 已知圆O1与O2外切于点T，一直线与O2相切于点X，与O1交于点A、B，且B点在线段AX的内部，直线XT与O1交于另一点S，C是不包含点A、B的 上的一点，过点C作O2的切线，切点为Y，且线段CY与线段ST不相交，直线SC与XY交于点I证明I是ABC的A内的旁切圆的圆心39 四边形ABCD既可外切于圆，又可内接于圆，并且ABCD的内切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N，四边形的A和B的外角平分线相交于点K，B和C的外角平分线相交于点L，C和D的外角平分线相交于点M，D和A的外角平分线相交于点N证明，直线KK、LL、MM、NN经过同一个点40 两圆O1, O2相外切于点M，O2半径大于O1的半径，点A是O2上的一点，且满足O1、O2和A三点不共线，AB、AC是点A到O1的切线，切点分别为B、C，直线MB、MC与O2另一个交点分别为E、F，点D是线段EF和O2以A为切点的切线的交点证明，当点A在O2上移动且保持O1、O2和A三点不共线时，点D沿一条固定直线移动41 设P是ABC内的一个点，直线AP、BP、CP与边BC、CA、AB分别交于点D、E、F现设分别以BC和AD为直径的圆交于点L和L，分别以CA和BE为直径的两圆交于点M和M，分别以AB和CF为直径的圆交于点N和N求证L、L、M、M、N、N共圆42 证明ABC的费尔马点、拿破仑点、外心三点共线43 O1与O2内切于D，AB、AC与O2相切，I为ABC内心，P为 中点证明P、I、D三点共线44 锐角ABC中，以BC为直径作O1，A1与AB、AC相切且外切O1于点A2，类似定义B2、C2证明AA2、BB2、CC2三线共点45 设上题中三线共于点P，证明，O、I、P三点共线，其中O为外心46 ABC外接圆为O，延长中线AD交O于A2，过D作AO垂线，与点A2的切线交于A3，类似定义B3、C3证明A3、B3、C3三点共线47 四边形ABCD内接于O，AC BD，延长AB、DC交于E，延长AD、BC交于F，M、N分别为AC、BD中点求证 = ( )48 如图，A、C、E为直线上三点，B、D、F为另一直线上三点，直线AB、CD、EF分别和DE、FA、BC相交证明交点L、M、N三点共线49 设六边形ABCDEF有内切圆，证明AD、BE、CF三线共点50 在平行六边形ABCDEF中，AC、BD、CE、DF、EA、FB围成六边形OPQRST证明OR、PS、QT三线共点51 在A1A2A3的形外作O1A2A3、O2A3A1、O3A1A2使：(i) O1A2A3 = b, O1A3A2 = a，a + b B，D是射线AC上一点，满足CD = BC，P是射线DN上一点，且与点A在边BC同侧，满足PBC = A，PC与AB交于点E，BC与DP交于点T求表达式 的值78 ABC中，BD和CE为高，CG和BF为角平分线，I是内心，O为外心求证D、I、E三点共线 G、O、F三点共线79 ABC中，A, B为锐角，CD为高，O1、O2分别为ACD和BCD内心问，ABC满足怎样的充要条件，使得A、B、O1、O2四点共圆80 ABC的外心是O，三条高线AH、BK、CL垂足分别为H、K、LA0、B0、C0分别是AH、BK、CL中点，I为内切圆圆心，内切圆切ABC三边BC、CA、AB于D、E、F证明A0D、B0E、C0F、OI四线共点81 已知ABC，过点B、C的O与AC、AB分别交于点D、E，BD与CE交于F，直线OF与ABC外接圆交于P证明，PBD的内心就是PCE的内心82 设A、B为圆G 上两点，X为G 在A和B处切线的交点，在圆G 上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CABD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点证明：X、F、G、H四点共圆83 凸四边形ABCD的一组对边BA和CD的延长线交于M，且AP不平行于BC，过M作截线交另一组对边所在直线于H、L，交对角线所在直线于H、L求证 + = + 84 P为ABC内任意一点，AP、BP、CP的延长线交对边BC、CA、AB于点D、E、F，EF交AD于Q试证PQ (32)AD85 设P为锐角ABC内部一点，且满足条件PAPBAB + PBPCBC + PCPACA = ABACBC，试确定P点的几何位置，并证明你的结论86 ABCD对角线相交于点O，圆w以O为圆心，与线段AD、CD分别交于E、F，AB的延长线与w交于H，CB的延长线与w交于G设K是EG与FH的交点S是AG与CH的交点求证D、K、S三点共线87 已知四边形ABCD内接于O，AB与CD相交于点P，AD与BC交于点Q，对角线AC、BD的交点为R，且OR与PQ交于点K求证AKD = BKC88 圆外切四边形ABCD对边AB与CD交于点F，AD与BC交于点E，设CC1BF = C1，EE1BF = E1，AA1BC，FF1BC证明：(1) BC1F1与BA1E1有相同的内心I；(2) 设BB1CF = B1，BB2AE = B2，B1F1C的内心为I1，B2A1C的内心为I2，则I、O、I1、I2四点共圆89 定直线l1, l2交于点O，A为l2上定点，射线OP上一动点M，设圆w过OM，且圆心K在MA上，过A作MA的垂线交圆w于E、F，交射线OP于M1，在OP的反向延长线上取N使ON = OM1，当M运动时，证明NEF的外接圆过定点90 ABC中，AABC = A, BBAC = B, CCAB = C证明ABC、BCA、CAB的欧拉线交于ABC的九点圆上同一点P91 给定锐角ABC，过A作BC的垂线，垂足为D，记ABC的垂心为H，在ABC的外接圆上任取一动点P，延长PH交APD的外接圆于Q求Q点的轨迹92 凸四边形ABCD，O1过AB且与CD相切，O2过CD且与AB相切，O1和O2交于E、F证明，若BCAD，则EF、AC、BD三线共点93 设点A是O外一点，过点A作O的切线，切点分别为B、C，O的切线l与AB、AC分别交于P、Q，过点P且平行于AC的直线与BC交于点R证明，无论l如何变化，QR恒过一定点94 ABC内心为I，A对应的旁心为Ia，IIa分别交BC、ABC于A、M，N为 的中点，NI、NIa分别交ABC于S、T求证S、A、T三点共线95 设ABC内切圆与BC、CA、AB相切于D、E、F，一圆与ABC内切圆切于D，并与ABC外接圆切于K，点M、N类似定义求证DK、EM、FN相交于DEF的欧拉线上96 已知圆内接四边形ABCD，求证 |ABCD| + |ADBC| 2 |ACBD|97 设ABC是非等腰的锐角三角形，O、H是ABC的外心和垂心，O是其外接圆，lA、lB、lC是O在A、B、C处的切线，过H作OH的垂线l分别交lA、lB、lC于A1、B1、C1，A1关于A的对称点为A2，类似定义B2、C2求证A2、B2、C2三点共线98 P是正ABC内一点，证明 |PABPAC| |PBCPCB|99 圆内接四边形ABCD内有一点P满足APD = ABP + DCPP在AB, BC, CD上射影为E、F、G证明EFGAPD100 设凸四边形ABCD外切于O，圆心O在对角线BD上的射影为M求证BD平分AMC证：设O在ABCD四边切点为A1、B1、C1、D1101 设D、E、F分别是ABC内切圆与三边的切点，Q为过DE、EF、FD中点圆圆心，求证ABC内心、外心、Q三点共线102 平面上给定三点A、B、C，动点D使A、B、C、D共圆，IA、IB、IC、ID分别是A、B、C、D关于BCD、ACD、ABD、ABC西姆松线，当点D移动时，求IA、IB、IC、ID交点轨迹103 四边形ABCD中，P是两条对角线交点，M是两对对边中点连线的交点，是两对对角线中垂线的交点，是APD与BPC垂心连的交点证明M是OH中点104 X是ABC中直线BC上动点，C在B、X间，ABX与ACX内切圆交于P、Q求证PQ过定点105 圆心为O1和O2的两个半径相等的圆相交于P、Q两点，D是公共弦PQ的中点，过P任作两条割线AB和CD (AB、CD均不与PQ重合)，点A、C在圆O1上，点B、D在圆O2上，连结AD和BC，点M、N分别是AD、BC中点已知O1和O2不在两圆的公共部分内，点M、N均不与点O重合求证M、N、O三点共线106 在ABC中，D是BC边上的一点，设O1、O2分别是ABD、ACD的外心，O是经过A、O1、O2三点的圆的圆心求证ODBC AD恰好经过ABC的九点圆心107 设锐角ABC的外接圆为w，过点B、C作w的两条切线，相交于点P，连AP交BC于点D，点E、F分别在边AC、AB上，使得DEBA, DFCA(1) 求证F、B、C、E四点共圆；(2) 若记过F、B、C、E的圆的圆心为A1，类似地定义B1、C1，则AA1、BB1、CC1三线共点108 一条直线l与具有圆心O的圆w不相交，E是l上的点，OEl，M是l上不同于E的点，从M作w的两条切线切w于点A和B，C是MA的点，使得EC垂直于MA，D是MB上的点，使得ED垂直于MB，直线CD交OE于F求证点的位置不依赖于点M的位置109 H为ABC垂心，AH 2 + BH 2 + CH 2 = 7，AHBHCH = 3，求当ABC有最大面积时各边的长110 ABC内切圆与BC切于K，AD是BC边上的高，M为AD中点，MK与ABC内切圆交于K、N求证BNC外接圆与ABC内切圆切于N111 已知ABC内一点P，设D、E、F分别为P在BC、CA、AB上投影，假设AP 2 + PD 2 = BP 2 + PE 2 = CP 2 + PF 2设ABC的三个旁心分别为IA、IB、IC求证 P是IAIBIC的外心112 平面内两个等边三角形ABC和KLM的边长分别是1和 ，KLM在ABC内部记表示A到KL、LM、MK的距离和试求当取最大值时，KLM的位置113 设圆S1和圆S2相交于A、B两点，经过A的直线交圆S1于C，交圆S2于D，点M、N、K分别在线段CD、BC、BD上，且MNBD, MKBC，分别过N、K作BC、BD的垂线，分别交圆S1、圆S2于E、F，且E、A在直线BC的异侧，F、A在直线BD的异侧证明EMF = 90114 已知ABC，点X是直线BC上的动点，且点C在点B、X之间，又ABX、ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q证明PQ经过一个不依赖于X的定点115 凸四边形的四个角分别为 2a, 2b, 2g, 2d，四条边分别为l, m, n, k求证它的面积S = 116 设O1与O2交于P、Q两点，过点P任作两条直线APB和CPD，其中点A、C在O1上，点B、D在O2上，M、N分别是AD、BC中点，O为O1O2中点，APC = 为锐角设h为点O到MN的距离，K为PQ中点求证h = OK cos 117 在ABC和ABC中，A B C，A B C求证 + + 118 在ABC的三边中点D、E、F向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF、FD、DE交于I、L、M求证I、L、M三点共线119 给定双心四边形ABCD外接圆O及内心I，并给定A点(在O上)，求作B、C、D三点120 已知ABC的三边分别交O于X、X、Y、Y、Z、Z若AYZ、BXZ、CXY的外接圆交于一点M，AYZ、BXZ、CYZ的外接圆交于一点M求证OM = OM121 设H为ABC的垂心，D、E、F为ABC的外接圆上三点，使ADBECF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点求证S、T、U、H四点共圆122 ABC中，点X是直线BC上动点，且点C在B、X之间，又ABX、ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q证明PQ经过一个不依赖于点X的动点123 已知平面上一个半径为R的定圆O，A、B是O上两个定点，且A、B、O不共线，C为异于A、B的点，过点A作O1与直线BC切于点C，过点B作O2与直线AC切于点C，O1与O2相交于DC (异于C点)证明：(1) CD R；(2) 当点C在O上移动时，且与A、B不重合时，直线CD过一定点124 AB为圆w的直径，l为过A的切线，C、M、D为直线l上依次排列的三个点，且CM = MD，直线BC、BD分别交w于P、Q求证在BM上存在一点R使RP和RQ均与w相切125 O为ABC的外接圆，三边满足2BC = AB + AC，M、N各是AB、AC的中点，G、I各是ABC的重心、内心试证直线GI与AMN的外接圆必相切126 已知ABC的三个顶点A、B、C分别在A1B1C1的边B1G、GA1、A1B1上使得ABC = A1B1C1, BCA = B1C1A1, CAB = C1A1B1证明ABC和A1B1C1的垂心与ABC的外心一样远127 已知P是ABC内一点，过P作BC、CA、AB的垂线，其垂足分别为D、E、F，又Q是ABC内的一点，且使得ACP = BCQ, BAQ = CAP证明DEF = 90的充要条件是Q为BDF的垂心128 已知锐角ABC的垂心为H，内心为I，且满足AC BC，CH、CI分别与ABC的外接圆交于点D、L证明CIH = 90的充要条件是IDL = 90129 已知圆内接四边形ABCD，直线AD和BC交于点E，且点C在点B、E之间，对角线AC和BD交于点F，设点M是边CD的中点，点N是ABM的外接圆上的不同于M的点，且满足 = 证明点E、F、N在一条直线上130 设点O是锐角ABC的外心，分别以ABC三边的中点为圆心作过点O的圆，这三个圆两两的异于O的交点分别为K、L、M证明点O是KLM的内心131 在边长为a, b, c，各边所对的内角为a, b, g的ABC内有点P和Q使得BPC = CPA = APB = 120, BQC = 60 + a, CQA = 60 + b, AQB = 60 + g证明 (AP + BP + CP) 3AQBQCQ = (abc) 2132 E为圆内接四边形内任意一点，E在直线AiAj上的垂足为Pi, j (1 i 145 设点D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的点，并且AEF、BFD、CDE的内切圆都与DEF的内切圆外切求证AD、BE、CF三线共点146 凸四边形ABCD的外接圆圆心为O，已知AC BD，且AC与BD交于E，若P为ABCD内部一点，且PAB + PCB = PBC + PDC = 90求证O、P、E三点共线147 AB、AC为O切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、O、P三点共线，P为以P点为圆心、PD为半径的圆证明，C点在BMP外接圆与P的根轴上148 已知圆内接四边形ABCD，直线AD和BC交于点E，且点C在点B、E之间，对角线AC、BD交于F，设点M为边CD的中点，点N是ABM的外接圆上的不同于M的点，且满足 = 证明，E、F、N三点共线149 ABC中I为内心，AI、BI、CI交对边于D、E、F求证，过D、E、F的圆被ABC所截的两弦长之和等于第三条弦长150 锐角ABC中，BC AC AB，AC上的点E