严亦慈数学自主招生复数讲义.pdf

名校自主招生教材 复数 1 复数复数 1 1 复数的几种表达方式复数的几种表达方式 一 复数的代数形式 biaz 我们知道 任何一个复数 均由它的实部和虚部两部分构成 于是对于复数域内的 任何一个复数z 我们通常把它记做 biaz 其中Rba 我们把复数z的实部和虚部分别记做 Re z和 Im z 对于上式中的biaz 我们有bzaz Im Re 这种表示方法是唯一的 我们把它叫做复数的代数形式 这是最常用的表示方法 在利用复数代数形式解题时 尤其是在进行模运算时 希望大家不要一股脑将代数 形式带入 利用模运算公式 2 zzz 往往能够简化运算量 例 2006 年千分考 设 21 z z是一对共轭复数 如果6 21 zz 且 2 2 1 z z 为实数 那 么 21 zz A 2 B 2 C 3 D 6 解 通过 2 2 1 z z 为实数可得 2 2 1 2 2 1 z z z z 结合已知条件的 21 zz 12 zz 可得 2 1 2 2 2 1 z z z z 于是 3 2 3 1 zz 即 0 2 221 2 121 zzzzzz 又 21 zz 故可得 0 2 221 2 1 zzzz 另一方面 又已知可得 6 2 121 zzzz 结合 21 zz 并将括号展开后 得到 2 2 2 121 62zzzz 将 和 联立后既得 2 21 zz 即2 2 1 z 故 21 zz2 习题 1 1 设 a b c 都是复数 给出下面两个命题 如果 222 cba 则0 222 cba 如果0 222 cba 则 222 cba 则 A 正确 也正确 B 正确 不正确 批注批注 ylf1 一个数 a 是实数当且仅 当 aa 这个结论非常重要 往 往能简化运算 批注批注 ylf2 这里就运用了 2 zzz 的公式 名校自主招生教材 复数 2 C 不正确 正确 D 不正确 也不正确 答案 答案 B 解析解析 标签 复数 此题考察的是复数的概念 即当且仅当 a b 为实数时才能比较 a b 的大小 详解详解 由 222 cba 知 22 ba 和 2 c均为实数 所以0 222 cba 成 立而0 222 cba并不能推出 22 ba 和 2 c均为实数 比如说 icba2 1 222 就是其反例 从而 错误 选 B 二 复数的三角形式 sincosrirz 我们知道 任意一个复数 对应复平面上的一个点 如图所示 在图中 复数biaz Rba 表示的复平面上的点A在复平面 中的坐标表示为 ba 现设 0 rrOA 则我们可以用OA与 x 轴正方向的夹 角 以及r来表示 A 点的坐标 其与直角坐标系中的坐标关 系为 sin cosrbra 于是我们可以将复数z表示为 sincosrirz 在上图中 容易由勾股定理得 22 bar 我们发现实际上 r即为该复数的 模长 我们称上图中 A 点与 x 轴正方向的夹角 为复数 z 的辅角辅角 事实上 同一个复数的辅角并不唯一 它们可能相差 2的整数倍 我们称在区间 2 0 之间的那个辅角为主辅主辅角角 通常记为 argz 一个复数的主辅角是唯一的 我们考虑问题时 一般考虑主辅角会显得比较方便 三 复数的指数形式 i erz 对于一个复数 若其三角形式为 sincosrirz 则其可以写成指数形式 i erz 这实际上是 Euler 公式公式 其本质是 Talyor 展开 在这里不详细说明 有兴 趣的同学只需记住这个公式即可 例 求 i i 解 2 2 sin 2 cos i eii 故 222 eeei ii i i i 2 2 复数的三角形式复数的三角形式 我们为什么要讨论复数的三角形式 复数的三角形式有什么优越性呢 我们发现 当两个复数相加时 用复数三角形式是看不出有任何优势的 甚至可以说是 繁琐的 但当我们将两个复数相乘时 复数三角形式有比较简单的形式 也使得其几何意义变得 名校自主招生教材 复数 3 非常明显 一 复数三角形式相乘 设 sin cos 1111 irz 222 sincos iz 则 sinsincos cos sin cossin cos 21212122112121 rriirrzz sin cos sincossincos 2121211221 irrii 上式的几何意义非常明显 两个复数 21 zz 相乘的几何意义是它们的积复数 21z zz 的为模长z为它们的模长之积 即 21 zzz 积复数z的辅角 为它们辅角 的和 即 21 例 2011 年千分考 将复数 75sin75cos iz所对应的向量顺时针旋转 15 所 得向量所对应的复数是 A i 2 1 2 3 B i 2 1 2 3 C i 2 3 2 1 D i 2 3 2 1 解 这个复数的辅角为 75 顺时针选准 15后 新的复数的辅角为 601575 故所得的新的复数为 60sin60cosii 2 1 2 3 故此题选 A 二 复数三角形式相除 由于除法是乘法的逆运算 所以与复数三角形式的乘法相对应 我们可以知道两个 复 数 s i n c o s 1111 irz 222 sincos iz相 除 的 商 复 数 为 21 2 1 2 1 cos r r z z z 这可由化简得到 或者我们观察到 12 zzz 故 2 1 z z z 与乘法相对应的 复数乘法的几何意义是 两个复数 21 zz 相除 它们的商复数 2 1 z z z 的为模长z为它们的模长之商 即 2 1 z z z 商复数z的辅角 为它们辅角的 差 即 21 即为这两个复数的夹角 注意这个角是有方向的 例 2011 年千分考 以复数 321 ZZZ和 321 WWW为对应顶点的复平面上的两个三角 名校自主招生教材 复数 4 形相似是等式 13 12 13 12 WW WW ZZ ZZ 成立的 条件 A 必要但不充分 B 充分但不必要 C 充分必要 D 既非充分又非必要 解 必要性 根据复数除法的几何意义知两个商复数相除的模长相等 即说明两个三角形的边有 比例关系 31 21 31 21 WW WW ZZ ZZ 且夹角相等 即 312312 WWWZZZ 由两边对应成比例 对应边夹角相等的判别法则可知 312 ZZZ 312 WWW 故以复数 321 ZZZ和 321 WWW为对应顶点的复平面上的两个三角形相似 故这是个必要条件 充分性 题目只说以复数 321 ZZZ和为对应顶点的复平面上的两个三角形相似 并未提及 一定需要 312 ZZZ 312 WWW 当 321 ZZZ 312 WWW 时 上式显然不一定成 立 故充分性不成立 综上所述 这是一个必要非充分条件 故选 A 三 复数的三角形式与三角函数 1 棣莫弗定理棣莫弗定理 我们知道两个复数相乘 积复数的辅角为这两个复数的辅角和 由于复数 sincos i的模长为 1 由此我们容易得到下面这些等式 2sin2cos sin cossin cos sin cos 2 iiii sin cos2sin2 cos sin cos sin cos sin cos 23 iiiii 3sin3cos i 依次类推 对于一般的 Nn我们可以得到等式 nini n sincos sin cos 这就是棣莫弗定理 2 由复数导出三角公式 我们再来看这样一件事情 对于2 n 由棣莫弗定理 我们有 对任意的角度 iii cossin2 sin cos sin cos2sin2cos 222 由上式我们对比实部与虚部 即可得到二倍角式 22 sincos2cos cossin22sin 名校自主招生教材 复数 5 同理我们有 于是我们得到三倍角公式 cos3cos4cos cos1 3coscossin3cos3cos 32323 33232 cos4sin3sin sin1 sin3sincossin33sin 同理我们可以用棣莫弗定理及二项式定理得到n倍角公式 这里不一一进行列举了 例 求证 2 0 222 sincoscos n i iini n Cn 证明 运用棣莫弗定理及二项式定理 比较 n i sin cos 的二项式展开式既得上述 结论 3 利用复数的三角形式解三角函数题 利用复数乘法的几何意义 在解决一些角度相加的问题时 往往会使得问题得到简 化 例 求代数式10cot 31 7 arctan 50 7 arccos 10 1 arcsinarc 的值 解 根据复数的几何意义 辅角相加相当于复数相乘后的辅角 于是所求相当于 10 731 7 3 iiiiz 的一个辅角 由于上式中的四个角度均为锐角 所以所求的值得范围在 2 0 之间 相当 于求z的主辅角 化简可得 5050 z 1 i 因此 4 arg z 即所求代数式的值为 4 习题 2 1 求 n k k kq 1 cos 解 考虑复数 n k k iz 1 sin cos 由棣莫弗定理可知 所求即为z的实部 而z实际上是一个等比数列的和 公比为 sincos i 等比数列求和公式有 1sincos sincos 1sin 1cos 1sincos 1 sin cos sin cos i inin i i iz n 名校自主招生教材 复数 6 化简得 2cos2 sin2sin 1sin sincos1 1cos cos nninn z 于是 所求即为 2cos22 cos1 1cos cos Re nn z 注 同理我们可得 n k k nn zkq 1 cos22 sin2sin 1sin sin Imcos 3 3 单位根及其应用单位根及其应用 代数基本定理告诉我们 任何一个n次复系数多项式在复数域内总有n个根 对于最简 单的多项式1 n x 它的个根的情况又是什么样子的呢 定义定义 设1 n是整数 若复数 n 满足1 n n 则称 n 为n次单位根次单位根 我们将复数 1 写为复数的三角形式 即 kiki2sin2cos0sin0cos1 若一个复数 sincos izn的n次方为 1 则由棣莫弗定理 ninzn n sincos 比较 可得 n k 2 当k取 0 1 2 n 1 这 n 个不同的数时 sincos i是 不同的 于是 n k i n k 2 sin 2 cos 1 2 1 0 nk 是1 n x的n个解 另一方面 代数基本定理告诉我们1 n x仅有n个解 故 n k i n k 2 sin 2 cos 1 2 1 0 nk 是1 n x的全部解 这样我们就得到了所有n次单位根的代数形式 故我们可以给出关于n次单位根的形式定理 定理定理 所有n次单位根为 121 1 n 其中 n j i n j j 22 cos 1 2 1 nj 事实上 由 j j1 我们容易得到 所有n次单位根为 n 1 2 11 1 一 单位根的性质 n单位根具有如下性质 巧妙地运用这些性质往往能够使得原本繁琐的题目得到简 化 甚至是解决一些比较在代数中比较难解决的问题 1 三次单位根为i 2 3 2 1 和i 2 3 2 1 2 设k和l是整数 1 是辅角为 n 2 的n次单位根 则 lk 11 的充要条件是 k和 l除以 n 的余数相同 证明 k 1 的辅角为 n k 2 l 1 的辅角为 n l 2 两个复数的充要条件是 n k 2 和 n l 2 批注批注 ylf3 事实上 k 取 n 时 与 n 取 0 时 辅角相差 2 实际上为一 个复数 故我们一般取辅角为主辅角 即 k 0 1 n 1 的情况 名校自主招生教材 复数 7 相差 2的整数倍 即 n l t n k 2 2 2 其中t是一个整数 故lntk 即k和l除以 n 的余数相同 得证 3 是一个n次单位根 且1 则 0 1 12 n 证明 由 是一个n次单位根可得 01 n 即 01 1 21 nn 又1 故0 1 12 n 得证 例 2011 年千分考 设有复数i 2 3 2 1 1 5 2 s