安徽农业大学线代作业本第四章习题答案.pdf

第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1 解 T 7 3 4 0 TTT 1 6 2 5 9 0 6 3 8 6 4 2 32 2 解 TT 5 7 5 4 1 7 4 5 5 1 23 2 5 1 TT 5 13 5 6 1 13 6 5 5 1 3 23 5 1 3 解 1 22 21000 20100 10010 10001 01111 20111 00011 10001 10001 00011 20111 01111 4321 所以 2 91411 9100 5110 3011 6111 5110 3011 321 所以 4 解 15000 5310 7132 5620 5310 7132 185 2673 7132 aaa 所以 15 a时 可由 321 线性表示 15 a时 不可由 321 线性表示 5 解 2 1 2 1 2 1 313322211 6 解 1 016 022 202 220 所以 向量组线性无关 2 000 000 120 351 8160 5100 12240 351 113 102 315 351 351 102 315 113 32 R 所以 向量组线性相关 7 解 2 1 1 6 811 411 211 1111 3 2 aaa a a a 所以 当21 1 aaa且时 向量组线性无关 8 解 500 170 231 670 170 231 23 312 231 所以 当5 时 向量组线性相关 213 7 1 7 11 9 证明 设有一组数 21 k k使得 0 0 21 kk 即 0 0 2121 kkkk 由向量组 线性无关可知 0 0 2121 kkkk 则 0 0 21 kk 故向量组 线性无关 10 证明 设有一组数 321 kkk使得 0 0 32 321 kkk 即 0 0 332321 3 2 kkkkkk 由向量组 线性无关可知 03 02 0 332321 kkkkkk 则 0 0 0 321 kkk 故向量组 32 线性无关 11 解 1 0000 0000 7450 2321 7450 148100 7450 2321 3212 21026 1513 2321 所以 向量组的秩为2 R 一个极大线性无关组为 21 2 0000 8000 5310 5211 6000 5310 8000 5211 6101 0101 3211 5211 所以 向量组的秩为3 R 一个极大线性无关组为 421 12 解 2900 0700 4120 2311 6740 12460 4120 2311 213 10151 6231 2311 pppppp 1 所以 当2 p时 该向量组线性无关 2 当2 p时 该向量组线性相关 秩为3 R 一个极大线性无关组为 321 13 证明 由于任一n维向量都可由n维单位向量组 n 21 线性表示 故n维向量组 n 21 能由 n 21 线性表 示 又已知n维单位向 量组 n 21 能由 n 21 线性表示 故 n 21 与 n 21 等价 而 n 21 线性无关 故 nRR nn 2121 故 n 21 也线性无关 14 证明 AAT是nn 矩阵 而nmRRR TT min AAAA 所以0 AAT 15 解 1 0200 1640 2431 1011 1211 2431 原方程组同解于 02 064 0243 3 432 4321 x xxx xxxx 取自由未知量1 4 x 得到一组基础解系 1 0 4 1 4 5 通解为Rkkx 2 0000 0000 5610 3421 101220 151830 5610 3421 192483 3254 3421 4653 原方程组同解于 056 0342 432 4321 xxx xxxx 取自由未知量 1 0 0 1 4 3 x x 得到一组基础解系 1 0 5 7 0 1 6 8 21 通解为Rkkkk 212211 x 16 解 1 00000 17640 11311 08951 44313 11311 原方程组同解于 1764 13 432 4321 xxx xxxx 取自由未知量 0 0 4 3 x x 得到一个特解 0 0 4 1 4 5 与原方程组对应的齐次线性方程组同解于 0764 03 432 4321 xxx xxxx 取自由未知量 1 0 0 1 4 3 x x 得到一组基础解系 1 0 4 7 4 3 0 1 2 3 2 3 21 通解为Rkkkk 212211 x 2 00000 02000 391310 24511 6382620 371310 391310 24511 810957 24511 33223 11312 原方程组同解于 02 3913 245 4 432 4321 x xxx xxxx 取自由未知量0 3 x 得到一个特解 0 0 3 1 与原方程组对应的齐次线性方程组同解于 02 0913 045 4 432 4321 x xxx xxxx 取自由未知量1 3 x 得到一组基础解系 0 1 13 8 通解为Rkk x 17