高等数学与初等数学区别之我见.doc

我对于初等数学和高等数学的一些浅见 初等数学和高等数学最大的区别就是一个是建立在微积分之上的而另外一个不是。作为数学3大支柱之一的微积分是现代数学最基本的一个工具，所以说没学过微积分就等于没有学过真正的数学。很少能在初等数学里面看到一些有名的数学家的痕迹，因为18世纪是诞生伟大数学家最多的一个世纪，但18世纪已经是进入到现代数学阶段了，微积分，群论，流形这些摩登的词都已经诞生了。而像欧几里得，阿基米德这么伟大的古典数学家对于中学生来说也不是很熟悉。我们在数的运算的一些域公理是阿基米德所创立的，几何里的5个基本公理都是欧几里得所给出的，我们中小学生都在不停地用这些公理，只是没有人去注意罢了。所以古典数学的历史有必要在中小学阶段好好学学，因为只有知道了事情的来龙去脉才容易记住它，数学自然也不例外。古典数学如果从现代数学的观点去看的话，有些事情就是很自然简单的。中小学的数学为了让学生应付高考，已经让许多学生觉得数学是一个很可怕的学科，这不能怪学生，这只能怪在现行的高考制度下老师给学生施加的压力太大，使学生无法掌握数学的本质，不能学到真正的数学思想。高考试卷中往往注重数学技巧，但这些数学技巧对数学的发展是一点作用都没有用的，只是让学生徒增恐惧和厌倦。举个例子，高中数学中的数列问题只是介绍了一个等差和等比数列的通项求法和前n项和的求法。而关于数列里面最重要的部分，也就是敛散性，是没有丝毫的涉及。而高考每年的数学的数列题目都可以难倒大批的学生，究其原因就是高考命题的人总喜欢把数列题目的通项规律技巧化，这种技巧对于能否掌握数列的本质是没有帮助的。把数列求和的几个公式记熟，把迭代和错位相减的思想掌握了也就够了。数学不是为了难倒学生，而是为以后的学习服务，就算一个学生能把那些数列中所谓的小技巧掌握的炉火纯青，那对他以后学习高等数学中的级数又有什么帮助呢！初等数学内容是很少的，但其发展是用了2000多年。初等数学中没有几个漂亮的定理，这是客观的事实。而现代数学中漂亮的定理是很多的。微积分里面最漂亮的定理就是Stockes公式，这个公式也是多元微积分的顶峰。单变量微积分中的Newton-Lebniz公式是其表现形式，多元微积分中的Green公式和Guass公式也是其表现形式。复变函数中的欧拉公式可以说是最简洁漂亮的一个定理，这是一个伟大的定理，将三角函数和指数函数联系起来了。在代数学中，如秩与零度定理，Riesz表示定理都是很漂亮很有用的定理，因为有许多定理都是建立在这些定理之上的。现代数学最基本的两门学科就是微积分和线性代数。正如华罗庚的大弟子龚升教授所说的“一个学生或者老师说他学了多么多么高深的专业，但是他连微积分和线性代数这两门课都弄不清楚的话，那一切都是空的。糊弄老百姓是可以，但是如果真刀真枪干数学是不行的。说得极端一点，如果一个学生学好了微积分和线性代数这两门课，即使他专业学得不算好，甚至没学什么专业知识，他还是有希望成为一个大数学家”。我们从小学到大学读过的数学书不少，但如果我们不知道其中哪些定理是重要的，哪些定理是不重要的，则我们一定没有读透数学书。不是每个定理都是关键的定理，因为有些定理只是关键定理的推广。数学就像一部电影，每个定理一定有它的前因后果，只有弄清楚了某些定理和定义的终极目的，那么我们才能真正掌握它。如果我们学了一系列的定理或者定义，却不知道这些定理和命题是为了什么而服务的，那么一切都是无用功。我用线性代数来举个例子。线性代数里面最主要的两个定义就是行列式和矩阵。我认为行列式是为了解决线性方程组求解的问题而产生的。线性代数研究的问题主要是线性变换，线性变换是一个很抽象的东西，怎么样来刻画它呢？如果用代数模论来刻画它，对于没有学过近世代数的学生是无法理解的，所以我们就用基下矩阵来刻画它，这就是矩阵的由来。每个线性变换在空间的一组基下都有唯一的矩阵和其对应，这就建