高中数学 2.2.2二次函数的性质与图象教学设计 新人教B版必修1.docVIP

2015-2016学年高中数学 2.2.2二次函数的性质与图象教学设计 新人教b版必修1教学分析在讨论二次函数性质的过程中，其图象显然起了重要作用，但是又不忽视解析式的作用因此教材突出数与形的有机结合高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分对一般学生来说，分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来做对于二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师应该带领学生尝试三维目标对一般二次函数解析式配方，确定其图象位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质，提高学生数形结合的能力重点难点教学重点：二次函数的性质与图象教学难点：求二次函数的值域课时安排1课时导入新课思路1.在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题思路2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图象和性质进行深入学习，教师引出课题推进新课画出y2x24x3的图象，根据图象讨论图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.画出yx24x5的图象，根据图象讨论图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.讨论二次函数f(x)ax2bxc(a0)图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.活动：学生回顾画二次函数图象的方法，思考函数的单调性、最值的几何意义讨论结果：y2x24x32(x1)25，其图象如下图所示观察图象得：开口向上；顶点a(1，5)；对称轴直线x1；在(，1上是减少的，在1，)上是增加的；当x1时，函数取得最小值5.yx24x5(x2)29，其图象如下图所示观察图象得：开口向下；顶点a(2,9)；对称轴直线x2；在(，2上是增加的，在2，)上是减少的；当x2时，函数取得最大值9.对于二次函数f(x)ax2bxca(x)2.(1)当a0时，其图象如下图所示由图象得：当a0时，它的图象开口向上，顶点坐标为(，)，对称轴为x；f(x)在(，上是减少的，在，)上是增加的；当x时，函数取得最小值.(2)当a0时，其图象如下图所示由图象得：当a0时，它的图象开口向下，顶点坐标为(，)，对称轴为x；f(x)在(，上是增加的，在，)上是减少的；当x时，函数取得最大值.下面证明当a0时，函数f(x)在(，上是减少的，在，)上是增加的证明：设a0，任取x1、x2，且x1x2，则f(x2)f(x1)(axbx2c)(axbx1c)a(xx)b(x2x1)a(x2x1)b(x2x1)因为x1，x2，所以x1x2，即a(x1x2)b.也就是a(x1x2)b0.又x2x10，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)由函数单调性的定义，f(x)在(，上是减少的同理可证，f(x)在，)上是增加的显然，将f(x)ax2bxc配方成f(x)a(x)2之后，我们就可以通过a，和直接得到函数的主要性质，并且可以依此画出函数图象思路1例1试述二次函数f(x)x24x6的性质，并作出它的图象解：(1)配方f(x)x24x6(x28x12)(x4)21612(x4)24(x4)22.由于对任意实数x，都有(x4)20，因此f(x)2，当且仅当x4时取等号这说明该函数在x4时，取得最小值2，记为ymin2.它的图象的顶点为(4，2)(2)求函数的图象与x轴的交点令y0，即x24x60，x28x120.解此一元二次方程，得x16，x22，这说明该函数的图象与x轴相交于两点(6,0)，(2,0)(3)列表描点作图以x4为中间值，取x的一些值(包括使y0的x值)，列出这个函数的对应值表：x7654321y020在直角坐标系内描点作图，如下图所示(4)函数图象的对称性质从上表和函数的图象容易推测，该函数的图象是以过点m(4，0)，且平行于y轴的直线为对称轴的轴对称图形下面我们来证明这个事实在x4的两边取两个对称的x值：4h，4h(h0)因为f(4h)(4h)24(4h)6h22，f(4h)(4h)24(4h)6h22，所以f(4h)f(4h)这就是说，抛物线yx24x6关于直线x4对称注意：通过点(a,0)平行于y轴的直线上的所有点的横坐标都为a，通常将这条直线记为直线xa.(5)函数的增减性再观察这个函数的图象，还可以发现，函数在区间(，4上是减函数，在区间4，)上是增函数点评：从这个例题中可以看出，根据配方后得到的性质画函数图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图的操作更简便，使图象更精确“配方法”是研究二次函数的主要方法熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质从而归结出，二次函数有如下性质：(1)函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线xh；(2)当a0时，抛物线开口向上，函数在xh处取最小值yminkf(h)；在区间(，h上是减函数，在h，)上是增函数；(3)当a0时，抛物线开口向下，函数在xh处取最大值ymaxkf(h)；在区间(，h上是增函数，在h，)上是减函数例2试述二次函数f(x)x24x3的性质，并作出它的图象解：(1)配方f(x)x24x3(x24x3)(x2)27(x2)27，由(x2)20，得该函数对任意实数x都有f(x)7，当且仅当x2时取等号，即f(2)7.这说明函数f(x)在x2时取得最大值7，记作ymax7.所以函数图象的顶点是(2,7)注：记号ymax，ymin分别表示函数yf(x)的最大值，最小值(2)求函数图象与x轴的交点令x24x30，解此方程，得x120.65，x224.65.这说明这个函数的图象与x轴相交于两点(2，0)，(2，0)(3)列表描点作图以x2为中间值，取x的一些值(包括y0的x值)，列出这个函数的对应值表：x54.654.5432100.50.651y200.75367630.7502在直角坐标系内描点作图(4)函数的对称性、增减性由下图可得到函数f(x)x24x3，关于直线x2成轴对称图形，在区间(，2上是增函数，在区间2，)上是减函数点评：从以上两例，我们可以看到，为了有目的地列出函数对应值表和作函数的图象，最好先对已知函数作适当的分析，克服盲目性，以便更全面、更本质地反映函数的性质一般地，对任何二次函数yf(x)ax2bxc(a0)都可以通过配方化为ya(x)2a(xh)2k，其中，h，k.例3求函数y3x22x1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解：因为y3x22x13(x)2，所以yminf()，函数的值域为，)函数图象的对称轴是直线x，它在区间(，上是减函数，在区间，)上是增函数思路2例1已知函数f(x)x22x3.(1)画出f(x)的图象；(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间；(3)利用定义证明函数f(x)x22x3在区间(，1上是增函数；(4)当函数f(x)在区间(，m上是增函数时，求实数m的取值范围分析：(1)画二次函数的图象时，重点确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几何意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取x1x2，然后作差f(x1)f(x2)，判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间(，m的相对位置解：(1)函数f(x)x22x3的图象如下图所示. (2)由函数f(x)的图象得，在直线x1的左侧图象是上升的，在直线x1的右侧图象是下降的，故函数f(x)的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，)(3)设x1，x2(，1，且x1x2，则有f(x1)f(x2)(x2x13)(x2x23)(xx)2(x1x2)(x1x2)(2x1x2)x1、x2(，1，且x1x2，x1x20，x1x22.2x1x20.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函数f(x)x22x3在区间(，1上是增函数(4)函数f(x)x22x3的对称轴是直线x1，在对称轴的左侧是减函数，那么当区间(，m位于对称轴的左侧时满足题意，则有m1，即实数m的取值范围是(，1点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其综合应用讨论二次函数的单调性时，要结合二次函数的图象，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决.变式训练如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间(，)上是减函数，那么f(2)的取值范围是()a(，7b(，7)c(7，)d7，)解析：本题主要考查二次函数的单调性二次函数f(x)在区间(，)上是减函数，由于图象开口向上，对称轴x.a2.故f(2)222(a1)5112a7.答案：a例2某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：r(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益总成本利润)分析：(1)利润总收益总成本；(2)转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数，又f(x)60 00010040025 000，所以，当x300时，有最大值25 000.即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题.变式训练某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入r是单位产量q的函数：r(q)4qq2，则总利润l(q)的最大值是_万元，这时产品的生产数量为_(总利润总收入成本)解析：l(q)4qq2(200q)(q300)2250，则当q300时，总利润l(q)取最大值250万元答案：2503001已知函数f(x)ax22(a2)xa4.当x(1,1)时，恒有f(x)0，则a的取值范围为()aa2ba2c0a2da2且a0解析：思路1：当a0时，f(x)4x4，则此时f(x)是减函数，且f(1)0，则当x(1,1)时，恒有f(x)f(1)0，即a0符合题意，排除c、d；当a2时，f(x)2x22，由于x(1,1)，则有f(x)2x22f(1)f(1)0，即a2符合题意，排除b；故选a.思路2：当x(1,1)时，有x22x1(x1)20，又f(x)(x22x1)a4(x1)，则恒有(x22x1)a4(x1)0，即a恒成立，又x(1,1)，则2，则只需a2即可答案：a2若函数f(x)(a2)x22x4的图象恒在x轴下方，则a的取值范围是_解析：由题意得解得a.答案：(，)3二次函数f(x)x2ax，对任意xr，总有f(1x)f(1x)，则实数a_.解析：对任意xr，总有f(1x)f(1x)，函数f(x)的对称轴是x1，则有1，a2.答案：24函数yx22(m1)x3在区间(，2上是减函数，则m的取值范围是()am3 bm3 cm3 dm3解析：结合二次函数的图象来分析二次函数yx22(m1)x3的对称轴x(m1)1m.10，开口向上，在(，2上递减，需满足对称轴x1m在区间(，2的右侧，则21m，m3.答案：a5已知f(x)x22x3，在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是_答案：1,26已知f(x)x24x4，xt，t1，tr，(1)求f(x)的最小值g(t)的解析式；(2)求g(t)的最小值分析：(1)易得函数的对称轴为x2，之后分对称轴在区间t，t1左、内、右分段得出最小值的解析式(2)g(t)是分段函数，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值解：(1)f(x)(x2)28，f(x)的对称轴是直线x2.当2t，t1，即t2t1时，1t2，g(t)f(2)8；当2t1，即t1时，f(x)在t，t1上随x增大f(x)减小g(t)f(t1)t22t7.当t2时，f(x)在t，t1上随x增大f(x)增大g(t)f(t)t24t4.综上可得g(t)(2)当t1时，g(t)t22t7(t1)288；当1t2时，g(t)8；当t2时，g(t)t24t4(t2)288；则g(t)的最小值是8.7通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣剧增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析，得知f(t)(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？分析：(1)转化为求函数f(t)的最大值；(2)比较f(5)，f(25)的大小；(3)结合函数f(t)的图象，求当f(t)180时，时间t的取值范围解：(1)当0t10时，f(t)t224t100(t12)2244是增函数，且f(10)240.当20t40时，f(t)7t380是减函数，且f(20)240，所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟(2)由题意得f(5)52245100195，f(25)725380205，所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中(3)函数f(t)的图象与y180交于两点，当0t10时，令f(t)t224t100180，得t4，当20t40时，令f(t)7t380180，得t28.57，由(1)函数f(t)的单调性，知4t28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57424.5724，所以经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题8如果函数yf(x)(xd)满足：(1)f(x)在d上是单调函数；(2)存在闭区间a，bd，使f(x)在区间a，b的值域也是a，b那么就称函数yf(x)为闭函数试判断函数yx22x(x1，)是否为闭函数，如果是闭函数，那么求出符合条件的区间a，b，如果不是闭函数，请说明理由分析：本题立意新颖，背景鲜明，设问灵活，体现了考查能力和素质的要求闭函数的概念是教材上没有的，这类问题的给出可以是新概念、新定理或新规则，其解决策略是先读懂题目，进行信息迁移，获取有用信息，再利用这个新知识作进一步的演算或推理，结合数学知识进而解决问题先证明函数yx22x(x1，)是增函数然后用反证法判断函数yx22x(x1，)是否为闭函数解：设1x1x2，则有f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x2)(xx)2(x1x2)(x1x2)(x1x22)1x1x2，x1x20，x1x220.(x1x2)(x1x22)0.f(x1)f(x2)函数yx22x(x1，)是增函数假设存在符合条件的区间a，b，则有 即 解得或或或又1ab，函数yx22x(x1，)是闭函数， 符合条件的区间是1,0问题：怎样求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值？探究：求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值时，易错认为最大值是f(q)，最小值是f(p)其突破方法是结合二次函数f(x)在闭区间p，q上的图象，依据函数的单调性求出我们知道，如果函数yf(x)在区间(a，b上单调递增，在区间b，c)上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间(a，b上单调递减，在区间b，c)上单调递增，则函数yf(x)在xb处有最小值f(b)因此二次函数f(x)在闭区间p，q上的最值问题转化为判断其单调性例如：求函数f(x)x22x，x2,3的最大值和最小值分析：画出函数的图象，写出单调区间，根据函数的单调性求出解：画出函数f(x)x22x，x2,3的图象，如下图所示，观察图象得，函数f(x)x22x在区间2,1上是减函数，则此时最大值是f(2)8，最小值是f(1)1；函数f(x)x22x在区间(1,3上是增函数，则此时最大值是f(2)8，最小值是f(1)1；则函数f(x)x22x，x2,3的最大值是8，最小值是1.因此可见，求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值的关键是看二次项系数a的符号和对称轴x的相对位置，由此确定其单调性，再由单调性求得最值可以利用同样方法归纳出结论： 若a0，则(1)当p，即对称轴在区间p，q的左边时，画出草图如下图(1)，从图象上易得f(x)在p，q上是增函数，则f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)；(2)当p，即对称轴在区间p，q的左端点与区间中点之间时，画出草图如下图(2)，从图象上易得f(x)在p，q上的最值情况是f(x)minf()，f(x)maxf(q)；(3)当q，即对称轴在区间p，q的中点与右端点之间时，画出草图如上图(3)从图象上易得f(x)在p，q上的最值情况是f(x)minf()，f(x)maxf(p)；(4)当q，即对称轴在区间p，q的右边时，画出草图如上图(4)，从图象上易得f(x)在p，q上是减函数，则f(x)minf(q)，f(x)maxf(p)对a0的情况，可类似得出即二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值：设f(x)在区间p，q上的最大值为m，最小值为m，x0(pq)结合图象，得当a0时，若p，则f(p)m，f(q)m；若px0，则f()m，f(q)m；若x0q，则f(p)m，f()m；若q，则f(p)m，f(q)m.当a0时，若p，则f(p)m，f(q)m；若px0，则f()m，f(q)m；若x0q，则f(p)m，f()m；若q，则f(p)m，f(q)m.本节我们学习了：(1)二次函数的性质；(2)解决二次函数的实际应用问题课本本节练习b2、3.本节教学设计注重了用图象探索出二次函数的性质(如单调性)，