勾股定理的无字证明.doc

勾股定理的无字证明 勾股定理的无字证明 在学习勾股定理时，我们学会运用图(1)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。 (1)请你用图(2)(xx年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)。 (2)请你用(3)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证： (x+y)2=x2+2xy+y2 (3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证： (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq 2这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的PythagoreanProposition一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。 利用相似三角形的证法 利用相似三角形证明 有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。 设ABC为一直角三角形,直角于角C(看附图).从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系： 因为BC=a,AC=b,AB=c 所以a/c=HB/aandb/c=AH/b 可以写成a*a=c*HBandb*b=C*AH 综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c 换句话说:a*a+b*b=c*c *-为乘号 欧几里得的证法 在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS定理)三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。CAB和BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H。CBD和FBA皆为直角，所以ABD等于FBC。因为AB和BD分别等于FB和BC，所以ABD必须相等于FBC。因为A与K和L是线性对应的，所以四方形BDLK必须二倍面积于ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于FBC。因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=AB?。同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=AC?。把这两个结果相加，AB?+AC?=BDBK+KLKC由于BD=KL，BDBK+KLKC=BD(BK+KC)=BDBC由于CBDE是个正方形，因此AB?+AC?=C?。此证明是于欧几里得几何原本一书第1.47节所提出的 其余见：勾股定理的美妙证明梁卷明网站：梁卷明 xx年3月24日晚，我参加了广西教研网的主题研讨活动之后，对勾股定理的证明作了进一步的研究，xx年3月28日下午我终于发现了一个美妙的证明： 勾股定理：如图，直角三角形ABC中：AC+BC=AB. 证明：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形AM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知ABCRBS,从而点Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;显