2013年数学大纲线性代数重要知识点串讲.pdf

2013201320132013 年数学大纲线性年数学大纲线性年数学大纲线性年数学大纲线性 代数重要知识点串讲代数重要知识点串讲代数重要知识点串讲代数重要知识点串讲 2013201320132013 年数学大纲线性代数重要知识点串讲年数学大纲线性代数重要知识点串讲年数学大纲线性代数重要知识点串讲年数学大纲线性代数重要知识点串讲 2013201320132013 年数学大纲线性代数重要知识点串讲年数学大纲线性代数重要知识点串讲年数学大纲线性代数重要知识点串讲年数学大纲线性代数重要知识点串讲 本文整理 厦门培训中心本文整理 厦门培训中心 2013 年考研数学大纲与前四年的大纲完全相同 已经保持五年不变了 并且前四年考试真 题的题型与难度也是很稳定的 建议各位考生抓住重点难 逐一突破 下面跨考教育数学教 研室刘老师针对线性代数的重要知识点给大家一些总结 一 行列式与矩阵 第一章 行列式 第二章 矩阵 是线性代数中的基础章节 有必要熟练掌握 行列式的核心内容是求行列式 包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算 其中具体行列 式的计算又有低阶和高阶两种类型 主要方法是应用行列式的性质及按行 列展开定理化为 上下三角行列式求解 对于抽象行列式的求值 考点不在求行列式 而在于相关性质 矩阵 部分出题很灵活 频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律 运算性质 矩阵可逆的判定 及求逆 矩阵的秩的性质 初等矩阵的性质等 二 向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容 相比之下 行列式和矩阵可视作是为了 讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节 后两章特征值 特征向量 二次 型的内容则相对独立 可以看作是对核心内容的扩展 向量与线性方程组的内容联系很密切 很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性 复习这 两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系 因为这样做首先能够保 证做到真正意义上的理解 同时也是熟练掌握和灵活运用的前提 解线性方程组可以看作是出发点和目标 线性方程组 一般式 还具有两种形式 1 矩阵形式 2 向量形式 1 齐次线性方程组与线性相关 无关的联系 齐次线性方程组 可以直接看出一定有解 因为当变量都为零时等式一定成立 印证了向量部 分的一条性质 零向量可由任何向量线性表示 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况 有唯一零解 有非零解 当齐次线性方 程组有唯一零解时 是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立 而当齐次线性方程组有 非零解时 存在不全为零的变量使上式成立 但向量部分中判断向量组是否线性相关 无关的 定义也正是由这个等式出发的 故向量与线性方程组在此又产生了联系 齐次线性方程组 是 否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关 可以设想线性相关 无关的概念就是 为了更好地讨论线性方程组问题而提出的 2 齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系 同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的 秩的定义是 极大线性无 关组中的向量个数 经过 秩 线性相关 无关 线性方程组解的判定 的逻辑链 条 就可以判定列向量组线性相关时 齐次线性方程组有非零解 且齐次线性方程组的解向 量可以通过 r 个线性无关的解向量 基础解系 线性表示 3 非齐次线性方程组与线性表示的联系 非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示 使等式成立的一组数就 是非齐次线性方程组的解 三 特征值与特征向量 相对于前两章来说 本章不是线性代数这门课的理论重点 但却是一个考试重点 其原因是 解决相关题目要用到线代中的大量内容 既有行列式 矩阵又有线性方程组和线性相关 牵一发而动全身 本章知识要点如下 1 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质 2 相似矩阵及其性质 需要区分矩阵的相似 等价与合同 3 矩阵可相似对角化的条件 包括两个充要条件和两个充分条件 充要条件 1 是 n 阶矩阵有 n 个线性无关的特征值 充要条件 2 是任意 r 重特征根对应有 r 个线性无关的特征向量 4 实对称矩阵及其相似对角化 n 阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵 四 二次型 本章所讲的内容从根本上讲是第五章 特征值和特征向量 的一个延伸 因为化二次型为标 准型的核心知识为 对于实对称矩阵 存在正交矩阵