福建省厦门市普通高中高三数学质量检查试卷 理（含解析）.doc

2015年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题，本大题共10小题，每小题5分，共50分1设复数z满足z（1+i）=2（i为虚数单位），则z=（）a1ib1+ic1id1+i2某程序框图如图所示，则输出的s的值为（）a11b19c26d573设集合a=x|xa，b=x|x3，则“a3”是“ab”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4如图，函数f（x）=asin（2x+）（a0，|）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）a（，0）b（，0）c（，0）d（，0）5高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：70，90），90，110），100，130），130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（）a112b114c116d1206长方体abcda1b1c1d1中，aa1=2ab=2ad，g为cc1中点，则直线a1c1与bg所成角的大小是（）a30b45c60d1207数列an满足a1=， =1（nn*），则a10=（）abcd8如图，正六边形abcdef中，ab=2，则（）（+）=（）a6b2c2d69已知f（x）是定义在r上的奇函数，且f（x2）=f（x+2），当0x2时，f（x）=1log2（x+1），则当0x4时，不等式（x2）f（x）0的解集是（）a（0，1）（2，3）b（0，1）（3，4）c（1，2）（3，4）d（1，2）（2，3）10已知函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x（mr）存在两个极值点x1，x2，直线l经过点a（x1，x12），b（x2，x22），记圆（x+1）2+y2=上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（）a0，2b0，3c0，）d0，）二、填空题，本大题共5小题，每小题4分，共20分11（x）6的展开式的常数项是（应用数字作答）12设变量x，y满足约束条件，则的最小值为13等比数列an的前n项和为sn，已知s3=a1+3a2，则公比q=14利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|ab|2发生的概率是15如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积v圆锥=（）2dx=x3|=据此类推：将曲线y=x2与直线y=4所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积v=三、解答题，本大题共5小题，满分66分16在20142015赛季cba常规赛中，某篮球运动员在最近5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：2分球3分球第1场10投5中4投2中第2场13投5中5投2中第3场8投4中3投1中第4场9投5中3投0中第5场10投6中6投2中（1）分别求该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的平均命中率；（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分分布列和数学期望17在平面直角坐标系xoy中，点p（x，y）满足=3，其中=（2x+3，y），=（2x3，3y）（1）求点p的轨迹方程；（2）过点f（0，1）的直线l交点p的轨迹于a，b两点，若|ab|=，求直线l的方程18如图，在rtabc中，acb=，ac=3，bc=2，p是abc内一点（1）若p是等腰三角形pbc的直角顶角，求pa的长；（2）若bpc=，设pcb=，求pbc的面积s（）的解析式，并求s（）的最大值19已知等边三角形pab的边长为2，四边形abcd为矩形，ad=4，平面pab平面abcd，e，f，g分别是线段ab，cd，pd上的点（1）如图1，若g为线段pd的中点，be=df=，证明：pb平面efg；（2）如图2，若e，f分别是线段ab，cd的中点，dg=2gp，试问：矩形abcd内（包括边界）能否找到点h，使之同时满足下面两个条件，并说明理由点h到点f的距离与点h到直线ab的距离之差大于4；ghpd20已知函数f（x）=在（，f（）处的切线方程为8x9y+t=0（mn，tr）（1）求m和t的值；（2）若关于x的不等式f（x）ax+在，+）恒成立，求实数a的取值范围四、选做题，从21、22、23三个题中，任选一题作答（共1小题，满分7分）【选修4-2：矩阵与变换】21已知矩阵m=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域oabc在矩阵n应对的变换作用下得到矩形区域oabc，如图所示（1）求矩阵m；（2）求矩阵n及矩阵（mn）1【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分7分）22平面直角坐标系xoy中，圆c1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆c2的极坐标方程为=4sin（1）写出圆c1的普通方程及圆c2的直角坐标方程；（2）圆c1与圆c2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交请说明理由【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）23已知函数f（x）=|xm|，关于x的不等式f（x）3的解集为1，5（1）求实数m的值；（2）已知a，b，cr，且a2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值2015年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，本大题共10小题，每小题5分，共50分1设复数z满足z（1+i）=2（i为虚数单位），则z=（）a1ib1+ic1id1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：z（1+i）=2，z=1i故选：a【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2某程序框图如图所示，则输出的s的值为（）a11b19c26d57【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=4时，满足条件k3，退出循环，输出s的值为26【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=1，k=1k=2，s=4不满足条件k3，k=3，s=11不满足条件k3，k=4，s=26满足条件k3，退出循环，输出s的值为26故选：c【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的k，s的值是解题的关键，属于基本知识的考查3设集合a=x|xa，b=x|x3，则“a3”是“ab”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据集合关系，结合充分条件和必要条件的进行判断即可【解答】解：若ab，则a3，则“a3”是“ab”的充分不必要条件，故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键4如图，函数f（x）=asin（2x+）（a0，|）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）a（，0）b（，0）c（，0）d（，0）【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数图象可知a=2，由图象过点（0，），可得sin=，由|，可解得，由2x+=k，kz可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），kz，对比选项即可得解【解答】解：由函数图象可知：a=2，由于图象过点（0，），可得：2sin=，即sin=，由于|，解得：=，即有：f（x）=2sin（2x+）由2x+=k，kz可解得：x=，kz，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），kz当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：b【点评】本题主要考查由函数y=asin（x+ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题5高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：70，90），90，110），100，130），130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（）a112b114c116d120【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】根据频率分布直方图，利用组中值对应的频率，求和得出数据的平均值【解答】解：根据频率分布直方图，得；该班级数学成绩的平均分是=800.00520+1000.01520+1200.0220+1400.0120=114故选：b【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目6长方体abcda1b1c1d1中，aa1=2ab=2ad，g为cc1中点，则直线a1c1与bg所成角的大小是（）a30b45c60d120【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线a1c1与bg所成角【解答】解：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，设aa1=2ab=2ad=2，a1（1，0，2），c1（0，1，2），=（1，1，0），b（1，1，0），g（0，1，1），=（1，0，1），设直线a1c1与bg所成角为，cos=，=60故选：c【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用7数列an满足a1=， =1（nn*），则a10=（）abcd【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】两条等差数列的通项公式即可得出【解答】解： =1（nn*），=1，数列是等差数列，首项为=2，公差为1=2（n1）=n1，an=1=a10=故选：c【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8如图，正六边形abcdef中，ab=2，则（）（+）=（）a6b2c2d6【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】正六边形的内角为120，并且相对的边平行，再根据相等向量，从而得到=【解答】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：=2+42+2=6故选：d【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式9已知f（x）是定义在r上的奇函数，且f（x2）=f（x+2），当0x2时，f（x）=1log2（x+1），则当0x4时，不等式（x2）f（x）0的解集是（）a（0，1）（2，3）b（0，1）（3，4）c（1，2）（3，4）d（1，2）（2，3）【考点】其他不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得函数的性质，可得图象，数形结合可解不等式【解答】解：f（x）是定义在r上的奇函数，且f（x2）=f（x+2），f（0）=0，且f（2+x）=f（2x），f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，又0x2时，f（x）=1log2（x+1），故可作出fx（x）在0x4时的图象，由图象可知当x（1，2）时，x20，f（x）0，（x2）f（x）0；当x（2，3）时，x20，f（x）0，（x2）f（x）0；不等式（x2）f（x）0的解集是（1，2）（2，3）故选：d【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题10已知函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x（mr）存在两个极值点x1，x2，直线l经过点a（x1，x12），b（x2，x22），记圆（x+1）2+y2=上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（）a0，2b0，3c0，）d0，）【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；直线与圆【分析】求出函数的导数，由极值的概念可得x1，x2是f（x）=0的两根，运用判别式大于0，以及韦达定理，求得直线ab的斜率和直线方程，运用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，求得g（m）=dr，再由m的范围，计算即可得到范围【解答】解：函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x的导数为f（x）=x2+2mx+2m+3，由题意可得，判别式0，即有4m24（2m+3）0，解得m3或m1，又x1+x2=2m，x1x2=2m+3，直线l经过点a（x1，x12），b（x2，x22），即有斜率k=x1+x2=2m，则有直线ab：yx12=2m（xx1），即为2mx+y2mx1x12=0，圆（x+1）2+y2=的圆心为（1，0），半径r为则g（m）=dr=，由于f（x1）=x12+2mx1+2m+3=0，则g（m）=，又m3或m1，即有m21则g（m）=，则有0g（m）故选c【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题二、填空题，本大题共5小题，每小题4分，共20分11（x）6的展开式的常数项是160（应用数字作答）【考点】二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值【解答】解：由于（x）6展开式的通项公式为 tr+1=（2）rx62r，令62r=0，求得r=3，可得（x）6展开式的常数项为8=160，故答案为：160【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题12设变量x，y满足约束条件，则的最小值为4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，结合直线斜率公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象可知，oc的斜率最小，由，解得，即c（4，1），此时=4，故的最小值为4，故答案为：4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的定义以及数形结合是解决本题的关键13等比数列an的前n项和为sn，已知s3=a1+3a2，则公比q=2【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等比数列的公比，分q=1和q1结合已知列式求得q的值【解答】解：设等比数列的公比为q，由s3=a1+3a2，当q=1时，上式显然不成立；当q1时，得，即q23q+2=0，解得：q=2故答案为：2【点评】本题考查了等比数列的前n项和，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题14利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|ab|2发生的概率是【考点】条件概率与独立事件【专题】概率与统计【分析】先得到在1到6之间取整数值的随机数a和b的所有情况，利用随机事件的概率公式，分别求出事件“a+b为偶数”的概率与事件“a+b为偶数的条件下，|ab|2发生”的概率，再用条件概率公式加以计算，可得所求值【解答】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是66=36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|ab|2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|ab|2发生的概率是p=故答案为：【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键15如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积v圆锥=（）2dx=x3|=据此类推：将曲线y=x2与直线y=4所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积v=8【考点】定积分在求面积中的应用【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据题意，类比可得旋转体的体积v=，求出原函数，即可得出结论【解答】解：由题意旋转体的体积v=8，故答案为：8【点评】本题给出曲线y=x2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题三、解答题，本大题共5小题，满分66分16在20142015赛季cba常规赛中，某篮球运动员在最近5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：2分球3分球第1场10投5中4投2中第2场13投5中5投2中第3场8投4中3投1中第4场9投5中3投0中第5场10投6中6投2中（1）分别求该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的平均命中率；（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（1）由某篮球运动员子在最近5次比赛中的投篮次数及投中次数统计表，能求出该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的命中率（2）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3分球命中的概率分别为，的可能取值为0，2，3，5，分别求出相应的概率，由此能求出该运动员在最后1分钟内得分的分布列和数学期望【解答】解：（1）该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率为：=，3分球的命中率为： =（2）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3分球命中的概率分别为，的可能取值为0，2，3，5，p（=0）=（1）（1）=，p（=2）=，p（=3）=（1）=，p（=5）=，该运动员在最后1分钟内得分的分布列为： 0 2 3 5 p该运动员最后1分钟内得分的数学期望为e=2【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想17在平面直角坐标系xoy中，点p（x，y）满足=3，其中=（2x+3，y），=（2x3，3y）（1）求点p的轨迹方程；（2）过点f（0，1）的直线l交点p的轨迹于a，b两点，若|ab|=，求直线l的方程【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算；待定系数法求直线方程【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用点p（x，y）满足=3，可求点p的轨迹方程；（2）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出k，即可求出直线的方程【解答】解：（1）由题意， =（2x+3）（2x3）+3y2=3，可化为4x2+3y2=12，即：；点p的轨迹方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，|ab|=4，不合要求，舍去；当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，a（x1，y1），b（x2，y2），代入椭圆方程可得：（4+3k2）x2+6kx9=0，x1+x2=，x1x2=，|ab|=|x1x2|=，k=，直线l的方程y=x+1【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题18如图，在rtabc中，acb=，ac=3，bc=2，p是abc内一点（1）若p是等腰三角形pbc的直角顶角，求pa的长；（2）若bpc=，设pcb=，求pbc的面积s（）的解析式，并求s（）的最大值【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由三角形pbc为等腰直角三角形，利用勾股定理求出pc的长，在三角形pac中，利用余弦定理求出pa的长即可；（2）在三角形pbc中，由bpc与pcb的度数表示出pbc的度数，利用正弦定理表示出pb与pc，进而表示出三角形pbc面积，利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可【解答】解：（1）p为等腰直角三角形pbc的直角顶点，且bc=2，pcb=，pc=，acb=，acp=，在pac中，由余弦定理得：pa2=ac2+pc22acpccos=5，整理得：pa=；（2）在pbc中，bpc=，pcb=，pbc=，由正弦定理得： =，pb=sin，pc=sin（），pbc的面积s（）=pbpcsin=sin（）sin=sin（2+），（0，），则当=时，pbc面积的最大值为【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19已知等边三角形pab的边长为2，四边形abcd为矩形，ad=4，平面pab平面abcd，e，f，g分别是线段ab，cd，pd上的点（1）如图1，若g为线段pd的中点，be=df=，证明：pb平面efg；（2）如图2，若e，f分别是线段ab，cd的中点，dg=2gp，试问：矩形abcd内（包括边界）能否找到点h，使之同时满足下面两个条件，并说明理由点h到点f的距离与点h到直线ab的距离之差大于4；ghpd【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）依题意，e，f分别为线段ba、dc的三等分点，取cf的中点为k，连结pk，bk，则pkgf，从而四边形ebkf为平行四边形，由此能证明pb平面efg（2）连结pe，分别以eb，ef，ep为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出矩形abcd内不能找到点h，使之同时满足：点h到点f的距离与点h到直线ab的距离之差大于4，ghpd【解答】（1）证明：依题意，e，f分别为线段ba、dc的三等分点，取cf的中点为k，连结pk，bk，则gf为dpk的中位线，pkgf，pk平面efg，pk平面efg，四边形ebkf为平行四边形，bkef，bk平面efg，bk平面efg，pkbk=k，平面efg平面pkb，又pb平面pkb，pb平面efg（2）解：连结pe，则peab，平面pab平面abcd，平面pab平面abcd=ab，pe平面pab，pe平面abcd，分别以eb，ef，ep为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，p（0，0，），d（1，4，0），=（1，4，），p（0，0，），d（1，4，0），=（1，4，），=（，），g（，），设点h（x，y，0），且1x1，0y4，依题意得：，x216y，（1x1），（i）又=（x+，y，），ghpd，x+4y，即y=，（ii）把（ii）代入（i），得：3x212x440，解得x2+或x2，满足条件的点h必在矩形abcd内，则有1x1，矩形abcd内不能找到点h，使之同时满足点h到点f的距离与点h到直线ab的距离之差大于4，ghpd【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识20已知函数f（x）=在（，f（）处的切线方程为8x9y+t=0（mn，tr）（1）求m和t的值；（2）若关于x的不等式f（x）ax+在，+）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得，f（）=，f（）=，列出m，t的方程组，解方程即可；（2）设h（x）=ax+，x求出导数，对x讨论，若x，设g（x）=a，求出g（x）的导数，判断单调性，解不等式，对a讨论，即可得到a的范围【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f（x）=，由题意可得，f（）=，f（）=，即=，且=，由mn，则m=1，t=8；（2）设h（x）=ax+，xh（）=0，即a，h（x）=a，当a时，若x，h（x）0，若x，设g（x）=a，g（x）=0，g（x）在，上递减，且g（）0，则g（x）0，即h（x）0在，上恒成立由可得，a时，h（x）0，h（x）在，+）上递增，h（x）h（）=0，则当a时，不等式f（x）ax+在，+）恒成立；当a时，h（）0，不合题意综上可得a【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键四、选做题，从21、22、23三个题中，任选一题作答（共1小题，满分7分）【选修4-2：矩阵与变换】21已知矩阵m=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域oabc在矩阵n应对的变换作用下得到矩形区域oabc，如图所示（1）求矩阵m；（2）求