第2章(2)-控制系统的状态空间表达式.docx

现代控制理论讲义2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数。第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。y(t) u(t) _ 图2-6 系统方块图解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。我们取每个积分器的输出端信号为状态变量和，积分器的输入端即和。y(t) u(t) _ _ 从图可得系统状态方程：取y为系统输出，输出方程为：写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式： _y(t)u(t)图2-7（a）系统方框图例2-6 求如图2-7（a）所示系统的动态方程。 _+_y(t)u(t)64图2-7（b）第一次等效变换解：图2-7(a)中第一个环节可以分解为，即分解为两个通道。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图2-7(b)右侧点划线所框部分。进一步，我们可以得到图2-7(C)所示的由标准积分器组成的等效方块图。_+_y(t)u(t)64238图2-7（c）由标准积分器组成的等效方块图依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量、。由图2-7（c）可得系统状态方程：由图可知，系统输出写成矢量形式，得到系统的状态空间表达式： 2-4 由系统的微分方程或传递函数求其状态空间表达式从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示：其传递函数就是输出信号的Laplace变换与输入信号的Laplace变换之比，其形式为如下的有理分式： 以上两式表示同一系统，只不过前者在时间域t上表示，后者在复域s上表示。上式中，mn时称非正常型，这是不能实现的系统，所以我们一般假定mn。由系统的传递函数求其状态空间表达式的过程称为系统的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。系统的实现是非唯一的。 系统的实现一般有直接法，串联法和并联法三种。2-4-1 系统实现的直接分解法不失一般性，我们假设m=n,则其中： ()令： 则： 将上述式子作拉氏反变换，得： 选择状态变量如下： 即： 关于，由式可得：两边取拉氏反变换：所以得系统状态方程为： 至于系统的输出y，由式子可得： 写成矢量形式，得系统的状态空间表达式： 上式所代表的系统实现的结构图如图2-8所示。这种系统的实现称作可控型（I型）实现，关于可控型我们将在后续章节介绍。注意：当时，这时直接可以从传递函数的分子、分母多项式的系数写出。当m=0，即系统没有零点时，上述实现方法中，系统状态变量就是输出变量的各阶导数。在通常的低阶物理系统中，上述各状态变量的物理意义非常明确，如位移、速度、加速度。xnx2x1+_y(t)u(t)图2-8 传递函数的直接分解法实现例2-7 试利用