2011新课标高考总复习——三维设计(数学)第二章 第二节 函数的定义域和值域.ppt

第二节函数的定义域和值域 2 偶次根式函数被开方式 3 一次函数 二次函数的定义域均为 一 常见基本初等函数的定义域 1 分式函数中分母 不等于零 大于或等于0 R 4 y ax y sinx y cosx 定义域均为 5 y tanx的定义域为 6 函数f x x0的定义域为 7 实际问题中的函数定义域 除了使函数的解析式有意义外 还要考虑实际问题对函数自变量的制约 R x x k k Z x x 0 二 基本初等函数的值域1 y kx b k 0 的值域是 2 y ax2 bx c a 0 的值域是 当a 0时 值域为 当a 0时 值域为 3 y k 0 的值域是 R y y y y y y 0 4 y ax a 0且a 1 的值域是 5 y logax a 0且a 1 的值域是 6 y sinx y cosx的值域是 7 y tanx的值域是 y y 0 R R 1 1 函数的最值与值域有何联系 提示 函数的最值与函数的值域是关联的 求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况 但只确定了函数的最大 小 值 未必能求出函数的值域 1 下列函数中 与函数y 有相同定义域的是 A f x lnxB f x C f x x D f x ex 解析 y 定义域为 0 f x lnx定义域为 0 f x 定义域为 x x 0 f x x 定义域为R f x ex定义域为R 答案 A 2 函数y 的值域为 A RB y y C y y D y 0 y 解析 x2 2 2 0 0 y 答案 D 3 下列图形中可以表示以M x 0 x 1 为定义域 以N y 0 y 1 为值域的函数的图象是 解析 由题意知 自变量的取值范围是 0 1 函数值的取值范围也是 0 1 故可排除A B 再结合函数的性质 可知对于集合M中的任意x N中都有唯一的元素与之对应 故排除D 答案 C 4 为实数 则函数y x2 3x 5的值域是 解析 由已知可得x 0 则当x 0时 ymin 5 y 5 答案 5 5 函数f x lg 3x 1 的定义域是 解析 要使函数有意义 自变量x必须满足得解得 x 1 即函数的值域为 1 答案 1 1 求函数定义域的步骤对于给出具体解析式的函数而言 函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x取值的集合 求解时一般是先寻找解析式中的限制条件 建立不等式 再解不等式求得函数定义域 当函数y f x 由实际问题给出时 注意自变量x的实际意义 2 抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何关系 进而求解 如已知函数y f x 的定义域为 a b 求y f x 2 的定义域 其实质是求a x 2 b中x的范围 即其定义域为 a 2 b 2 反之 若y f x 2 的定义域为 a b 求f x 的定义域 则应求x 2的范围 即a x b a 2 x 2 b 2 即f x 的定义域为 a 2 b 2 即f x 与f x 2 中的x含义不同 1 求函数f x 的定义域 2 已知f x 的定义域是 2 4 求f x2 3x 的定义域 1 只给出解析式求定义域 只需要使解析式的意义 列不等式组求解 2 抽象函数定义域 看清X2 3x与f x 中的x含义相同 解 1 要使函数有意义 则只需要 解得 3 x 0或2 x 3 故函数的定义域是 3 0 2 3 即 2 依题意 只需 2 x2 3x 4 解得 1 x 1或2 x 4 故f x2 3x 的定义域是 1 1 2 4 即即 1 1 求函数f x 的定义域 2 若函数f 1 的定义域是 求f x 的定义域 解 1 由 2x 4 0知2x 4 0 即x 2 又由 x 3 0知x 3 所以函数定义域为 x x R且x 2 x 3 2 x 9 3 1 2 f x 的定义域是 函数的值域是函数值的集合 它是由函数的定义域与对应关系确定的 函数的最值是函数值域的端点值 求最值与求值域的思路是基本相同的 在函数的定义域受到限制时 一定要注意定义域对值域的影响 1 数形结合法 利用函数所表示的几何意义 借助于图象的直观性来求函数的值域 是一种常见的方法 如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键 2 配方法 求二次函数或可化为二次函数形式的函数的值域 可使用该方法 3 换元法 对于形如y ax b a b c R ac 0 的函数 往往通过换元 将其转化为二次函数的形式求值域 4 单调性法 若函数在给定区间上是单调函数 可利用单调性求值域 注意 不论用哪种方法求函数值域 都一定要先确定其定义域 求下列函数的值域 并指出函数有无最值 1 y 2 y 3 y 1 分离常数 2 利用函数的单调性或基本不等式 3 换元法 解 1 y 1 1 x2 1 0 2 1 1 1 即y 1 1 函数有最大值为1 无最小值 2 法一 任取x1 x2 x1x2 0 且x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 当x1 x2 2或2 x1 x2时 f x 递增 当 2 x1 x2 0或0 x1 x2 2时 f x 递减 故x 2时 f x 极大 f 2 4 x 2时 f x 极小 f 2 4 所求函数的值域为 4 4 函数无最值 法二 当x 0时 x 2 4 当且仅当x 2时 成立 当x 0时 x x 4 当且仅当x 2时 成立 y 4 4 函数无最值 3 法一 设函数有最大值 无最小值 y t t 1 2 1 t 0 法二 定义域为 此函数有最大值为无最小值 函数上均单调递增 y x y 在 1 2x 0 x 2 求下列函数的值域 1 y x2 2x x 0 3 2 y 3 理 y x 文 y x 4 解 1 y x 1 2 1 根据二次函数的性质 可得原函数的值域是 3 1 故值域为 3 理 先考虑函数定义域 由1 x2 0 得 1 x 1 设x cos 0 则y sin cos sin 易知当 时 y最大值为 当 时 y最小值为 1 原函数的值域是 1 文 设t 则x 1 t2 原函数可化为y 1 t2 4t t 2 2 5 t 0 y 5 原函数值域为 5 已知二次函数f x ax2 bx a b是常数 且a 0 满足条件 f 2 0 且方程f x x有两个相等实根 1 求f x 的解析式 2 是否存在实数m n m n 使f x 的定义域和值域分别为 m n 和 2m 2n 如存在 求出m n的值 如不存在 说明理由 1 由f x x有两个相等实根 则 0 2 求二次函数的值域 要注意二次函数的对称轴 再利用其单调性求最值 解 1 方程f x x 即ax2 bx x 亦即ax2 b 1 x 0 由方程有两个相等实根 得 b 1 2 4a 0 0 b 1 由f 2 0 得4a 2b 0 由 得 a b 1 故f x x2 x 2 假设存在实数m n满足条件 由 1 知 f x x2 x x 1 2 则2n 即n f x x 1 2 的对称轴为x 1 当n 时 f x 在 m n 上为增函数 于是有故存在实数m 2 n 0 使f x 的定义域为 m n 值域为 2m 2n 3 已知y f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x x2 1 求x 0时 f x 的解析式 2 问是否存在这样的非负数a b 当x a b 时 f x 的值域为 4a 2 6b 6 若存在 求出所有的a b值 若不存在 请说明理由 解 1 设x0 于是f x x x2 又f x 为奇函数 f x f x x x2 2 假设存在这样的数a b a 0 且f x x x2在x 0时为增函数 x a b 时 f x f a f b 4a 2 6b 6 考虑到为0 a b 且4a 2 6b 6可得符合条件的a b值分别为 对函数的定义域和值域的考查在高考中经常出现 定义域多以选择题和填空题出现 而值域多与函数性质结合