组合投资的决策模型.doc

组合投资的决策模型摘要：多种资产的组合投资双目标规划决策模型，利用主要目标法和线性加权法转化为单目标规划模型。在大资金投资时对单目标线性规划模型进行理论求解，得到了简明的投资原则。关键词： 1、问题的提出 市场上有n种资产（如股票、债券、）Si（i=1，n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si 的风险损失率为qi。（不妨假设，）考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费用为pi，并且当购买额不超过给定值ui时计算（不买当然无须付费），此外，假定同期银行存款利率是r0，既无交易费又无风险（r0=5%）（不妨假设ri大于r0）。试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。组合投资是指投资者为提高利益率、分配或避免风险而将多种性质不同的投资对象结合在一起统筹考虑，从中选择一些项目者投资的行为。投资可以分为有风险投资和无风险投资。在有风险情形，投资者进行投资的目的在于分散和避免风险，获取更高的投资报酬。组合投资的收益和风险涉及投资的平均收益率、风险损失率、投资的费用率等因素。假如将平均收益率、风险损失率、投资的费率等指标看作确定的常量，原问题则是一确定性条件下的双目标规划问题。由于交易费用ui的存在使原问题的收益函数变为非线性的双目标规划。2、建模准备基本假设:（1） 平均收益率是指收益与投资的百分比；风险损失率是指投资的损失与投资的百分比；（2） 设仅考虑一个时期内的一次性投资；在投资期开始时投资，投资期结束时结算，不考虑“逢低吸纳，逢高出货”的投机行为；（3） 所给数据指标在一个投资期中是固定不变的；（4） 设各种资产相互独立，对某项目进行投资时，不会对其它资产的指标产生扰动；（5） 假设投资的环境是稳定的、封闭的，即不考虑其它外在经济因素对系统的影响；（6） 存款可看作是r0=5%，q0=0，p0=0，uo=0的一种投资。3模型设计设Mi为在项目S上投资的资金，M i满足=M。令zi为在Si的纯投资，ci(zi)为投资于Si时交付的交易费用，则Mi=zici(zi)，ci(zi)的表达式如下:ci(zi)=设Ri(zi)为投资Si的净收益，F（zi）为投资Si带来的风险损失值，则Fi(zi)=，Ri(zi)=-ci(zi)，总收益R=；总体风险F=。 投资决策即表现为在Si项目上投资的多少，可以用n+1维向量（M0，M1，.，Mn）来唯一表示。对于给定资金M，把资金分配到各个项目上，产生投资决策向量（M0，M1，.，Mn），以使得R(x)尽可能大，同时F(x)尽可能小。由以上分析可建立双目标规划模型: 模型讨论：此模型为双目标决策，若将资金全部存入银行则使风险达到最小，显然当且仅当存款带来的净收益最大时，双目标才同时达到最优。在一般状况下，存款的收益离小于投资其他有风险资产得到的平均收益率，因此双目标难以同时达最优。针对此模型可以通过以下方法，综合衡量收益与风险，将其转化为单目标规划问题。 （1）主要目标法。在现实中经常中是首先考虑风险，在一定风险条件下，制定决策，使得总收益最大。因资金和心理等各方面因素的差异，投资者对风险就有不同的承受程度。在现实中，有些人就敢于冒很大的风险，有些人却不敢冒任何的风险。投资者能承受多大的风险并不是一确定值，通常是在某个范围中波动，可以用一指标来度量投资者对风险的承受能力。设为投资者可承受最大风险（01）,则总体风险值F=，等价于,( )。可以将双目标规划模型简化为如下单目标规划模型:S.t 值的大小在此可以表征决策者对风险的趋避程度。=0是极端保险者的策略选择，他的唯一选择是去存款；=1是极端冒险者的策略选择，他只考虑收益而完全不计风险（2） 线性加权法。分别将净收益R赋权，总体风险F赋权1-，（这里）构造新的目标函数，可得模型: S.t 的值同样可以反映决策者对风险的趋避程度。在极端情形，=0表示投资者仅关注风险；=1则表示投资者仅追求利益。 （3）理想点法。在考虑两目标的组合投资时，投资者追求的是最大的收益和最小的风险。任给一个组合投资的决策，该决策对应一对收益R（x）和风险F（x），构造全体向量（R（x），F（x）组成的集合B。对于B中的每一点，均存在一个可行的投资方案与之对应。因为一种投资方案对应一固定的收益和风险，即（R（x），F（x）为n+1维投资决策向量（M0，M1，.，Mn）到二维平面的映射。这里不妨考虑理想情形：1、 不计风险仅追求最大收益的投资方案，将得到理想收益R0，2、 不计收益仅追求最小风险的投资方案，得到理想最小风险F0。 我们称（R0、F0）为理想点，其可能存在的投资方案称为理想投资方案。（在实际投资时，由于风险和收益是一对矛盾，上述的理想投资方案未必能实现。）为此我们可以用投资方案所对应的（R（x）、F（x）与（R0、F0）的欧氏距离d来评价任意投资方案的好坏。d越小，则所得解就越接近理想解，因而也可以将多目标规划转化成单目标规划。目标函数可表示为：Min d=，约束条件同.这里我们主要对主要目标法与线性加权法进行讨论。4大资金投资的线性规划模型的讨论与求解由于交易费ci(zi)的限定，使得模型成为一个非线性规划问题。在大资金投资时，投资在项目上的资金一般较大，不妨忽略ui的影响，即我们假设投资S i的交易费为ci(zi)=zipi。此时：Mi=zici(zi)=，总收益R=作简化，令：，（有），()，我们称和分别为项目的效益因子和风险因子，则大资金投资的线性规划模型为：Max = S.t 此时，模型中寻求最优投资决策向量（M0，M1，.，Mn）转变为模型中求解最优投资比例向量=（0，1，.，n）。对此线性规划模型可以用单纯形法求解，但是通过对问题解的实际意义的分析，可以得到最优解的充分必要条件。定理1：给定，在投资比例向量=（0，1，.，n）中，若：（1）存在ij,(2)0，(3),则（0，1，.，n）不是模型的最优解。证明：设=min,则。构造新的向量，其中，=,k；=+，则，并且有=0。故：一定不是模型的最优解。从定理1的证明可以看出，在满足约束条件的前提下，将资金从效益因子小的项目向效益因子小资金大的项目移动时，其效益将随着增加。对所有项目按效益因子大小重新排序，不妨设重排次序后各项目满足：；排序中，（若出现两项目的效益因子相等，则将风险因子大的投资项排在左边），重排序后，相应的问题中投资项的序号可能变化，但问题本质不变。结合定理1及以上说明，有：定理2：=（0，1，.，n），是模型最优解的充要条件是：存在，使得时，恒有：；当时，恒有：=0；。定理2证明略。 由定理2结论可以得到简明的投资方法：给定后，按从右到左的顺序优先投资于重排后效益因子大的项目，即（1）将资金优先投资于S，直至使；（2）若有资金剩余，优先投资于S，直至使，。记=，=0，=，()，有：=，记为给定时模型中目标函数最大值，则有：定理3（1）若：，（）则=，（这里）。（2）若，则；证明：（1）若：，（）,构造=,有()，（），又由于，得： 因此，由定理2，=是的最优解。（2）当时，（4）构造=，有=1，。由于，,且是规划（4）得最优解，最大收益为：，（）。推论：（1）定理3中，是的线性函数，的图形是一条连续不间断的折线。（2）折线各段从左到右斜率单调递减（不增）；（3）折线端点坐标为：时是（）=，k=0时为(0，)。证明：（1）定理3已证是的线性函数，故仅需证明各段相连。即仅需证明：=（）= = = = = =（2）仅需证明（）。= = = =（3）直接从的表达式求得。 证毕。5加权平均的规划问题 在大资金投资时，令，则模型可以简化为： =在上式中，令=，=，则=+ 定理4：模型的最优解在集合：中取到。证明：由规划可知，当时，收益最大值为，代入得： 因为式是的线性函数，它的极值一定可以在端点达到，即当时，达到极值；当时，达到极值，结论成立。进一步，令，由的单调递减（不增），得（1） 当时，由于，由定理4，最优策略。这时。（2） 当，时，因为，由定理5，得，模型的最优策略这里