6一阶隐方程.doc

第一章 绪论第二章 一阶微分方程的初等解法一般形式： 一、 可分离变量方程： 求解方法：1. 若，分离变量得，两边积分即可求解。2. 若使，则也是的解，它可能不包含在通解中，必须补上。例1. 求的通解，并求满足，的特解。例2. 求的通解，其中是的连续函数。二、 可化为变量分离方程的类型：1. 齐次方程：其中是的连续函数。求解方法：令，则， 代入方程得到变量分离方程，继续求解。例1（）例22. 形如：（其中，是常数）分三种情形讨论：1）的情形：此时方程为齐次方程：，可继续求解。2），即的情形：此时方程化为，若，则是变量分离方程，可继续求解。若，此时令，对求导则有：，代入方程化为：这是变量分离方程，可继续求解。3）若及，不全为零的情形：分子、分母是关于，的一次式，设交点为。令，则方程组化为，从而原方程化为：可继续求解。一般步骤如下：1 解联立代数方程求出；2 作变换将方程化为齐次方程；3 再作变换化为变量分离方程；4 求解变量分离方程，最后代回的变量即可。例：求解方程。以上解题方法和步骤也适用于下列更一般的方程：1）2） 3）4）5）6）作业：P42：1: 4) 5); 2: 1); 4; 6。三、 一阶线性微分方程：1. 若，称为齐次线性方程，即，其通解为。2. 若，称为非齐次线性方程。求解方法：常数变易法令，对求导后代入后可得，求出即可得非齐次方程的通解。例1. 解方程。例2. 解方程。四、 伯努利（Bernoulli）方程:其中，是的连续函数，（是常数）。求解方法：令，则，代入可得，这是线性方程，便可求解。此外，当时，方程还有解。例1：解方程。例2：作业：P48 1. 2) 4) 6) 8) 16)。五、 恰当方程（全微分方程）：其中，在某矩形域内是，的连续函数，且具有连续的一阶偏导。定义：若存在一个可微函数，使得它的全微分为则称是恰当方程或全微分方程。由此可知的通解为：。定理：设，在某矩形域内连续，且具有连续的一阶偏导，则 方程是恰当方程。例：下面是一些常用的二元函数的全微分：1）；2），；3）；4）；5）。例1. 解方程。例2. 解方程。 恰当方程可以通过积分求出其通解。因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就有很大意义。积分因子就是为了解决这一问题而引进的概念：定义：若存在连续可微函数，使是一个全微分方程，则称的一个积分因子。注：积分因子不是唯一的。例：。可以证明：只要解存在，则必有积分因子存在，且不唯一，通解形式也可能不同。下面介绍一个求积分因子的方法：对于，若它是恰当方程；若它不是恰当方程， 即，于是可通过解来求积分因子（但可能会比求还难。）但对一些特殊情形，求起来还是很方便的：若，则变为，分离变量得，所以存在只与有关的积分因子的充要条件是：仅为的函数，于是可求得的一个积分因子为。同理存在只与有关的积分因子的充要条件是：仅为的函数，于是。例1. 解方程。例2. 解方程（）。例3. 解方程。作业：P60：1. 4) 2. 1) 7)。六、 一阶隐方程：一） 二）三） 四）一）特点：可解出。解法：令，则， 两边对求导，并将代入得 这是关于和的一阶显方程，可按前五种方法求解。例1. 例2.二），其中具有连续偏导。特点：可解出。解法：令，则， 两边对求导，并将代入得 这是关于和的一阶显方程，可按前五种方法求解。例1. 三）特点：缺。解法：令，则， 设其参数形式为：， 由 两边积分可得， 于是通解为。例： 四）。特点：缺。解法：令，则， 设其参数形式为：， 由 两边积分可得， 于是通解为。例1： 例2：作业：P69： 1. 1） 3） 4）。本章小结:一阶微分方程的初等解法：1. ： 1） 2） 3） 4） 5）2. 3. 最后指出：有初等解法的