数学教学中的类比推理_黄波[1].pdf

衡阳师专 学 报 1 99 4 年 第 6 期 合 总 第 80 期 自然 科学 第1 2卷第2期 总第20期 数学教学中的类比推理 黄波 摘要l 针对数学教学中只注重 演绎论证的现状 用实例说明了类比推理是进行发现性数学思维的有效方 法 列举数学分析 复变 函数 矢量分析等教学中大 量可作类比的材料和 用类比推导定理 用类比寻找习题解法 两教学实例 阐述了类比推理能培养学生举一反三 触类旁通地 独立 分析问题和解决问题 是数学中进行再创造 的 主要方法 通过对微分 中值定理六种证法思维共性和异性的分析对比 指出了类比教学应因材施教 教师应能 广泛 而有效地运用类比推理于教学之 中 以培养学生创造性思维能力 关键词 数学教学 类比推理创造性思维能力 O 前言 通常的数学教 学 往往只注重 演绎 其实 进行数学思维也需要类比推理 德国天文学家刻 卜勒说 我珍视类 比胜于任何别的东西 它是 我最 可依赖的老师 它能 揭示 自 然界的秘密 数学中的许多 重大发现 是运 用类比推理取得初步认识后 再加以演 绎 论证的 例如 自然数倒数的平方 和 尸 一 6 一一 1一矿 1 典 艺 1 十 万歹十 j 就是瑞士数学家欧拉通过类比推理 发现的 欧拉研究了方程 Si nx o 或者 x 护 x s 下万 一 二一一一二一一一又 十 二一一 下 一一灭一一下一一一二 11 乙 d1 乙 d 4 勺 一止二一 1 9 只 7 一O 认为它 应有无穷 多个根 0 汀 一 厅 2 汀 一2 兀 3汀 一3 汀 他舍去 了零这个根 因为显 然成立 用 x 除方程的两边 得 1一 共 只一共一 乙 j乙 j 4 勺 一一一典一二 十 一O 其根为 二 一 二 2二 一2 二 3二 一3 二因而有 Sin x X 1 一 宜 2 3 x 杏 十 二一一一二 一一下一一一二 二一军一丁二十 一 1一 买 1一 共 1一 共 7 T 一 乙 一兀一 j 一 兀 比较两边尹系数得 2 3 l 一下 洲卜 7 r 一 l 二一万 十 4厅 尸一6 鑫 赤 1 22井2 1 一 矛 十 1 一 矛 这实 际 上是 由有 限 到无 限的类比 在 严格 的逻辑意义下 这样推 理是 否有 效还 有待论证 但 总算猜 到 了和是什么 特别是欧拉所采用的方 法竞是 后来被称作 无 穷分析 这 一新的数学 方法 由此看 来类比推理是进行发现性数学思维的有效方法 同时 数学教学 应该是一个再创造的过程 或者是一 个模拟原始的发 现思维过 程 著名数学教 收稿日期 19 94 年 2月28日 育家 G 波得 亚指出 数学家的创造性工作成果是论证推理 即证明 但是这个证明是 通过合情推 理 通过猜想才发现的 只要数学的学习过 程稍能反 映数学的发明过 程的话 那么就应 该让猜想 合 情推理占有相当的位置 类比是合情推理的一种 通 过类比可以提出猜想 运用类比推理是教学中 进行再创造的重要方法之一 因此教师应尽量揭示数学教学内容中的类比关系 努力培养学生运 用 类比推理的能力 1 数学教学中丰富的类比材料 仔细分析数学的结构 不难发 现其中存在着丰富的可作类比的 材料 在多 元微积分 中 n 维 空 间的邻域 两点间的距离 点列极限等概念以及连续性命题与可一 元微积分中的相应内容类比 多 元 函数的极限 连续 偏 导数 全微分 重积分等可与一元函数的极限 连续 导数 微分 积分类比 广义积分 含参变量的广义 积分与数项级数 函数项级数的求和类比 由曲面 积分的高斯公式到 曲 线积分的格林公式到定积分的莱布尼兹公式的类比等等 复变函数中的极限 连续 导 数 函数的解析性 复积分与数学分析中相应内容的类比 复数项 级数与实数项级数的类比等等 在矢量分析中矢性函数的极限 连续性 可导性 可积性与数学分析中数性函数相应性质类比 以及其它数学分支中都存在着广泛的纵向或横向的各种类比关系等等 2 类比推理教学实例 类比推理常用于 一个领域到 另一个 领域的过渡 当我们进入 一个 陌生的领域时 原有的知识框 架常常以潜在的形式指引我们去进行新的探索 在由低维到高维 由几何到代数 由分析到数论等 等的过 程中 我们总在探求着所熟悉的某些关系现在是否依然有效 如果完全类似 便是数学中的 同构 同态 同胚等 这 时我们没有新的发现 但已经扩大了原有知识的应 用范围 如果 同中有异 这 时便发现 了新的关系 便取得 了更佳的成果 在教学中 诱导学生进行 再发现 不 是重复劳动 而 是启发思维 比之单纯的注入 其效果不可同日而语 a 用类比推导定理 由已知的定理通过类比猜想新的定理的内容和证明 方法 能有效地揭示 定理的客观背景 分析来龙去脉 如通 过曲线积分的格林公式 可类比猜想出曲面积分中高斯公式 的内容和证明方法 见类比表 学生 反映 这样作类比 高斯公式的发现简直是一桩平常事 尽在自然之中 而 且可以融定理的 引进与证明于 一体 教学效果极佳 又女 由无 穷 积分 二 d二 与数项级数 艺 作类比 可得出无穷积分的全部敛散性理论 b 用 类比寻 找习题解 法 教会学生 由类比寻找习题解法 是培养学 生 独立 地分析 问题和解决 问题能力的有效方 法 面对 一道习题 命题 一是可仿照已知的较简单的类似问题求解 二 是可把 问题 类 比简化 后寻找解法 再对原问题作相似解法 特别地因为习题总是紧扣所学教材内容 因 此 可平行地 利用定理的类比关系推出 习题的类比解法 i 已知 习 11 已知 艺 的敛散 是由 im 是 否存在定义的 类比猜想出 一 二 d二 的敛散 碑 定义 的收敛柯西准 贝 及其证明 类比猜想 出 一 二 d二的收敛柯西 准贝 及其证明 i 由全 收敛充要条件与比较判另 法 及其证 明 类比猜想 出 一 二 d二 二 的收敛充要条件与比较判别法 及其证明 格林公式 1 平面域D由分段光滑曲线围成 类 比 二一之二 2 尸 Q在D上具有一阶连续偏导数一二 二二 一 3 L是D 取正向的整个边界 猜想 高斯公式 1 空 间域 由分片光滑曲面围成 2 尸 Q R 在 日上具有 一阶连续编导数 3 曲面积分取闭曲面名的外侧 了 J I J I J l 件条 结论 节 碧 蟹惹嘿黑最 七山 以之 夕 J 幼 一 二之之 一 云仑 建立曲面积分与 三重积分的关 系 爪L 二 Z Z x y l 图形 1 形式 L与D的边界交点恰为两点 L 与口的边界交点恰为两点 Z x y 护一 妙 邝 日 刀 D 2 推理 由 dxd夕 2 类推 盯翼 d 二 日山 为乙 n 井 R J 一 一R 二 一 dXd DJy J R Xd 一且 R X 一 X dXd 丫 井 RdX 一 J RoX 一 X x d 丫 J R Xd 一 艺 证法方明 一 芡 x 二 二 一 尸 1 了 二 d 二 手 L P d 了一 尸 士 一尸 X叭 二 d 证 明 方 法 邝日尸 f 日二 x oy一 甲I Ox 召叮 类妙推 邝诬劝 丈八 刀蓄 dxdy一 少 尸 d 3 结论 孕一 琴 d xd 一 石 尸d二 Q d 召叮 四 一 J 薯 瓢 一 妙 X d z 3 类比结论 盯 护 曲 祝 l l气 二一 t 二e e 十戈 一JQ刀 渭盯 刁 一 卦 pd 十Qd二d工 RdXd 例 求 2 一 I x z 二 习 z一 之上侧 啊与 飞一 二 Zd二一 扩 名 少 sin d夕 L 沿 夕 x 从点 一1 l 到 1 l 作类比 利用格林公式求I 须补 充曲线 y一1 x l 猜想 作图2 可以作出 一卜 L A IB 在联想之前有类比思维 由一事物到 它事物的有关性质 的联 想 由罗尔定理的条件 f a 一f b 广 妇一o 即A B的斜率为零 联 想到微分中值定理的条 能否 一 件f a 护f b 广 妇井 即 A B 的斜率不等于零 而A B 的方程为 f b 一f a g 气x少 一 J气a少十一一不甲一一下一一一又x 一 a少 U 因此我们只要找 到泞 任 a b 使广烤 g 夸 即 f x 一g x 二 一0 即可 到 此与罗尔定理的条 件比较知 州x 一f x 一g x 满足条件 所以 抓x 可作为证明微分中值定 理的辅 助函数 综上所述 可以说能否广 泛 而有效地运 用类比推理 是衡量一个人创造性思维能力的标志之 一 充分地运用类比推理 能克 服学 生对公式定理 死记硬背的不 良 习惯 培养学 生举一反 三 触类旁 通地独立分析和解决问题的能力 参考文献 沈时民 微积分解题分析 上册 江苏科技出版社 198 朝述 杨翰深 关于微分中值定理的教学 数学通报 1984 年 第 7期 岑泳霆 微分中值定理证明中辅助函数的引进 数学通报 1 984 年第8期 陆俊杰 关于微分中值定理教学的一点看法 数学通报 198 3 第8期 同济大学教研室编 高等数学 下册 第 2 版 高教出版社 1982 THER EA SON INGFROMANALOGY IN MATHEMAT IC T EACHIN G H uan gBo A BST R ACT In viewo f the e x isting situ ation thaton ly the d eduetive infe re ne e 15paid atte ntion to this thesisillu stratesw ith e x am ples that re asonin gfrom analogy 15 a neffieient w ayto p r a etigeer e ativ e m athematie thought enum e r ate sa lot o f ana lpg able m athematie m ateri垃15 s uehas m athematie a n alysis fu n etio no f ae o mple x viara ble ve etoranalysisa n d eite s two exam ples o f de du eing the o r ems by ana log y an d fin dingk eys tothe exe eies by analog y an d elaborates that re aso n ing fo rm a n a log y15 a keym etho d to re ereste inm athematies it e an m ake the stu d e ntso btai n the abil ityto an alysea n d sowe thepro blem s i n divid uallyan d theabilityto j u dg ethe wholefr o m o n e Pa rt T h roug h the analysisan d e o ntra sto f the sim il aritiesa n d deffe re ne es in thethoughto fd efferen tial m e an thethe sispoints o ut that stude ntsshou ldbe taughtin a e e ordane e with their aptitu d e a n d thete a ehers s