中科大史济怀数学分析课件 101-106.pdf

175 第 10 章 函数列与函数项级数 第 10 章 函数列与函数项级数 10 1 问题的提出 10 1 问题的提出 函数项级数 函数项级数 设 n ux是非空点集E上的函数列 称形式和 1 n n ux 为E上的函数项级数 若 0 xE 使得级数 0 1 n n ux 收敛 则称 0 x是该函 数项级数的收敛点 收敛点的全体称为收敛点集 当收敛点集D 时 自动地定义了D上的一个函数 1 n n S xuxxD 称为该函数项级数的和函数 注记 1 注记 1 函数项级数有两个含义 一是形式和 二是其收敛点集上的 和函数 注记2 注记2 对函数项级数和函数列只需研究其一即可 但是 研究函数项 级数更为方便和重要 三个基本问题 三个基本问题 1 若 a b上的连续函数项级数 1 n n ux 在 a b上处处收敛 其和函 数 S x是否也在 a b上连续 2 若 a b上的可积函数项级数 1 n n ux 在 a b上处处收敛 其和函 数 S x是否也在 a b上可积 当 S x在 a b上可积时 是否成立 1 bb n aa n S x dxux dx 逐项积分 3 若 a b上的可导函数项级数 1 n n ux 在 a b上处处收敛 其和函 数 S x是否也在 a b上可导 当 S x在 a b上可导时 是否成立 1 n n S xux 逐项求导 例 1例 1 令 1 1 nn n u xx uxxx 则 1 n n ux 是 0 1 上的可导函数项级 176 数 其和函数 0 01 1 1 x S x x 在 0 1 上不连续 这便否定了 1 并且 否定了 3 的前半部分 例 2例 2 令 1 0 1 0 1 n n xx ux x 则 1 n n ux 是 0 1 上的可积函数项级数 其和函数 1 1 01 0 1 x x S x x 在 0 1 上不可积 这便否定了 2 的前半 部分 例 3例 3 令 22222 22 1 1 2 22 1 xn xnx n u xxeuxn xenxe 则 1 n n ux 是 0 1 上的可积函数项级数 其和函数 0S x 但 22 1 11 1 bb nn n aa nn ux dxeeS x dx 这便否定了 2 的后半部分 例 4例 4 令 1 11 sin sinsin 1 1 n u xx uxnxnx nn 则 1 n n ux 是 0 1 上的可导函数项级数 其和函数 0S x 但 11 lim limcos n nk nn nk uxuxnx 仅在0 x 处收敛 这便否定了 3 的后半部分 练习题 10 1 练习题 10 1 392 P 1 1 3 5 7 2 177 10 2 一致收敛 10 2 一致收敛 定义10 2 定义10 2 设函数项级数 1 n n ux 在非空点集E上收敛于和函数 S x 若 0 N 使得 nN xE 都成立 n SxS x 则称 1 n n ux 在E上一致收敛于 S x 类似地 可以定义函数列的一致 收敛 几何意义如图所示 定义10 定义10 2 设函数项级数 1 n n ux 在非空点集E上收敛于和函数 S x 若 sup 0 nn x E SxS xn 则称 1 n n ux 在E上一致收敛于 S x 类似地 函数列的一致收敛也可 采用这里的定义 例 1例 1 1 1 n n x 在 0 1 收敛于 1 1x 但并不一致收敛 解 解 11 11 n n x Sxn xx 01 11 sup 11 n n x x xx 注记 10 注记 10 2 若函数项级数 1 n n ux 在E上一致收敛 则它必在DE 上一致收敛 若 1 n n ux 分别在有限个点集 12 N E EE 上一致收敛 则它必在 1 N k k EE 上一致收敛 定理 10 3 Cauchy 一致收敛原理 定理 10 3 Cauchy 一致收敛原理 函数项级数 1 n n ux 在非空点集E 上一致收敛当且仅当 0 N 使得 nN pxE 都成立 1 n p k k n ux 或 1 sup 0 n p nk px Ek n uxn 证 证 仅当 若 1 n n ux 在E上一致收敛于 S x 即 0 N 使得 nN pxE 都成立 22 nn p SxS xSxS x 178 则 1 n p kn pn k n uxSxSx 22 当 若 0 N 使得 nN pxE 都成立 2 n pn SxSx 则 固定的xE 存在有限极限lim n n SxS x 即 1 n n ux 在E上收 敛于 S x 于是 nN xE 成立 lim 2 nnn p p SxS xSxSx 推论10 推论10 3 一致收敛的必要条件 一致收敛的必要条件 若函数项级数 1 n n ux 在非空点 集E上一致收敛 则函数列 n ux在E上一致收敛于零 即0 N 使得 nN pxE 都成立 n ux 或 sup 0 nn x E uxn 例 2例 2 1 nx n ne 在 0 上不一致收敛 解 解 0sup nx n x nen 定理 10 4 一致收敛的 Weierstrass 比较判别法 定理 10 4 一致收敛的 Weierstrass 比较判别法 设 1 n n ux 是非空 点集E上的函数项级数 如果存在收敛的数项级数 1 n n a 使得 nxE 都成立不等式 nn uxa 则 1 n n ux 在E上一致收敛 证 证 因为 1 n n a 收敛 故 0 N 使得 nN p 都成立不等 式 1 n p k k n a 于是 nN pxE 都成立不等式 11 n pn p kk k nk n uxa 这说明 1 n n ux 在E上一致收敛 179 定理 10 5 一致收敛的 Dirichlet 判别法 定理 10 5 一致收敛的 Dirichlet 判别法 若 1 nn n ax b x 满足 1 n b x对每个xE 单调 并且在E上一致收敛于零 2 1 n nk k Sxax 在E上一致有界 则 1 nn n ax b x 在E上一致收敛 证 证 1 n p kk k n ax b x 1 11 1 n p n pn pnnkkk k n Sx bxSx bxSx bxb x 1 11 1 n p n pn pnnkkk k n Sx bxSx bxSx bxb x 取0M 满足 n SxMnxE 0 N 使得 4 n b xnN xE M 于是 nN pxE 成立 1 n p kk k n ax b x 1 1 1 44 n p kk k n MMMbxb x MM 1 2 n pn M bxbx 2 24 M M 定理 10 6 一致收敛的 Abel 判别法 定理 10 6 一致收敛的 Abel 判别法 若 1 nn n ax b x 满足 1 n b x对每个xE 单调 并且在E上一致有界 2 1 n n ax 在E上一致收敛 则 1 nn n ax b x 在E上一致收敛 证 证 11 n pp kkn kn k k nk ax b xax bx 1 1 111 ppk n jn pn jn kn k jkj axbxaxbxbx 1 1 111 ppk n jn pn jn kn k jkj axbxax bxbx 1 11 11 sup sup kk n jn pn jn pn kk jj axbxaxbxbx 180 取0M 满足 n b xMnxE 0 N 使得 1 1 sup 3 k n j k j axnN xE M 于是 nN pxE 成立 1 2 33 n p kk k n ax b xMM MM 例 3例 3 研究 11 cossin nn nxnx nn 01 在 0 2 和 2 0 上 的一致收敛性 解 解 因为 1 02 1 cos sup n p n px k n kx k 故 1 cos n nx n 在 0 2 上不一致收 敛 因为 2 4 1 02 11 sinsin sup n pn n n px k nk n kkx kk 2 1 122 sin 42 2 4 n k n n kn 故 1 sin n nx n 在 0 2 上不一致收敛 2 x 成立 11 2222 1111 cos sin sinsinsinsin nn kk xx kxkx 再 由一致收敛的 Dirichlet 判别法 便知 11 cossin nn nxnx nn 01 在 2 上一致收敛 练习题 10 2 练习题 10 2 404 P 1 2 2 1 5 6 7 3 4 6 9 问 题 10 2 问 题 10 2 405 P 1 3 4 181 10 3 极限函数与和函数的性质 10 3 极限函数与和函数的性质 定理 10 7 定理 10 7 若连续函数项级数 1 n n ux 在有限闭区间 a b上一致收 敛到和函数 S x 则 S x也是 a b上的连续函数 证 证 固定 0 xa b 0 N 使得 xa b 成立 3 N SxS x 又0 使得 0 xa bxx 成立 0 3 NN SxSx 于是 0 xa bxx 成立 0000 NNNN S xS xS xSxSxSxSxS x 000 333 NNNN S xSxSxSxSxS x 这说明 S x在 0 x处连续 例 1例 1 0 n n x 在 0 1 上的和函数 1 1x 连续 但 0 n n x 在 0 1 上并不一致 收敛 这说明定理 10 7 的逆定理不成立 定理 10 8 Dini 定理 定理 10 8 Dini 定理 若非负连续函数项级数 1 n n u x 在有限闭区间 a b上收敛到连续函数 S x 则 1 n n u x 在 a b上一致收敛到 S x 证 证 反证法 若 1 n n ux 在 a b上不一致收敛 则当n 时 正数列 max nn xa b S xSx 递减收敛于 0 0 n 取 n xa b 使得 0 nnnn S xSx 再取 n x的子列 k j x收敛于 0 xa b n 当 k jn 时 0 kkkkkk jnjjjjj S xSxS xSx 故 000 lim kk njnj k S xSxS xSx 这与 00 lim n n SxS x 相矛盾 定理 10 9 定理 10 9 若可积函数项级数 1 n n u x 在有限闭区间 a b上一致收敛 182 到和函数 S x 则 S x也在 a b上可积 并且函数项级数 1 x n a n u t dt 在 a b上一致收敛到 x a S t dt 证 证 0 N 使得 nN xa b 成立 n S xSx ba 即 nn SxS xSx baba 于是 bb nn aa Sx dxI SI SSx dx 0 2 I SI SI SI S 故 S x在 a b上可积 可积性定理 另外 nN xa b 有 1 n xxx kn aaa k u t dtS t dtS tS t dtxa ba 这说明 1 x n a n u t dt 在 a b上一致收敛到 x a S t dt 定理 10 10 定理 10 10 若有限闭区间 a b上的 1 C函数项级数 1 n n u x 满足 1 1 n n u x 在 a b上一致收敛 2 存在 0 xa b 使得 0 1 n n u x 收敛 则 1 n n u x 在 a b上一致收敛到一个 1 C函数 S x 并且 1 n n S xu x 证 证 0 0 11 x nnn x nn u xu t dtu x 显然在 a b上一致收敛到和函数 S x 定理 10 9 nn SxxSxS xxS x xx nn S xxSxxS xSx xx 11 1 kk k nk n uxxux x 11 11 xxxx kk xx k nk n u t dtu tdt xx 183 1 1 xx k x k n u t dt x 1 max 0 kn a t b k n u tn 于是 nnnn nn SxxSxSxxSxS xxS x xxx 0 0 11 liminflimsup nn knkn x x kk S xxS xS xxS x uxu x xx 令n 就得到 0 0 1 liminflimsup k x x k S xxS xS xxS x u x xx 定理10 7的推广 定理10 7的推广 414 P 问题10 3 第1题 问题10 3 第1题 设E 是非空点集 0 x是 E的极限点 若函数项级数 1 n n u x 在E上一致收敛到和函数 S x 并 且存在有限极限 0 lim nn xx u xan 则 1 1 n n a 收敛 2 0 1 lim n xx n S xa 证 证 1 0 N 使得 nN pxE 成立 1 2 n p k k n u x 令 0 xx 便有 1 2 n p k k n a 故 1 n n a 收敛 2 0 N 使得x E 成立 33 NN SxS xSS 又0 使得 0 0 xExx 成立 3 NN SxS 于是 0 0 x Ex x 成立 NNNN S xSS xSxSxSSS 333 NNNN S xSxSxSSS 这说明 0 1 lim n xx n S xa 练习题 10 3 练习题 10 3 413 P 1 2 4 5 问 题 10 3 问 题 10 3 414 P 6 184 10 4 幂级数的和函数 10 4 幂级数的和函数 幂级数 幂级数 称形如 0 0 n n n a x x 的函数项级数为幂级数 它是多项式的推 广 只需研究 0 n n n a x 即可 内闭一致收敛 内闭一致收敛 设 1 n n ux 是开区间 a b上的函数项级数 若对任意 有限闭区间 1 n n c da bux 都在 c d上一致收敛 则称 1 n n ux 在 a b上内闭一致收敛 定理 10 11 定理 10 12 和定理 10 13 Abel 第一定理 定理 10 11 定理 10 12 和定理 10 13 Abel 第一定理 对于幂级数 0 n n n a x 令 1 limsup n n n R a 则 1 当0R 时 该幂级数仅在0 x 处收敛 2 当R 时 该幂级数在 上绝对并且内闭一致收敛 3 当0R 时 该幂级数在 R R 上绝对并且内闭一致收敛 在 cR R 上处处发散 分别称R和 R R 为幂级数 0 n n n a x 的收敛半径和收敛开区间 证 证 1 设0 x 因为limsup n n n a 故存在 n a的子列 n k a满足 1 n n k k a x 或 1 n n k k a x 这说明 0 n n n a x 发散 于是 0 n n n a x 仅在0 x 处收敛 2 固定0r 因为limsup0 n n n a 故 N 使得nN 成立不等 式 1 2 n n a r 于是 nN xr r 成立不等式 11 22 nnn n n xra r 这 说明 0 n n n a x 在 r r 上绝对并且一致收敛 从而在 上绝对并且内闭 一致收敛 3 固定 r rR R 再取 r R 因为limsup 1 n n n a R 故 185 N 使得nN 成立不等式 1 n n a 于是 nN xr r 成立 不等式 1 nnnn n xr r a 这说明 0 n n n a x 在 r r 上绝对并且一致 收敛 从而在 R R 上绝对并且内闭一致收敛 若xR 则存在 n a 的子列 n k a满足 1 n n k k a x 或1 n n k k a x 这说明 0 n n n a x 发散 定理 10 14定理 10 14 幂级数在其收敛开区间上能逐项求导任意次 所得新幂 级数仍然具有相同的收敛开区间 证 证 设 0 n n n a x 的收敛开区间为 R R 则 1 limsup n n nR a limsup n n n na 11 limlimsup1 n n n n n na RR 故 1 n n n na x 的收敛开区间为 R R 从而 1 1 n n n na x 的收敛开区间也为 R R a bR R 由于 0n n n a x 在 a b上一致收敛 因此 1 01 n n nn n n na xSxa xxa b 定理 10 15定理 10 15 幂级数在其收敛开区间上能逐项积分任意次 所得新幂 级数仍然具有相同的收敛开区间 证 证 设 0 n n n a x 的收敛开区间为 R R 则 1 limsup n n nR a 1 limsup n n n a n 111 limlimsup1 1 nn n n n a nRR 故 0 1 n n n x a n 的收敛开区间为 R R 从而 1 0 1 n n n x a n 的收敛开区间也为 R R xR R 由于 0 n n n a t 在 0 x上一致收敛到 S t 因此 1 00 00 1 n nn xx n n n x a S t dta t dt n 下面的几个例子表明幂级数在其收敛开区间的端点处的敛散性 是很复杂的 例 1 例 1 幂级数 0 n n x 的收敛半径是1 在1 处发散 例 2 例 2 幂级数 2 1 n n x n 的收敛半径是1 在1 处收敛 例 3 例 3 幂级数 1 n n x n 的收敛半径是1 在1x 处发散 在1x 处收敛 186 例 4 例 4 求幂级数 0 n n P n x 的和函数 S x 其中 P y是m次多项式 解 解 limsup 1 n n P n 故该幂级数的收敛半径是1 将 P y改写成 01 1 1 1 m P yaa yaymymy 则 0 n n S xP n x 01 0 1 1 1 n m n aa nanm nmnx 01 1 111 m m m xx aaa xxx 定理 10 15 Abel 第二定理 定理 10 15 Abel 第二定理 设幂级数 0 n n n a x 的收敛半径是 0 R 若 0 n n n a x 在R处收敛 则它在每个 RR 上一致收敛 若 0 n n n a x 在 R 处收敛 则它在每个 R R 上一致收敛 作为推论 其和函数 S x 是收敛点集上的连续函数 证 证 设 0 n n n a R 收敛 由一致收敛的 Abel 判别法 00 nn nn nn n a xa R x R 在 0 R上一致收敛 从而在每个 RR 上一致收敛 例 5例 5 0 n x n x ex n 1 1 log 1 1 11 n n n x xx n 1 1 1 log2 n n n 21 0 arctan 1 11 21 n n n x xx n 0 1 421 n n n 证 证 仅证第 1 种情形 因为 1 limsup0 n nn 故 0 n n x n 的收敛半径是 x 有 1 1 1 n n x S xS x n 0 xxx S x eS x eS x e 0 xxx S xCeSee 练习题 10 4 练习题 10 4 424 P 1 1 2 3 4 3 187 10 5 函数的幂级数展开式 10 5 函数的幂级数展开式 函数的 Taylor 级数 函数的 Taylor 级数 若函数 f x在 0 x的邻域上具有任意阶导数 则称 0 0 0 n n n fx x x n 为 f x在 0 x处的 Taylor 级数 函数的幂级数展开式 函数的幂级数展开式 设 f x是开区间 00 xR xR 上的函数 称 f x能在 00 xR xR 上展开为幂级数 如果存在幂级数 0 0 n n n a x x 使得该幂级数的收敛半径R 并且其和函数 S x在 00 xR xR 上与 f x相等 此时 称 0 0 n n n a x x 为 f x在开区间 00 xR xR 上的幂级 数展开式 命题 1 命题 1 若 f x能在开区间 00 xR xR 上展开为幂级数 则 1 f x是 00 xR xR 上的C 函数 2 f x在 00 xR xR 上的幂级数展开式是唯一的 恰为它在 0 x处 的 Taylor 级数 证 证 1 由幂级数的和函数的性质 2 因为 00 0 n n n f xS xa x xxxR 故 00 1 1 kkn k n n k fxSxa n nnkx xxxR 令 0 xx 便有 00 kk k fxSxk a 即 0 k k fx ak k 注记 注记 1 C 函数的Taylor级数的收敛半径可能为零 问题10 5 第1 题 2 C 函数的 Taylor 级数的收敛半径虽然大于零 但其和函数 却未必是这个C 函数 这说明C 函数未必能展开为幂级数 定 理10 20 定 理10 20 设 f x是 开 区 间 00 xR xR 上 的C 函 数 若 n fxnN 在 00 xR xR 上 一 致 有 界 则 f x必 能 在 188 00 xR xR 上展开成在 0 x处的 Taylor 级数 证 证 00 xxR xR 利用带 Lagrange 余项的 Taylor 定理 就有 1 1 0 00 0 1 nm m nm n fxf f xxxx x nm 1 0 00 0 0 1 n m m n n fxM x xf xx xm nm 这说明 0 0 0 n n n fx x x n 在 00 xR xR 上收敛到 f x 例 1例 1 0 n x n x ex n 证 证 对任意0R xn e在 RR 上一致有界 故 x e在 RR 上能 展开成在0处的 Taylor 级数 0 n n x n 定理 10 20 例 2 Euler 公式 例 2 Euler 公式 如果记 0 n ix n ix ex n 则 1 2 0 cos 1 2 k k k x xx k 2 21 0 sin 1 21 k k k x xx k 3 cossin ix exixx 10 i e 证 证 cos n x和 sin n x都在 上一致有界 故cosx和sinx都 能在 上展开成在0处的 Taylor 级数 定理 10 20 另外 显然 有等式 221 000 1 1 2 21 nkk kk nkk ixxx ix nkk 例 3 二项式定理 例 3 二项式定理 设 n 记 1 1 n n C nn 则 0 1 1 nn n xC xx 证 证 不