课标北师大版理科数学11版例题详解全品高考复习方案.pdf

例题详解 例题详解 第一单元 集合与常用逻辑用语 第 讲 集合及其运算 例 解答 若 则 中有一部分的元素的象不属于集合 因此 它不表示 到 的函数关系 B B 时 曲面部分的高度 为 此时高脚杯的高度为 所以高脚杯的高度不应小于 例 解答 7 B 8 1 2 由此 可知 该学科是乙学科 例 变式题 解答 由题意得 0 0 整理 得 0 解得 所以 学习曲线 的关系式为 6 6 F 设从第 B B B B B B B H 9 A B H 9 A 例 解答 作直线 槡 交单位圆于 两点 连接 G G 则G 与G 围成的区域 如图 9 所示阴影部分 即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 7 B A B B A B B A B B B B B B 3 3 A 1 3 3 B 1 3 3 A 3 B 3 A 3 B 3 槡 1 槡 1 原式 A 0 3 3 B 0 3 3槡 槡 A 3 B 3 B 3 A 3 槡 B 3 A 3 例 解答 由条件 A B A H 9 A 知 是 第二象限角 则 是第一或第三象限角 原式 A A 槡 A A 槡 A A A 槡 B B 是第一象限角 B 是第三象限角 例 解答 方法一 联立方程 A B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B A 5 B H 9 A H 9 A 5 1 1 5 2 B A A B B A A B B A B H 9 A H 9 A H 9 A 1 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标n北师大版 数学n 理科n 全品高考网 www canpoint c n D 例o变式题 w 解答n由已知得L o ad Code o o o o adCode oodd 即o o aC oo d o a a aCoo L o aC o L o aCoo a a aC o o o aCoo o oo o o aC o d o oa a a o Co o oL o a o C oa a a o Coo oL o a o C a a a o Co L o a o C o o o a o Coo o o o a o Co o o o 第 o讲 三角函数的图像与性质 例 w 解答nd 要使函数有意义 必须使a a adL o a o oo 0L o a 0 oo L o a 0 方法一 利用余弦函数的简图d 如下图 得知定义域为 oe ooo de e ooo de d 方法二 利用单位圆中的余弦线d 依题意知o d 0 od 只能在 轴的正半轴上 o其定义域为 oe ooo de e ooo de d d o 要使函数有意义 必须使a a a o L o a o 方法一 利用图像 在同一坐标系中画出 o o e 上 a a a 和 L o a 的图像 如图所示 在 o o e 内 满足a a a L o a 的 为e o o e o 再结合正弦 余 弦函数的周期是o e 所以定义域为 e ooo de0 0o e ooo de d 方法二 利用三角函数线 如图所示 为正弦线 d 为余弦线 要使a a a L o a 即 d 则e o0 0o e od 在 o o e 内 o定义域为 e ooo de0 0o e ooo de d 方法三 a a a oL o a 槡 o a a a oe d o o 将 oe o视为一个整体 由正弦函数 a a a 的图像和性质 可知ode 0 oe o0e oo de 解得ode oe o0 0o e ooo de d 所以定义域为 od oe o0 0o e ooo de d 例 变式题 w 解答n 由函数 槡 o o L o a e oo d o 得 a a a 0槡 o o 利用单位圆或三角函数的图像 易得所求函数的 定义域是 ode oo e o0 0ode oe o d 当a a a L o a e oo d 槡 o o时 L a a o 当a a a L o a e oo d o 时 L o L槡槡 o o 所以函数的值域为 o 槡槡 o o 例 w 解答nd o oo a a a L o a oo L o a o oo L o a o ooo a a a o oo L o a o o L o a o d ooo a a a o oo L o a o a a a o ooo a a a o oa a a o o oa a a o d ooo 令d a a a o 则d o 由于函数 dd o ooo在 o 中的最大值为 L o L d o o ooo o 最小值为 L a ad o ooo o 故当a a a o o 时 取得最大值 o 当a a a o 时 取 得最小值o d o 令a a a o L o a 则a a a L o a o o o o o o o o o o 又 d o e 则 槡 o a a a oe d o do 槡o o 槡 o o o 例 w 解答nd o d a a a o 槡o o oo a a a o d o a a a o 槡o o L o a o o a a a oo e d o o d 的最小正周期d o e o o e 当a a a oo e d o o 时 d 取得最小值oo 当a a a oo e d o 时 d 取得最大值o d o 由d 知 d o a a a oo e d o 又dd oe d o odd o a a a o oe d o oe 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5o 例题详解 A B B B B B B B B B B B B B B 2 B 槡 2槡 槡 2 H 9 A A B 槡 2 12 槡 于是H 9 A H 9 A H 9 A 槡 1 槡 槡0 2 由 B A B 槡 槡 槡 由 得 B B B B A A 21 槡 2 1 槡 又 B 槡 即 A 槡 B 又 B A 槡 2 B 2 B 槡 槡 而 B B B B A A 1 2 槡 1 槡 2 例 解答 证明 B A H 9 A H 9 A B B H 9 A H 9 A B B H 9 A A B A 原等式成立 例 解析 槡H 9 A 2 3 B 3 A 3 H 9 A 2 3 B 3 A 2 3 B 3 B 2 3 槡 A 3 A 2 3 B 2 3 B 3 槡 B 3 B 3 A 3 B 3 A 3 B 3 B 3 槡 B 3 A 3 A 3 B 3 B 3 B 3 A 3 A 3 B 3 A 3 B 3 B 3 A 3 A 3 B 3 A 3 A 3 A 3 例 解答 B A B A B B 槡 B A B A B B A B A B B A B 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标 北师大版 数学 理科 B B 槡 B B 槡 B B B B B B B B B B B A B A B B 槡 B A B A B B A B A B B A B 右边 A B A B A B 左边 右边 A B A B B 槡 H 9 A A 第 讲 解三角形 例 解答 B 9 9 槡 槡 槡 1 槡 槡1 槡 3 又 B 9 9 槡 槡 槡 槡槡 1 1 槡 槡 3 3 0 3 3 3 3 3 3 例 解答 B 9 9 9 9 又 B 3 槡 A 3 A 3 3 A3 槡 B 3 A 3 槡 B 3 A 3 例 解答 方法一 已知等式可化为 A A A A B A B A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标 北师大版 数学 理科 B 3 槡 例 变式题 D 解析 由已知 知 为6 3的重心 根据向 量的加法 3 则 3 6 6 令 6 得6 或6 令 6 得 6 且6 函数7 6 的单调递增区间为 6 和 6 单调递减区间为 和 例 变式题 4 解析 由 G G G 3 知 G为 6 3的外心 B 73 3 3槡 即3 的最小值为 槡 例 变式题 解答 如图 9 所示 将正方体六个面展开 从图中 到 两点之间线段最短 而且依次经过棱 3 3 I I I I 上的中点 所求的最小值为槡 例 解答 如图 9 所示 取等边三角形三边的中点 3 连接 3 3 原三角形三条中位线 得6 3 以 中位线为折线折起三角形 使三角形三顶点重合 则得侧棱 长与底面边长都等于 的三棱锥0 3 如图 所示 作0 G 平面 3 则易证点G是6 3的重心 连接3 G 并延长交 于P 则P是 的中点 连接0 P 9 B 7 P 槡 例 变式题 解析 连接 I 因为 为棱 与 I的中点 所以 G I 所以7I I 为所求的角 设正 方 体 的 棱 长 为 在 直 角 三 角 形I I 中 易 得 B 7I I 槡 例 变式题 解答 假设 P与 共 面 则 平 面 P 交平面I 3 P 于P 由已知 I 3G 所以I 3 G平面 P 所以I 3GP 这与 为I 中点矛盾 所 以假设不成立 所以 P与 是异面直线 第 讲 空间中的平行关系 例 解答 证法一 在直四棱柱 3 I 3 I 中 取 的中点 连接 I 3 3 因为 3 I 且 G3 I 所以3 IH 3 I为平行四边形 所以3 G I 又因为P P 分别是棱 I 的中点 所以P P G I 所以3 GP P 又因为 3 平面 3 3 所以直线P P G平面 3 3 证法二 由已知 II G3 3 所以II G平面 3 3 又 G3 I 3 I 所以I 3H 所以四边形 3 I是平行四边形 所以 IG 3 所以 IG平面 3 3 又 I 如图所示 在长方体 3 I 3 I 中 连接 I 则 I G 3 因为P Q分别为 I 的中点 所以 I GP Q 从而P QG 3 又P Q 平面P Q 3 I平面P Q 所以 3 G平面P Q 例 解答 B 7 G 3 G G G G B 7 G 且 G 3 G G 7 G 7 G 3 所以 G Q 3 即G Q 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标o北师大版 数学o 理科o 全品高考网 www canpoint c n D 第o w讲 空间角与距离的求法 例n L 解答o作a eCo d于点e 如图所示 分别以a e a e a o所在直线为a e e轴建立坐标系 则有a e e 槡 d 槡 槡 o a a 槡 槡 aa 槡 槡 o e 槡 o d 槡 槡 设平面o o d的法向量为 a e e 则 o e o d 即 槡 e e 槡 a 槡 e e 取e 槡 解得 槡 B B 3 2 故o d 槡 2 由 B a e o d a e o d a e o d a e o a a e e d a e o d a e a e o d a e o d 槡 2 2 a e与o d所成角的余弦值为 槡 2 2 例w L 解答o 由正三棱柱a e o a e o 的性质知a a C平面a e o 又d d 平面a e o 所以d dCa a 而d dCa d a a a d a 所以d dC平面a o o a 又d d 平面a d d 故平面a d dC平面a o o a 如图所示 设o是a o的中点 以o为原点建立空间直 角坐标系 则相关各点的坐标分别是a a 槡2 d 槡 d 易知a d 槡 槡 2 d d 槡 a d 槡 设 a e e 是平面a d d的一个法向量 则 d d槡 e a d a槡 e槡 2e 解得a 槡 2 e e 故可取 槡2 于是 B a d ad a d 槡 2 槡 1 槡 0 由此即知 直线a d和平面a d d所成角的正弦值为 槡 0 例w变式题 L 解答o设正方体棱长为 以 da d o dd 为单位正交基底 建立如图所示坐标系d a e e 则各点的 坐 标 分 别 为d e d o 所以d e d o 因为d e 为平面d a o的法向量 B d e d o d e d o d e d o 1 1 1 槡 1 5 槡 槡0 2 0 2 例题详解 所以直线P 与平面I 3所成角的正弦值为 槡0 2 0 2 例 解答 证明 如图所示 可得 3 3槡 从 而 3 3 故 3 3 取 3中点G 连结I G 则I G 3 又面 I 3 面 3 面 I 3 B 2 3 槡 槡 二面角 3 I 的余弦值为槡 例 解答 如图所示 过I作I P 3 垂足为P 过 作 3 垂足为 B 3 2 I 槡 2 例 解答 依题设知 3是所作球面的直径 则 3 又因为 平面 3 I 则 3 I 又3 I I 所以3 I 平面 I 则3 I 又3 2 5 2 显然A与 2 5 9 NA 5 所以A 5 2 52 所以有5 5 F的把握认为 两个分厂生产的零件的质量有差 异 例 变式题 解答 通过计算L 的观测值知 L M 9 9 M 9 M 1 0 12 10 01 0 12 0 0 0 L 0 0 所以我们有5 5 5 F的把握认为穿新防护服比旧防护服对预 防这种皮炎有效果 第十单元 计数原理 第 讲 基本计数原理 例 解析 可以分四类选派方案 即从甲 乙 丙 丁 四个部门进行选派 从甲部门选派有0种不同的选派方法 从乙部门选派有 种不同的选派方法 从丙部门选派有 种不同的选派方法 从丁部门选派有 种不同的选派方 法 根据分类加法计数原理 共有不同的选派方法0 种 例 变式题 0 解析 要完成 取一本书 这件事 有三 类不同取法 第一类 从上层 本不同的数学书中取一本 有 种不同的 取法 B 时 在 区 间 上 只有 或 即 根据几何概型的计算方法 这个概 率值是 例 解析 如图所示 当所取点位于长方形内半圆以 外时 该点到G的距离大于 该部分的面积是 故所 求的概率为 正确选项为 例 解答 设构成三角形的事件为 长度为 的线段 被分成三段的长度分别为 则 即 由一个三角形两边之和大于第三边 有 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标 北师大版 数学 理科 全品高考网 www canpoint c n D o满足条件的点wCLoao 组成的图形是如图所示中的阴影 区域C 不包括区域的边界od e阴影 oo o o e6e d a o o o o d owCdo e 阴影 e6e d a od o可以构成三角形的概率为 od 例 变式题 解答 在平面直角坐标 系中o 以横轴和纵轴分别表示LoL的 值o 因为Lo L与图中正方形内的点一 一对应o 即正方形内的所有点构成全部 试验结果的区域d设事件d表示方程 L 槡 L L L o有实根o 则事件d CLo Lo L oL o o L o L D E F o 所对应的区域 为图中的阴影部分o 且阴影部分的面积为 oo 故由几何概型 公式得wCdo e 阴影 e正方形 oo 即关于L 的一元二次方程L 槡L L L o有实根的概率为 od 例 o 解析 满足条件的点在半径为 的 o 球内o 所 以所求概率为w oo o oo 选 od 例 变式题 解答 因 升 o o o毫升d记事件do o 取出 的 o毫升种子含有麦锈病种子o o 则wCdo o o o o od o o 即取 出 的 o毫 升 种 子 含 有 这 粒 麦 锈 病 种 子 的 概 率 是 od o o 记事件ao o 取出 o毫升种子含有这粒麦锈病种子o o 则 wCao o o o o o d o o 即取出 o毫升种子含有麦锈病种子的 概率是o d o d 第 讲 离散型随机变量及其分布列 例 解答 C oe的可能取值为oo o o oooe e表示取 出e个红球o C o eo 个白球o 其中e oo o o oo d C oe的可能取值为 o ooo oo d若以oeoeo 表示抛掷甲o 乙两颗骰子后甲为e点o 乙为e点d则e 表示C o o o e 表示C o o o C o o oe o表示C o o o C o o o C o o o oo e 表示Cooood 同理e的可能取值为 ooooo oo d其对应的随机试验结 果略d 例 变式题 解析 根据离散型随机变量的定 义o 可知 中的e可能取的值o 可以按一定的次序列 出o 而 中的e可以取某一区间内的一切值o 属连续型随机 变量d 例 解答 依题意易知o 掷两颗骰子出现的点数有 o种 等可能的情况o C o o o C o o o C o o o C ooo o C ooo o C ooo o C o o o oo Coooo o Coooo o 因而e的可能取值为 o o ooooo oo 详见下表 e的值 出现的点情况数 C o o C o o o C o o o C o o C o o o C o o o C o o o C o o o C o o o o Coooo o Coo o o Coo o o Coo o o C ooo o C ooo o C ooo o o Coooo o Coooo o Coo o o Coo o o Coo o o Coooo o C ooo o C ooo o C ooo o o Coooo o Coooo o Coooo o Coo o o Coo o o Coo o o Coooo o Coooo o C ooo o C ooo o C ooo 由古典概型可知e的概率分布如下表所示 e ooo w o o o o o o o o o 从而wC e oo wCe o wC e oo o o o o d 例 变式题 解答 从箱中取出两个球的情形有以下六 种o o 白o o o 白 黄o o o 白 黑o o o 黄o o o 黑 黄o o o 黑o o 当取到 白时o 结果输 元o 随机变量e o 当取到 白 黄时o 输 元o 随机变量e o 当取到 白 黑时o 随机变量e o 当取到 黄时oe oo 当取到 黑 黄时oe o 当取到 黑时oe oo 则e的可能取值为 o ooo o oo d wCe o o o o o owCe o o oo o o wCe oo o o o o owCe o o oo o o o o wCe o o oo o o o wCe oo o o o d 从而得到e的分布列如下o e o o w o o o o o 例 解答 C o 由题意可知 w e Co o w e Co o w e Co o w e Co o o wCe o o 即 o o 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 o 例题详解 K K K K 1 1 1 K0 2 K K K 1 1 1 例 变式题 是 解析 一方面 显然 7 另一方面 4 4 4 4 7 4 7 7 7 7 可为一随机变量的分 布列 例 解答 K的可能取值为 K 表示取出的 个球中有 个白球 个黑球 此时的概 率 K 4 4 4 0 0 K 表示取出的 个球中有 个白球 个黑球 此时的概 率 K 4 4 4 0 0 K 表示取出的 个球中有 个白球 个黑球 此时的概 率 K 4 4 4 0 其分布列为 K 0 0 这个分布列也可以表示为 K 7 4 7 4 7 4 0 7 例 变式题 解答 从袋中随机摸 个球的情况为 红 黑 红 黑 红 黑 红四种情况 分别得分为 分 分 2分 0分 故K的可能取值为 2 0 K 4 4 4 2 K 4 4 4 2 0 K 2 4 4 4 2 K 0 4 4 4 2 故所求分布列为 K 20 0 根据随机变量K的分布列 可以得到得分大于 分的概 率为 K K 2 K 0 第 讲 条件概率与事件的独立性 例 解答 记 甲市下雨 为事件 乙市下雨 为事 件 按题意有 F 0F F 乙市下雨时甲市也下雨的概率为 甲市下雨时乙市也下雨的概率为 例 变式题 解答 此人患色盲的概率为 1 1 0 设事件 表示 从 个男人和 个女人中任选一 人 此人患色盲 事件 表示 从 个男人和 个女 人中任选一人 此人是男人 则 0 故 例 解答 记 第 局甲获胜 为事件 第N局乙获胜 为事件 N N 设 再赛 局结束这次比赛 为事件 则 由于各局比赛结果相互独立 故 1 1 记 甲获得这次比赛胜利 为事件 因前两局中 甲 乙 各胜 局 故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛 中 甲先胜 局 从而 由于各局比赛结 果相互独立 故 1 1 1 1 1 0 例 变式题 解答 记 该选手能正确回答第 轮的问 题 的事件为 则 该选手进入第四轮才被淘汰的 概率 1 1 1 5 该选手至多进入第三轮考核的概率 1 1 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标n北师大版 数学n 理科n 全品高考网 www canpoint c n D 例o w 解答nL oa 设d表示资助总额为零这个事件e 则表明 两位专家同时打出了六个o 不支持d e 则 LdaoL a o o o oo o o a L oa 设 表示资助总额超过o o万元这个事件e L aoo o oL a o o o oo o oL a o o o oo o oL a o o o oo o o o 例o变式题 w 解答n设d 表示第 株甲种大树成活e o oeoa 设 表示第 株乙种大树成活e ooeoe 则doedoe oe o独立e 且 Ldoao Ldoaoo oe L oao L oaoo o L oa 至少有o株成活的概率为 oo Ldoddod od oa ooo Ldoa d Ldoa d L oa d L oa oooL a o o oL a o o o oo o o o o o L oa 由独立重复试验中事件发生的概率公式知e 两种大树各 成活o株的概率为 o o o ooo oo La o o do o ooo oo La o o oo o o oo o o oo o o o 第o o讲 离散型随机变量的数字特征与正态分布 例 w 解答nLoa 记d 所取出的非空子集满足性质 o 为事 件d 基本事件总数doo o ooo o ooo o ooo o ooo o ooo oe 事件d包含 的基本事件是oe oe aa oaoeoe aa oaoeoeoe aa oe 事件d包含的基本事件数dooe 所以 Ldaod d oo o o L oa 依题意e 的所有可能取值为oeoeoeoeoe 又 L ooaoo o o o oo o o o e L ooaoo o o o oo o o o o e L ooaoo o o o oo o o o o e L ooaoo o o o oo o o o e L ooaoo o o o oo o o o 故 的分布列为a ooooo o o o o o o o o o o o o o o o o o 从而 oooo o oooo o o o oooo o o o oooo o o ooo o o o oo o o o o 例 变式题 w 解答n oo o ooo ooo o ooo ooo o oo o o oo o ooo ooo o ooo ooo o oe oo o ooo ooo o ooo ooo o ooo ooo o ooo ooo o oo o o oo o oe oo ooLo o o oo o oa ooo ooL o o ooo o oa ooo ooL o o o oo o oa ooo ooL o o ooo o oa ooo ooL o o o oo o oa ooo oe oo ooLo o ooo o oa ooo ooL o o ooo o oa ooo ooL o o o oo o oa ooo o oL o o ooo o oa ooo o oL o o o oo o oa ooo o oe 由于 o o o oe 而 e 故甲厂的材料稳定性较好 例 w 解答nL oa 由题设可知 o和 o的分布列分别为 ooo o o oo o oooo o o oo oo o L oaoo oo ooo ooo o ooe L oaoLo ooa ooo ooL o o ooa ooo o ooa L oaoo oo ooo oo ooo ooo o ooe L oaoLoooa ooo ooL oooa ooo ooL o oooa oo o ooo oa L oa Ldao d o o o La oo o o o od o o o La o o d L a o o o o L oao o o ood La o o o o L oa o o o o o od oooL o o ooda dd o o o o o o oL od ooo o o doo oo o o oa e 当doo o o ooo oo o时e Ldaoo为最小值 例 变式题 w 解答n各投保人是否出险互相独立e 且出险 的概率都是 e 记投保的o o o o o人中出险的人数为 e 则 L o o oe a L oa 记d表示事件a 保险公司在一年度内为该险种至少支付 o o o o o元赔偿金e 则d发生当且仅当 oo时e Ldaoo o Lda ooo L ooa oooLo o a o o o e 又 Ldaoo oo o o o o o o e 故 oo o o o L oa 该险种总收入为o o o o o 元e 支出是赔偿金总额与成本 的和 支出 o o o o o oo o o o oe 盈利 oo o o o o oL o o o o o oo o o o oa e 盈利的期望为 oo o o o o oo o o o o oo o o o oe 由 L o o oe o o ooa 知e oo o o o o oo o ooe oo o o oo o o oo oo oo oo o o oo o ooo oooo ooooo oo oo o 8o o o oo o ooo o oo oo oo o 8 oo ooo o 8 o oL 元a 故每位投保人应交纳的最低保费为o o元 例o o o w 解析n根据正态密度函数图像的对称性e L 0 ao L a 且 L 0 ao L aooe 故 L 0 aoo o 例o变式题 o w 解析n由于正态密度函数的图像关于d o 对称e 我们就可以利用它在do 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 两边的概率相等来解 例题详解 决关于正态分布的问题 本题中 K0 K K0 0 关键就是用好正态曲线的对 称性 第十二单元 算法初步与复数 第 讲 算法与程序框图 例 解答 第一步 得 第二步 解 得 第三步 将 代入 得 例 变式题 解答 算法 第一步 任取两个小球分别放到天平的两个托盘中 如果天 平不平衡 则较高的托盘中的小球就是要找的小球 如果天 平是平衡的 则执行下一步 第二步 取出左边托盘的一个球 然后把剩下的2个小球依 次放到左边托盘中 直到天平不平衡 找出较轻的小球 第三步 结束 算法 第一步 把5个小球平均分成三组 每组 个 第二步 把其中的两组放到天平的两个托盘中 如果天平平 衡 则较轻的小球在剩下的一组里 如果天平不平衡 则较 轻的小球在托盘较高的一组里 第三步 在含有较轻小球的一组里取两个小球 放到天平的 两个托盘里 如果天平平衡 则剩下的小球就是要找的 如 果天平不平衡 则较高的托盘里面的小球就是要找的 第四步 结束 例 解答 算法设计如下 第一步 4 4 第二步 E 4 4 槡 第三步 0 4 0 4 0 4 4 E 第四步 0 0 0 0 B 0 0 0 槡 0 第五步 输出0和B 程序框图如下 例 解答 算法分析如下 第一步 输入 第二步 如果 那么使 否则 第三步 输出 程序框图如下 例 变式题 2 解析 由程序框图知 循环体被执行 后 的值依次为 2 2 故输出的结果是 2 例 解答 算法设计如下 第一步 4 第二步 J 4 计算年增量 第三步 J 计算年产量 第四步 如果 0 那么 重复执行第二步 如果 则执行第五步 第五步 5 第六步 输出 程序框图如下 方法一 方法二 例 变式题 D 解析 对于7 0 0 7 对于7 0 0 7 对于7 0 0 7 对于7 0 0 7 对于7 0 输出7 第 讲 基本算法语句 例 解答 第一步 输入点的坐标 输入直线方 程的系数和常数 3 第二步 计算1 3 第三步 计算1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标 北师大版 数学 理科 全品高考网 www canpoint c n 第四步C 计算own Lon L 槡a d 第五步C 输出od 程序框图如右图所示e 程序如下e 输入 aC aCdC CL Lowdn aw on awL Lawdaaw aa ownLoneL槡a 输出o a a a 例 解答 过点dCL分别作d on LCLLn LC 垂足 分别是oeLd ad L L是等腰梯形C 底角是a a aCd 槡wa aa ad a owd owLLwLLwaa aC 又 Lwaa aC adLwoLwaa aC 所以 w o a aC a n naC C a aaCa n naC C ao aC aaC awo aC a n naC n n n d 程序框图如图所示d 程序e 输入e we d a a nwaa a a nwaa a a a wa d an aa a a a a a a naa a a nwaa a a a wa n aa a a a a waa d anC aaCaawo a a a aa a a a aa a 输出 a a a 例 变式题 解答 算法步骤如下e 第一步C 输入通话时间Ld 第二步C 如果LnaC 那么 wa d a ad 否则判断L 是否成立C 若成立C 执行 wa d a a wa d o aC LaaC d 否则C 执行 wa d a awa d o aCeLaaewoCd 第三步C 输出通话费用 d 程序框图如图所示e 程序如下e 输入e 请输入通话时间e e d L a aLnwaa a a a wa d a a a a a a a a a aaCLCwLa a a a wa d a awa d o nCLaaC a a a a wa d a awa d o nea aaCLaaCwoe a a aa a a a aa a 输出e 通话费用为e e d a a a 例 解答 解法一e wa a a a a woa aa a a w w a n a a w a wa a a a a 输出 解法二e wa a wo a a w w a n a a w a wa a a a aa a a a a a na a a 输出 例 变式题 a 解析 由题知C 此程序为循环语句C 当a wa a时Ca a aa awa a a ana a a aC 输出结果为a wa aaowa a d 故选a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nd 例题详解 第 讲 算法案例 例 解答 算法步骤如下 判断 是否为素数 否 确定 的最小素因数 1 判断 是否为素数 否 确定 的最小素因数 1 判断 是否为素数 否 确定 的最小素因数 1 2 2 判断 2是否为素数 是 所以分解结束 分解结果是 1 1 1 2 例 变式题 解答 算法步骤如下 判断 2 是否为素数 否 确定 2 的最小素因数 2 1 0 判断 0 是否为素数 否 确定 0 的最小素因数 0 1 5 判断 5 是否为素数 否 确定 5 的最小素因数 5 1 2 判断 是否为素数 否 0 确定 的最小素因数 1 5 判断 是否为素数 是 所以分解结束 分解结果是 2 1 1 1 例 解答 算法步骤如下 将0 和 0分别进行素因数分解 0 1 12 0 1 1 确定它们的公共素因数 确定公共素因数的指数 公共素因数 的指数分别是 最大公因数为 1 例 变式题 解答 算法步骤如下 将 0 和 分别进行素因数分解 0 1 1 1 1 12 确定它们的公共素因数 确定公共素因数的指数 公共素因数 的指数分别 是 最大公因数为 1 1 0 例 解答 算法步骤如下 第一步 令 第二步 计算 第三步 计算 的值 若 则输出 结束算 法 若 则判断 的符号 第四步 如果 则令 否则令 第五步 判断 是否成立 若成立 则结束 算法 之间的任意取值均为满足条件的方程的近似 根 若不成立 继续执行第二步及后面的三 四 五步 例 变式题 解答 算法步骤如下 输入 如果 则使 并输出 算法终止 否则执行 第 步 当 时 使 输出 第 讲 复数的基本概念与运算 例 解答 当1为实数时 则 或 故当 时 1为实数 当1为虚数时 则有 且 且 当 6 6 时 1为 虚数 当1为纯虚数时 则有 2 且 且 不存在实数 使1为纯虚数 例 变式题 D 解析 由 2 例 解答 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 例 变式题 解析 2 2 例 解析 设1 则 槡 槡 1 例 变式题 解析 设1 则 即 由 解得 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标e北师大版 数学e 理科e 全品高考网 www canpoint c n D 所以oan do oa d C 例o d 解答e C oan o Co n C o表示的复数为n naa d o 即nnna d C a o Ca o Cn o oo n o C表示的复数为 n aa d n naan d anna d C n o Ca o Ca C Ca o Ca o oo n o n nCa an n nCa an n nCa a an nCa nCa aa nCn a n C a aCn C 例 证明e 两平行线与第三条 直线相交o 内错角相等o 7C o C与7o C o是平行线C ooC o 被C o所截内错角o 所以o7C o Ca7o Co 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 C 例题详解 等腰三角形两底角相等 63 I是等腰三角形 I I 3 所以 7I 3 73 I 等于同一个量的两个量相等 7 3 与7I 3 都等于73 I 所以 7 3 7I 3 所以3 平分7 3 I 同理 I平分73 例 变式题 9 解析 因 9 M O都为正数 故分子越 大或分母越小时 0的值越大 而在分子都增加 的前提下 分母越小时 0的值增长越多 9 M O 所以9 增大 个单位会使得0的值增加最多 例 解答 椭圆3的焦点在 轴上 由椭圆上的点 到 两点的距离之和是 得 即 又点 在椭圆上 因此 得 于是9 所以椭圆3的方程为 焦点 设 则 又槡 0 0槡 当 时 9 槡 类似的性质为 若 是双曲线 上关于原 点对称的两个点 点 是双曲线上任意一点 当直线 的斜率都存在 并记为7 7 时 那么7 与7 之积 是与点 位置无关的定值 证明 设点 的坐标为 则点 的坐标为 其中 又设点 的坐标为 由7 7 得7 7 将 代入得7 7 第 讲 分析法 综合法与反证法 例 解答 证明 1为正实数 槡 1 1 1 槡 1 1 1 槡 1 又 1不全相等 以上三式等号不能同时成立 以上三式左 右两边分别相加得 1 1 1 1 即 1 1 1 例 变式题 解答 证明 9 9 9 9 由 9为互不相等的非负实数知 以上三式等号不能 成立 三式两边分别相加得 9 9 9 又 9 槡9 9 9 9槡 9 槡 9 且由 9为互不相等的非负实数知以上三式等号不能 成立 三个不等式两边分别相加得 9 9 槡 9 槡 槡 槡9 9 槡 9 槡 槡 槡9 例 解答 令 得 030 3 下面给出证明 证明 先证明 0 因为 要证 0 只需证 0 即 这显然成立 0 再证 只需证 即 0 这显然成立 综上所述 存在常数3 使对任意正数 都有 0 0 成立 例 变式题 解答 证明 法一 要证 7 8 7 8 9 7 8 9 7 8 7 8 7 89成立 即证 7 8 9 9 7 8 9 成立 只需证 9 9 9成立 槡 9 槡 9 9 槡9 9 9 9 成立 又 9是不全相等的正数 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 全品高考复习方案新课标 北师大版 数学 理科 全品高考网 www canpoint c n D ownL 式等号不成立o o原不等式成立a 法二dCod ed o o o e 槡o e oo e 槡e oo o 槡 o o a 又Cod ed 是不全相等的正数o o o e de d o o e o o o o o e de d o wL o owo e La 即 o o o e o o e o o o o oo o oe o o a 例 解答 证明d w L 方法一d 任取e oe w o oL o 不妨设e e o 则e e oo o e e 且oe oo oo e o e o e w o e e L o a 又Ce oo e oo oe e e e w e L we L we L we L w e L we L Cwe e L w e L we L oo 于是ew e L ewe L o e o e e e e e o o 故函数ew eL 在w o oL 上为增函数a 方法二d eweL o e C e w o L o 求导数得 e w eL o e o oo C w e L o Co oo当e 时oo e o oo oo C w e L oo e w eL o在w o oL 上恒成立o 则ew eL 在w o oL 上为增函数a w L 方法一d 设存在eo oweo L 满足eweoL oo 则o eo eo eo o 且o o eo o oo e o eo o 即 eo o 与假设e o o矛盾o 故方程eweL o没有负根a 方法二d 设存在e o oweo L 满足eweoL oo 若 eo oo 则 eo eo o o eo o oeweoL 与eweoL o矛盾a 若eo o 则 eo eo o o eo oo oeweoL 与eweoL o矛盾o 故方程ew eL o没有负根a 例 解答 证明d w LCew L o e o o oCo e oo 又Co eooCo oo e oo oo ooe o a又 Co eo 由Co eo oCo Co e ea Co ooo C e o C oa w LCewoL oew L oo e o a 当 o时oCo oooewoL o且 ew L o o o o函数eweL 在区间woo L 内至少有一个零点a 当 o时oCo oooew L o o且 ew L o oo o函数eweL 在区间w o L 内至少有一个零点a 综合 得ew eL 在woo L 内至少有一个零点a w CLCe de 是函数eweL 的两个零点o 则e de 是方 程 o e e e o的两根o oe e e o o e e o C e o o o e e w e e L o e e 槡 e wL o o C e wL 槡o e o wL 槡 a C C e o C oo 槡o e e 槡o o o a 第 讲 数学归纳法 例 解答 C C C o Co o C C C C o C o o o C CC C oC C oC o dd w e L C e C C o e Co e a 将以上各式左右分别相加o 得w e L C C Cow C