直线与圆锥曲线的位置关系080625.doc

直线与圆锥曲线的位置关系080625一、考题选析：例1、(07四川) 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）A、3B、4C、D、例2、（07海南19）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由。例3、（06天津22）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆 过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点连结交小圆于点设直线是小圆的切线（1）证明：，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于，两点，证明。（）由题设条件知，RtOFARtOBF故，即故，在RtOFA中 直线OA的斜率.设直线BF的斜率为，则.直线BF与轴的交点为 ()由（），得直线BF得方程为且 设、，由得 由得 注意到，得 。例4、（05全国21）四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值（ ）例5、（05全国21）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线。（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。二、考题精练：（一）选择题：1、（06天津10）直线与曲线的公共点的个数为（ ）DA、1 B、2 C、3 D、42、（05山东）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）A、1 B、2 C、3 D、43、（04福建）已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、（二）填空题：4、（07重庆16）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为_；5、（06上海）若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 ；6、（06山东）已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是 ；7、（04重庆16）对任意实数，直线与椭圆：恰有一个公共点，则取值范围是_。ABCPQOxyl（三）解答题：8、（07江苏19）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点。（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）ABCPQOxyl解：（1）设直线的方程为，将该方程代入得令，则因为，解得，或（舍去）故（2）由题意知，直线的斜率为又的导数为，所以点处切线的斜率为，因此，为该抛物线的切线（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设若为该抛物线的切线，则，又直线的斜率为，所以，得，因，有故点的横坐标为，即点是线段的中点9、（07四川20）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或10、（07全国）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（）求四边形的面积的最小值。（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为11、（06浙江）如图，椭圆与过点的直线有且只有一个公共点，且椭圆的离心率.()求椭圆方程；()设分别为椭圆的左、右焦点，为线段的中点，求证：。解