高中数学知识填空练习.pdf

高中数学知识填空练习 浓缩知识 由厚变薄 数形结合 浅显易懂 填空形式 增强记忆 反复训练 提升成绩 适用于学生自学 家长检查 老师测验 I 目录目录 1 集合 填空 1 2 逻辑用语 填空 2 3 推理与证明 填空 3 4 函数 填空 6 5 二次函数 幂函数 指数对数函数 填空 9 6 三角函数 填空 15 7 立体几何 填空 20 8 直线与方程 填空 23 9 园与方程 填空 24 10 圆锥曲线与方程 填空 25 11 复数 填空 30 12 向量 填空 31 13 数列 填空 33 14 不等式 填空 36 15 算法初步 填空 39 16 概率与统计 填空 40 1 19179072841 集合集合 填空填空 1 常用数集 实数集 有理数集 整数集 非负整数集 自然数集 正整数集 2 元素与集合关系 aA是集合 的元素 aA不是集合 的元素 集合中元素 集合 A 中有 n 个元素 子集有 个 包括 A 真子集有 个 不包括 非空真子集有 个 不包括A 3 集合与集合关系 3 1 子集 AB 1 2 1 2 3 4 A B 1 2 3 4 1 2 3 4 A B A 例例 1 2 3 的子集 3 2 真子集 AB 1 2 1 2 3 4 A B A 非空集合 3 3 相等 AB 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 4 集合运算 交集 ABx xAxB I且 AB 并集 ABx xAxB U或 AB 补集 UA x xUxA 且C A U 结合律 ABC AC AC ABCB B II U I UUU I 分配律 ABC A ABAC ACBBCA II U U UIIU IU 2 19179072842 逻辑用语逻辑用语 填空填空 1 四种命题关系 若原命题为真 则 若逆命题为真 则 2 充分条件 必要条件 pq是 的充分但不必要条件 pq是 的必要但不充分条件 pq是的 充 要 条 件 3 命题的否定 p 或 q 的否定为 p 且 q 的否定为 4 原语句及其否定 原语句 是 都是 至少有一个 至多有一个 p x xA 使真 否定形式 3 19179072843 推理与证明推理与证明 填空填空 1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 1 1 合情推理合情推理 1 1 1 归纳推理归纳推理 由特殊到一般 例例 已知正数数列 n a 1 1a 22 1 1 nn aa 1 2 n 试归纳 其通项公式 解 当1n 时 1 1a 当2n 时 2 21 12aa 当3n 时 2 32 13aa 猜想 其通项公式 n an 正确性待证明 例例 记 1 1 23 S nn 2222 2 123 Snn 试归纳 2 S n的通项公式 n 1 2 3 4 2 S n 1 5 14 30 1 S n 1 3 6 10 2 1 S n S n 3 3 5 3 7 3 9 3 猜想 2 1 21 3 Sn S n n 12 21 1 21 36 nn nn SSnn 正确性待证明 1 1 2 类比推理类比推理 由此及彼 例例 由等差数列公式 类比等比数列公式 等差数列 等比数列 1 nn aadd 为常数 1 1 n aand nm aanm d mnpq mnpqaaaa 22 mnp mnpaaa mnpq 2 mnp 4 19179072841 2 演绎推理演绎推理 由一般到特殊 例例 求证 2222 1 21 123 6 n nn n nN 证明 记 123 jjjj j SnnjN 3 3332 3332 3332 33 11 2 11 13 13 11 3 21 23 23 21 4 31 33 33 31 1 1 nn 32 3231 3 3 SnnSnnS nSnnn 左右两边相加 32 32 2 1 323 3 2 3 6 1 2 6 1 nnnSn nnn n n n S n 2 证明证明 2 1 直接证明直接证明 2 1 1 综合法综合法 由因推果 条件 12n PQQQQ L结论 例例 求证 2 0 0 abab ab 证明 对于0 0ab 2 0ab 20abab 2abab 2 1 2 分析法分析法 执果索因 结论 21n QQQQP L条件 例例 证明 要证2 0 0 abab ab 只要证20aabb 只要证 2 0ab 因为 成立 所以2 0 0 abab ab 成立 对于0 0ab 2abab 20abab 2 0ab 5 19179072842 1 3 数学归纳法数学归纳法 奠基 推理 结论 步骤 1 证明当n取第一个值 00 n nN 时 命题成立 步骤 2 假设 0 nk kn kN 时命题成立 证明当1nk 时命题也成立 或 假设 0 nk kn kN 时命题成立 证明当1nk 时命题也成立 例例 求证 2222 1 21 123 6 n nn n nN 证明 1 当1n 时 2 11 1 1 1 2 1 1 6 1 结论成立 2 假设 1 nk kkN 时结论成立 即 2222 123 1 21 6 k kk k 222222 2 2 1 21 1 6 1 266 11111111111111111111111 6 1 276 11111111111111111111111 6 1 2 23 11111111111111111111111 6 1 1 111111111111111111111 123 1 1 1 k kk k kkkk kkk kk kk k kk 1 2 1 1 6 k 当 1nk 时 命题也成立 根据 可知 结论当nN 时都成立 2 2 间接证明 反证法 间接证明 反证法 反设 归谬 结论 例例 求证 正弦函数没有比 2 小的正周期 证明 假设T是正弦函数的周期 且02T 则对任意实数x都有iin s ns xTx 令0 x 得sin0T 即 TZkk 又02T 故T 从而对任意实数x都有nin sis xx 这与sin 2 sin 2 矛盾 所以 正弦函数没有比 小的正周期 6 19179072844 函数函数 填空填空 1 概念 函数三要素 和 x fg DDD a bx a bx a bx a bx 分段函数一般 定义 式 fg D fg V gf VD I 2 单调性 1 x 2 x 1 f x 2 f x 1 x 2 x 1 f x 2 f x f g x 1212 2121 21 21 0 0 0 xxf xf x xxf xf x f xf x xx f x 若 则 1212 2121 21 21 0 0 0 xxf xf x xxf xf x f xf x xx f x 若 则 3 奇偶性 定义域是关于 对称的区间 偶函数 fx 图象关于 对称 奇函数 fx 图象关于 对称 1 yx 2 yx fx 偶 fx 奇 fx 偶 fx 奇 xx x y 若奇函数 f x 在 x 处有定义 则 f xg xf g x 或 为 函数 f xg xf g x 都为 函数为 函数 4 函数零点 yf x 11 1111 111111111110 yf xyf x f x 函数有零点函数图象与有交点 方程有 x y 0 f af b cf c f xa b 在 上连续 23 1 2 3 0 xxx 0 0 1 x 12 mxx 2 x 12 xmx 12 xxm 2 b x a ccc 0 0 m 0 0 m 0 2 b x a m n 12 xxmn 1 x 2 x mn 12 xmxn 1 x 2 x mn 12 xmnx 1 x 2 x m n 12 mxxn 1 x 2 x m n 12 mxnx 1 x 2 x mn 12 mnxx 2 b x a 11 19179072842 幂函数 1 yx 1 2 yx yx 2 yx 3 yx 1 yx yx 3 yx 2 yx yx 1 2 1 123 2 1 123 2 1 01 1 11 xxxxxx xxxxxx fx fx 1x 增 大 区 域 12 19179072843 指数与对数函数 3 1 指数 3 1 1 正整数指数 n aa aa nN L 3 1 2 负整数指数 1 0 n aanN 3 1 3 正分数指数 0 1 m n aamnNn nn n a n 为奇数 为偶数 3 1 4 负分数指数 11 0 1 m n aamnNn 3 1 5 有理指数幂的运算 rs rs r a ar sQ ar sQ abrQ 3 2 对数 3 2 1 定义 01 0 b aNaN 00log log 1 aa a 3 2 2 对数恒等式 0 1 0 aN 3 2 3 运算法则 log log log log 11 m a a nn a a MN M N LM 3 2 4 换底公式 log 01 01 0 a NacN 1 log log 1 aa bb 个 13 19179072843 3 指数与对数函数图象 x y x y 3 1 x y 2 1 x y logyx logyx logyx logyx 10 x yaa log 10 a yxa 11 03 2 23 xxxx x 11 03 2 23 xxxx x 111122331123 332232 loglogloglog0 0 xxxxxxxx b y x yax 2 b ya x b a yax b y x 0 0 b yaxab x b a b y x 0 b ax x 2 0 b ya x 15 19179072846 三角函数 填空 三角函数 填空 1 弧度制 1 三角公式 1 1 同角公式 商数关系 tan 平方关系 1 1 2 诱导公式 kz 1 3 两角和差公式 sin cos m tan tan 4 sincos sin tanab b a 1 4 二倍角公式 sin2 cos2 11 tan2 1 5 降幂 升幂公式 2 cos 2 sin 2 1sin 2 1 2cos 2 2 1 2sin 2 O 157 30rad r r l r S O O 2 rad rad 16 19179072841 6 积化和差公式 1 sinco s 2 1 cossin 2 1 coscos 2 1 sinsin 2 1 7 和差化积公式 sinsin 正加正 正在前 22 22 sinsin 正减正 coscos 余加余 coscos 余减余 1 8 万能公式 2tan 2 sin 1 2 1 cos 1tan 2 tan 1 9 半角公式 1 s co 22 s in 1 c co 22 s os sin ta 1cos1 cos 1co n s1co2sins 17 19179072842 三角函数图象与变换 填空 2 1 三角函数图象 sinyx 2 2 3 2 max yxkz min yxkz kz 增区间 kz 减区间 0 kz 对称中心 xkz 对称轴 周期T 2 1 26 2 24 3 32 cosyx 2 2 3 2 max 1 yxkz min yxkz kz 增区间 kz 减区间 0 kz 对称中心 xkz 对称轴 周期T 1 6 2 2 42 3 32 2 tanyx 2 kz 增区间 0 kz 对称中心 周期T 6 4 3 2 3 2 18 19179072842 2 三角函数图象变换 sinyx 2 sin 2 4 yx sin 2 y sin yAx 6 7 12 5 6 3 0 sinyx 2 3 2 2 0 2k 2 2 k 2k 3 2 2 k 2 12 2A 2 T 2 T 22 3 k 22 12 k 5 22 6 k x 2 k 7 22 12 k y A 2 T 1 f T x sin 0 02 sin yAx x 12 0 2 2 2 19 19179072843 解三角形 3 1 三角关系 ABC 3 2 三角函数关系 sin cos t sin tan an C C AB cos AB ABC cos 2 sin 2 2 tan 2 sin 2 tan 2 C C AB AB cos ABC 3 3 正弦定理 abc 3 4 余弦定理 2 a cos A 3 5 三角形面积 11 22 111 222 4 1 2 Srr ab R pabc 是内切圆半径 3 6 已知一角 一邻边和对边 A b a 解三 角形 1 A 为锐角 sin sin b B a 2 A 为直角或钝角 sin sin bA B a sin sin bA B a 20 19179072847 立体几何立体几何 填空填空 1 直线与直线位置关系 aPb I ab ab与 异面 2 直线与平面位置关系 a aP I a a a a 3 平面与平面位置关系 l l I 21 19179072844 线性 线面 面面平行与垂直的判定和性质 22 19179072845 几何体 5 1 棱柱 1 ABCD ABCDOO 底面或 5 2 棱锥 ABCDPO 底面 5 3 棱台 11 11 OEE O OBB O 直角梯形 直角梯形 23 19179072848 直线与方程 填空 直线与方程 填空 1 直线方程 k d d d d d 1221 1221 111 O MO MO O rrrr uuuuruuuuu ruuuuu r1 21 121 2 2 111 O NN rrrr OOO uuuu ruuuuruuuuu r 25 191790728410 圆锥曲线与方程 填空 圆锥曲线与方程 填空 2 x a c 2 x a c 00 M xy 1 0Aa 2 0 A a 2 0 Bb 1 0 Bb 1 0Fc 2 0 F c 22 22 1 xy ab 10 axMFe 20 axMFe 2 N 1 N 2 01 M a Nx c 2 02 M a Nx c 12 2MFMFa 12 12 1 MFMFc MNMa e N a 00 22 1 x xy y ab 111 P x y 222 P xy 21 1 xx k 21 yyk k 1 2 1k 1 1 k 2 1 1 k 22 12 2 21 2 21 4 4 PP xx yy k 1 2 PP 0 2 y a c 2 y a c y y 00 M xy 下准线 上准线 1 0 Aa 2 0 Aa 1 0 B b 2 0 B b 1 0 Fc 2 0 Fc x 22 22 1 yx ab 10 ayMFe 20 ayMFe 1 N 2 N 2 01 M a Ny c 2 02 M a Ny c 12 2MFMFa 12 12 1 MFMF MNMN e c 00 22 1 x xy y ab 2 y a c 2 y a c 1 0 Aa 2 0 Aa 2 0 B b1 0Bb 1 0 Fc 2 0 Fc 00 M xy yx a b y b x a 22 22 1 yx ab 00 M xy 10 aeyMF 20 aeyMF 10 ayMFe 20 ayMFe 1 N 2 N 12 2MFMFa 12 12 1 MFMF e MNMN c 00 22 1 x xy y ab 27 19179072842 x p 0 2 F p 00 M xy 2 2ypx 0 2 F p 00 M xy 2 2ypx 2 x p 0 2 MF p x 0 2 MF p x N N 1 MF MN e 1 MF MN e 00 y yxxp 00 xpy yx 2 y p 2 0 F p 00 M xy 2 2xpy 2 0 F p 00 M x y 2 2xpy 2 y p 0 2 MF p y 0 2 MF p y N N 1 MF MN e 1 MF MN e 00 ypx xy 00 x xyyp 28 191790728422 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab b yx a b yx a 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab b k a k不存在 x t t为参数 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab xt ta x x xt ta 22 22 1 xy ab ykxm 0 b k a 0 b k a 0 b k a 0 b k a m 0 b k a m b k a 29 1917907284例题 1 椭圆与直线综合 如图 已知过椭圆 2 2 1 4 x y 上点 A 0 1 作两条互相垂直的直线 分别交椭圆于点 M N 求证 直线 MN 恒过 定点 3 0 5 P 0 1 A M N 2 2 1 4 x y o 3 0 5 P x y 证明 设直线 AM 的斜率为 k 则直线 AM 方 程为 y 与椭圆方程联列方程组 2 2 1 1 4 11 11 2 x y y 将 2 代入 1 得 031 AM xx 为 3 式的两个根 AM xx 0 MA xx Q 将 M x代入 2 式得 M y 即 M M x y 由于直线 AN 与 AM 相互垂直 斜率为 则直线 AN 方程为 y 与椭圆方程联 列方程组 2 2 1 4 4 1111 111 5 x y y 同理可得 N N x y 直线 PM 的斜率为 PM k 直线 PN 的斜率为 PN k 所以 点 3 0 5 P 恒在直线 MN 即 30 191790728411 复数复数 填空填空 1 概念 z 22 zabiab 41n ii 42 1 n i 43n ii 4 1 n i b a z b 2 zzz 22 ab 2 复数相等 abicdi 3 四则运算 12 zabi zcdi 设 12 zzabicdi 12 zzabicdi 1 2 z zabi cdi 1 2 za bia bi cdi zcdicdi cdi o 1 z 2 z 1 z 2 1 z z z 12 zz z 2 r 1 2 rrr 1 r 1 2 12 o 3 共轭复数性质 12 zz 1 2 z z 1 2 z z z 4 复数模的性质 1 2 z z 1 2 z z nn zz 22 22 zzzz 5 方程 z3 1 的根 o 1 2 3 2 3 2 1 2 1 0 31 191790728412 向量向量 填空填空 1 概念 1 1 向量表示 a r a x y r a r 222 aaxy rr 1 2 零向量 单位向量 平行 共线 相等 相反 a r bbaa rr rr a r ab r r a r ab r r e r 1e r o r 0o r 0 a r 2 线性运算 2 1 加法 r r r rr 交换律 a b 结合律 a b c a r b r AE uuu r 2 2 减法 a r b r 2 3 实数与向量的积 2 3 1 定义 00 0 0 11111 11111 0 0 a a aa aa a a r r r rr rr r r r 1 且时 与 与 2 或时 2 3 2 运算律 1111 1111 a a b a r r r r 结合律 分配律 2 3 3 共线 0 baR rr r 与共线唯一 使 2 4 平面向量基本定理 2 e r 1 e r 1 1 e r 2 2 e r 3 数量积 3 1 定义 ab r r 3 2 运算律 a b ab abc bca r r r r r r r r 交换律 结合律 11 分 1 配律 11 11 3 3 性质 2 cos 11111 eaae ab a ab ab aa ab rrrr r r rr r r b同向 反向 2 ab r r abab rr rr 32 19179072844 坐标运算 4 1 概念 a r i r j r a r 4 2 基本性质 22 AB uuu r AB uuu r 4 3 运算法则 1122 a x yb xy r r 设 ab a a b r r r r r 4 4 重要结论 1122 a x yb xy r r 设 12 12 0 1111111111 0 11111 0 cos ab aba xx ab yy r r r rr r r 11 a x y r 22 b xy r 5 其它 5 1 定比分点 12 12 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 xx OPOP yy x y xx x yy y uuruu r uuruuu r uu u u r r u 1 1 2 2 中点 PP OP 一般 PP PP PP OP 不存在 5 2 直线方程的向量参数形式 12 OPOPOP mR uuu ruuuruuur 5 3 三角形重心 AO BO CO uuur uuu r uuu r 123123 33 xxxyyy O 0 r 33 191790728413 数列数列 填空填空 1 数列 1 1 前 n 项和 12nn aaSa L 1 2 通项 an与 Sn关系 1 1 111 1 11 2 nn n S S n a nS 2 等差数列 2 1 定义 1 nn aa 2 2 通项 n a 2 3 等差中项 a b c 等差 2 4 前 n 项和 n S 2 5 充要条件 2 5 1 定义法 2 5 2 通项法 2 5 3 中项法 2 6 性质 2 6 1 项之差 项数差 公差 n a 2 6 2 项数和相等 2 mpp qqn aaaaa 11 22 mpp qp qqn aaaaaa pq 奇数 pq 偶数 mnpq 等差数列 nmnnm aaa nmnm aa 2 mn mnpaa mpn aaa 2 6 3 232 nnnnn SSSSS 等差 公差 112213 nnnnn aa aaaa n S 2nn SS 32nn SS 等差 等差 公差 1 a n a 3 等比数列 3 1 定义 1 n n a a 3 2 通项 n a 3 3 等比中项 a b c等比 3 4 前 n 项和 1 000 00000 000000 1 n q S q 3 5 充要条件 3 5 1 定义法 1 n n a a 3 5 2 通项法 n a 3 5 2 中项法 1 2 n a 3 6 性质 3 6 1 项之比 公比的 次方 n n m a a a 3 6 2 项数和相等 项之积也相等 2 mpp qqn aaaaa 11 22 mpp qp qqn aaaaaa pq 奇数 pq 偶数 mn mnpqa a 等比数列 nmnnm aaa n mn m aa 2 mn mnpa a mpn aaa 3 6 3 232 nnnnn S SS SS 等比 公比 112213 nnnnn aa aaaa n S 2nn SS 32nn SS 等比 等比 公比 1 a n a 34 19179072844 求通项公式 4 1 观察法求通项 例例 数列 1 3 7 13 21 第 1 项 1 0X1 1 第 2 项 3 1X2 1 第 3 项 7 2X3 1 第 4 项 13 3X4 1 第 n 项 1 1 n ann 4 2 递推关系求通项 4 2 1 叠加型 例例 1nn aan 21 32 43 1 1 2 3 1 nn aa aa aa a f f f f na 1 1 2 3 1 n aaffff n L 4 2 2 叠乘型 例例 1 2n n n a a 324 1231 1 2 3 1 n n aaaa a a aa ffff n LL 1 1 2 3 1 n a f a fff n L 4 2 3 一阶线性型 例例 1 31 nn aa 1 1 3 n nn nn b bb tbb 设 取 1 n aa 4 2 4 分式线性型 例例 1 4 23 n n n a a a 转化为 一阶线性型 1 2311 4 n nnn a aaa 35 19179072845 数列求和方法 5 1 分组求和 例 2 2 n nn 数列 前 n 项求和 1 2 n L 222 1 2 n L 3332 1 2 n L 5 2 错位相减 例例 对 21 2 n n 数列前 n 项求和 n S 解 121 1 23 2 23 2 21 2 21 23 2 23 2 21 2 1 2 2 2 2 1 2 22 2 nn n n n Snn Snn S L L L L 例例 已知 n a 等差 公差d n b 等比 公 比q 对 nn a b 前 n 项求和 n S 例例 对 21 41 3 n n 前 n 项求和 n S 5 3 倒序相加 例例 n数列前 n 项求和 123 2 n n n Sn S S 5 4 裂项相消 1 1 n n 11 1 2 2n nn 11 21 21 2nn 1 1nn 6 奇偶项求和 121212 nnnn a aa aaa 12122 22 nn nn SaaSaa 奇偶 S SS S 偶 偶奇 奇 12112221 nnnnn a aaa aaa SS 奇偶 S SS S 偶 奇偶 奇 121212 nnnn a aa aaa 12112221 nnnnn a aaa aaa 12111 1 1 22 nnmmn mn m n n m n m aaa aaaaa aaSSaa S nmmn SS S nmmn 1 1211 m nnnn m n mnm aa a aaa aa SSS 1 1211 m nnnn m n mn aa a aaa aa SSd 12 1 1 1 1 S SaSa S 偶 奇偶 奇 1 132 1 1 1 1 Sa SaaSa S 奇 奇偶 偶 36 191790728414 不等式 填空 不等式 填空 1 基本性质 1 1 反身性 ab 1 2 传递性 ab bc 1 3 可加性 ab ab cd 1 4 可乘性 0 0 0 0 ab c ab c abcd 1 5 乘方法则 0 abnN 1 6 开方法则 0 2abnN 1 7 倒数法则 0ab 0ab 当且仅当时取等号 2 0 22 a b 当且仅当时取等号 3 分式不等式 0 0 f x g x 或 0 0 0 f x g x 或 4 绝对值不等式 g xf xf xg xg x 5 恒成立不等式 min max f xa f f xa fxaax 情形 0A 情形 0Ax ByC 0Ax ByC 0Ax ByC 0Ax ByC 左方 右方 上方 下方 2 0 yaxbxc a 2 yaxbxc 2 yaxbxc 222 r x a y b 222 r x a y b 222 r x a y b 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 2 2ypx 2 2ypx 2 2ypx 38 19179072847 二元一次方程组与线性规划 0 0 0 10 30 330 xy xy xy 40 16 概率与统计概率与统计 填空填空 1 随机事件 实验次数越来越大时 向 靠近 2 古典概型 例例 袋中有 3 个红球 2 个白球 任