第3章多维随机向量及其概率分布习题解答.pdf

第三章 多维随机向量及其概率分布 一 基本题 一 基本题 1 盒中装有 3 个黑球 2 个红球 2 个白球 现从中任取 4 个球 用 X 表示取到的黑 球的个数 用 Y 表示取到的白球的个数 试求 X 和 Y 的联合分布律 2 甲 乙两人独立地各进行两次射击 假设甲的命中率为 0 2 乙的命中率为 0 5 以 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数 试求 X 和 Y 的联合分布律 3 假设随机变量 Y 服从参数为的指数分布 随机变量 2 1 1 0 k kY kY Xk1 求 X1和X 的联合分布律 2 4 设二维随机变量 X Y 的分布律为 e mnm pp mYnXp mnmn 1 10 0 p m 0 1 n n 0 1 2 求边缘分布律 5 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 0 10 104xy 其他 若yx yx yx 求 X 和 Y 的联合分布函数 F 6 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 0 0 02 2 其它 yxe yxf yx 1 求 X Y 的分布函数 2 求概率 P Y X 7 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 0 0 其它 yxe yxf y 1 求随机变量 X 的密度 2 求概率 P X Y 1 xfX 8 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 0 10 2 8 4 其它 xyxy yxf 1 求边缘概率密度 2 求 X 和 Y 至少有一个小于的概率 2 1 9 设平面区域 D 由曲线及直线所围成 二维随机变量 X Y 在区域 D 上服从均匀分布 试求 X Y 关于 X 的边缘概率密度在 x 2 处的值 2 1 0exxy xy 1 10 在整数 0 至 9 中先后按下列两种情况任取两数 X 和 Y 1 第一个数抽取后放回 再抽第二个数 2 第一个数抽取后不放回就抽第二个数 试分别就这两种情况求在 的条件下 X 的条件分布律 90 kkY 11 已知二维随机变量 的联合概率密度为 0 1 1 2 1 2 其它 xy x x yx yxf 1 2 0 0 10 1 24 其它 xyxxy yxf 3 求条件概率密度 0 0 0 1 2 1 其它 yx yx nn yxf n 12 已知二维随机变量 X Y 的联合概率密度为 求在 X 1 的条件下 Y 的条件概率密度 13 一电子仪器由两个部件构成 以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命 单位 kh 已知 X 和 Y 的联合分布函数为 0 0 0 1 5 05 05 0 其它 yxeee yxF yxyx 1 问 X 和 Y 是否独立 2 求两个部件的寿命都超过 0 1kh 的概率 14 设随机变量 X 和 Y 相互独立 下表列出了二维随机变量 X Y 的联合分布律及关 于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值 试将其余数值填入表中的空白处 1 y 2 y 3 y 1i PxXP 1 x 1 8 2 x 1 8 jPyXP j 1 6 1 15 已知随机变量X1和X2的分布律为 X1 25 0 5 025 0 101 5 05 0 10 2 X 而且P X1X2 0 1 1 求X1和Y2的联合分布 2 问X1和X2是否独立 为什么 16 设随机变量 X 与 Y 相互独立 X 在 0 1 上服从均匀分布 Y 的概率密度为 0 0 0 2 1 2 y ye yf y Y 1 求 X 与 Y 的联合概率密度 2 设含有 的二次方程为 02 2 YXaa试求 有实根的概率 17 设随机变量 X 与 Y 相互独立 其概率密度分别为 其中 0 0 0 x xe xf x X 0 0 0 y ye yf y Y 引入随机变量是常数 0 0 YX YX Z 0 1 1 求条件概率密度 yxf YX 2 求 Z 的分布律和分布函数 18 设相互独立的两个随机变量 X Y 具有同一分布律 且 X 的分布律为 X 0 1 p 1 2 1 2 X Y 试求随机变量的分布律 YXZ max 4 01 6 00 ii XPXP19 假设随机变量X X 12 X X 相互独立 且同分布 34 43 21 XX XX X 4 3 2 1 i 求行列式 的分布律 20 设随机变量 X 与 Y 相互独立 它们分别为二项分布 证明变量 Z X Y 服从二项分布 21 PnBPnB和 21 PnnB 21 随机变量 X 与 Y 相互独立 X 服从正态分布 N Y 服从 2 上的均 匀分布 求 Z X Y 的概率密度 22 设n个随机变量X X 12 X 相互独立且均服从区间 0 n 上的均匀分布 试求 M max X X 和N min X X 的概率密度 1n1n 10 20 yxyx23 设二维随机变量 X Y 在矩形 G 上服从均匀分布 试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f S 二 解答 二 解答 1 解 设 X 和 Y 的可能取值分别为 2 1 0 3 2 1 0 jiji则与 因盒子里有 3 种球 在这 3 种球中任取 4 个 其中黑球和红球的个数之和必不超过 4 另一方面 因白球只有 2 个 任取的 4 个球中 黑球和红球个数之和最小为 2 个 故有 ji与 且 4 7 4 223 CCCCjYiXp jiji 42 ji 因而 或 jij i 于是 0 0 0 2112 yYxXPp 0 0 0 1111 yYxXPP 35 1 0 0 4 7 2 2 1 2 0 33113 CCCCyYxXPp 同法可求得联合分布律中其他的pij 得下表 0 1 2 3 0 0 0 3 35 2 35 1 0 6 35 12 35 2 35 2 1 35 6 35 3 35 0 2 解 X 和 Y 都服从二项分布 参数相应为 2 0 2 和 2 0 5 因此 X 和 Y 的概率分 布分别为 04 032 064 0 210 X 25 05 025 0 210 Y 由独立性知 X 和 Y 的联合分布为 0 1 2 3 X 0 0 0 4 7 2 2 0 2 2 3 CCCC 4 7 1 2 0 2 3 3 CCCC Y 1 0 4 7 2 2 1 2 1 3 CCCC 4 7 1 2 1 2 2 3 CCCC 4 7 0 2 1 2 3 3 CCCC 0 2 4 7 2 2 2 2 0 3 CCCC 4 7 1 2 2 2 1 3 CCCC 4 7 0 2 2 2 2 3 CCCC X Y 即 0 1 2 X 0 0 16 0 08 0 01 Y 1 0 32 0 16 0 02 2 0 16 0 08 0 01 3 解 Y 的分布函数为显知有四个可能值 0 0 0 1 yyFyeyF y 21 XX 112 10 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 21 eYPYYPXXP易知 212 10 1 02 11 0 21 2121 eeYPYYPXXPYYPXXP 212 10 1 21 21 eeYPYYPXXP 22 11 1 2 21 eYPYYPXXP 于是 可将X1和X 联合概率分布列表如下 2 0 1 XPP 1 0 1 1 e 21 ee X2 1 0 2 e n m mnPnXP 0 4 解 n m mnmn e mnm pp 0 1 2 1 0 1 1 0 n n e pp n e pp mnm n n e n n n mnm n m n 即 X 是服从参数为 的泊松分布 mn mnmn mn mmmnmn mn p m ep e mnm pp mYP 1 1 2 1 0 1 m m ep ee m ep pm p m 即 Y 是服从参数为 p 的泊 松分布 P xy dxdyyxyYxX yx 5 解 由定义 F yx yx 是分段函数 要正确计算出 F 必须对积分区域进行适当分块 等 5 个部分 因为 10 1 10 1 1 1 10 10 00 xyyxyxyxyx或 xyx 1 对于 有 F P X Y y 0 00 yx 2 1 xYxXPyxF 4 对于 有 10 1 xy 5 对于 有 1 1 yx1 yxF 故 X 和 Y 的联合分布函数 yxyxFyx或 xy ts dsdtze 00 2 2 00 2 00 2ytxs y t x s eedtedse yxF 1 1 2yx ee 即 0 0 0 1 1 2 其它 yxee yxF yx 注意积分时对求 yxf1 yx正确确定二重积分的积分区域 解 1 时 0 0 xfxedyexf X X xy X 时0 x 即 0 0 0 x xe xf x X 2 11 1 2 1 0 1 21 1 eedyedxdxdyyxfYXP yx x x y 2 8 解 1 i 时 时 计算根据公式 dyyxfxf X 0 x当10 0 xxfX当 24 224 2 2 8 4 2 0 2 0 xxxydyxyxf x x X 0 1 xfx X 时当 即 0 10 2 4 2 2 其它 xxx xfX ii 利用公式计算 当 dxyxfyfY 0 0 yfy Y 时 10时当 y 2 2 2 1 28 4 2 y yy 1 1 2 2 2 8 4 2 8 4 y y Y x xydxxyyf 43 4 2 2 2 2 3 8 4 2 2 yyy y yy 当时 1 y 0 yfY 即 0 10 43 4 2 2 其它 yyyy yfY 8 5 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 dxdydxdxdyyxfYXPYXP 9 解 本题先求出关于 的边缘概率密度 再求出其在2 xx之值 由于平面区 域 D 的面积为 2 X f 0 2 1 其它 Dyx yxf 2 1 2 1 dx x S e D 故 X Y 的联合概率密度为 0 1 2 1 2 其它 ex x dyyxfxfX 4 1 22 1 2 X f 易知 X 的概率密度为 故 10 解 1 有放回抽取 当第一次抽取到第个数字时 第二次可抽取到该数字仍有 十种可能机会 即为 k 9 1 0 10 1 ikYiXP 90 kk 2 不放回抽取 i 当第一次抽取第个数时 则第二次抽到此 第个 数是不可能的 故 k 9 1 0 0 kikikYiXP ii 当第一次抽取第个数时 而第二次抽到其他数字 非k 的机会为 知 90 kk9 1 9 1 0 9 1 kikikYiXP 11 解 1 因 1 2 1 12 1 24 y yyydxxyf 0 10其它 yfy n 0 1 1 1 2 2 其它 xyyx yxf 故在 0 y 1 时 因 x yxydyxxf 0 22 1 12124 0 10其它 xfx 0 0 2 2 其它 xyxy xyf 故在 0 x 1 时 1 1 2 1 2 1 2 x x nx dy yx Xf x x 0 其它 xf 2 因 0 1 12 1 其它 xy xnxy xyf 故在 1 x 时 0 0 2 1 2 1 10 2 1 2 1 22 1 2 其它 y y dx yx ydx yx yf y y 0 11 2 其它 x yyxxyf 10 y因 故在时 0 2 其它 xy x y xyf 1时 0 其它 xye xyf yx 3 在 x 0 0 0 0 xxfxedyexf x xy 0 0 yyedxeyf y yy 故在 y 0 时 0 0 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 1 1 0 其它 故解 yyn yfx x n dy yx nn xf nn XY nn X 13 解 X 和 Y 是否独立 可用分布函数或概率密度函数验证 方法一 X 的分布函数的分布函数分别为 YxFX和 yFY 00 01 5 0 x xe xFxF x X eeeFFYPXPYXP YX 方法二 以的概率密度 可知 YXYXxfxfyxf YX 和分别表示和 0 0 025 0 5 02 其它 yxe yx yxF yxf yx 00 05 0 5 0 x xe dyyxfxf x X 1 01 0 1 0 5 0 25 0 1 0 1 0 edxdyeYXPaYXyfxfyxf yx YX 独立和知由于 14 解 因知 X 与 Y 相互独立 即有 jiji yYPxxPyYxXP 24 1 8 1 6 1 11 yYxXP 3 2 1 2 1 ji 首先 根据边缘分布的定义知 又根据独立 4 1 i xXP 6 1 24 1 1111i xXpyYpxXpyYxXp 性有 解得 从而有 12 1 8 1 24 1 4 1 31 yYxXP 又由 可得 2121 yYPxXPyYxXP 2 1 2 yYP 8 3 8 1 2 1 22 yYxXP 4 1 8 1 2 yYP 即有 从而 4 1 12 1 3 yYP 3 1 3 yYP 有 3131 yYPxXPyYxXP 类似地 由得 4 1 12 1 3 1 31 yYxXP 8 1 8 3 4 1 4 3 最后 将上述数值填入表中有 从而 2 xXP 1 y 2 y 3 y 1i PxXP 1 x 1 24 1 8 1 12 1 4 X Y 2 x1 8 3 8 1 4 3 4 jPyXP j 1 6 1 2 1 3 1 15 解 本题的关键是由题设P X X 12 0 1 可推出P X X12 0 0 再利用边缘分布 的定义即可列出概率分布表 1 由P X X 0 1 可见 易见 0 1 1 1 1 2121 XXPXXP 12 25 0 1 0 1 121 XPXXP5 0 1 1 0 221 XPXXP 25 0 1 0 1 121 XPXXP0 0 0 21 XXP 于是 得X 和X 的联合分布 12 1 0 1 X1 X2 0 0 25 0 0 25 0 5 1 0 0 5 0 0 5 0 25 0 5 0 25 1 2 可见 P X 0 X 0 0 而P X 121 0 P X2 0 0 于是 X 和 X4 1 12不独立 0 0 0 2 1 2 y ye yf y Y 16 解 1 0 0 0 其他 yxe yfxfyxf uyx YX 2 根据 Z 的定义 有 P z 1 P Y X 0 x yx xy dydxedydxyxf 0 dxdyee x yx 0 udxee xx 110 ZPZP所以 Z 的分布律为 Z 0 1 p Z 的分布函数为 n