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西科大研究生数值计算方法期末试题和答案研究生数值计算方法期末试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 ，则该数是（ ）A 0.001523 B 0.15230C 0.01523 D 1.523002 设方阵A可逆，且其n个特征值满足：，则的主特征值是（ ）A B C 或 D 或3 设有迭代公式。若|B| 1，则该迭代公式（ ）A 必收敛 B 必发散C 可能收敛也可能发散4 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）A 解函数 B 近似解函数C 解函数值 D 近似解函数值5 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ）A 追赶法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D 高斯塞德尔迭代法二 填空题（每小题4分，共20分）1 设有方程组 ，则可构造高斯塞德尔迭代公式为2 设，则 3 设，则相应的显尤拉公式为 4 设,。若要使与在0，1上正交，则= 5 设，若有平面旋转阵P，使P的第3个分量为0，则P = 三 计算题（每小题10分，共50分）1 求的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？2 设,若在-1，0上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。3 设有方程组 ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。4 试确定常数A，B，C及，使求积公式为高斯求积公式。5设有向量，试构造初等反射阵H，使。 四 证明题（每小题10分，共20分）1设有迭代公式 ，试证明该公式在邻近是2阶收敛的，并求 。2.设是n 维列向量，Q为n阶正交矩阵，且Q，试证 。一、 单项选择题（每小题2分，共10分）1-5 CBCDB二、 填空题（每小题4分，共20分）1、 （k=0,1,2） 2、43、 （n=0,1,2） 4、5、P(1,3)=三、 计算题（每小题10分，共50分）1、 解：设近似值应取n位有效数字 （2分）利用相对误差与有效数字的关系得： （9分）解得n=3 （10分）2、 解：由法方程的一般形式: （4分） 令， （6分）得到具体法方程为： （10分）3、 解：雅可比迭代的迭代矩阵为 （3分）= （7分） 可求得谱半径，利用收敛的充分必要条件，雅可比迭代解此方程组收敛。 (10分)4、 解：令分别代入，令两边相等联立方程组 （3分） 可解得： A=C=5/9, B=8/9, （6分）由求解过程，可知此求积公式至少有四次代数精度。 然后由于带入也相等，因此有5次代数精度，由定义是高斯求积公式。 （10分）5、解：和为两个不相等的向量，且2-范数相等，则令向量， （5分）初等反射阵 (8分) （10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、 证明：迭代函数为 （4分） ，由收敛阶定理，为2阶收敛。 （8分）极限式= (10分)2、 证明：矩阵范数
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