结构关心截面内力_位移混合调整计算的影响矩阵法.pdf

第9卷第 1 期 1992 年2月 计算结构力学及其应用 COMPUTA TIONA L ST RU CT U R A LMECHA N ICSAN DA PPLICAT10N S V ol 9N o 1 Febru a ry19 92 结构关心截面内力 位移混合调整计算的影响矩阵法 肖汝诚郭文复 上海城市建设学院 2 0 00 9 2 摘要 在大跨径桥梁等结构的设计和施工控 制中 经常要通过调整某些截面的位移或内力 来使另一些关心 截面的内力或位移达到指定值 计算被调截面的位移或内力问题较复杂 本文提出这种计算的影响矩阵法 并 就考虑结构几何非线性时的计算问题 提出探讨性 建议 关键词 影响矩阵 调值计算 非线性 1 引言 在大跨径桥梁等结构 的设计和 施工中 经常遇 到 对关心截面内力 位移作调整计算的问 题 在施工过 程中 结构 上荷载是逐步施 加的 其 间结构变形较大 并伴有徐变 边界约束增减 体系转换等过程 前期结构的内力和位移 直接影响后期结构乃至竣工后桥梁等结构的力 学性 能 在对施 工实行控制时 可以根据以前各施工阶段的信息 来预报下一阶段的结构特性参数 从而 确定本阶段控制变量 的调整 如果 后一施 工阶段某些截面的特性参数预报值超出 了设计 允许误 差范围 就必 须对本 施工 阶段结构参数进行调整 使它们达 到指定值 这些截面称为关 心截面 工程中通过 调整 另外一些截面的特性参数来达到这一 目的 这些截面称为被调截面 在 设计 阶段 对截面参数的调 整计算以斜拉桥结构最为典型 由于斜拉桥中索力可以在一 定范 围内调整 因此 有条件使结构 恒载或恒活载内力组合得到合理 的分布 这就是斜拉桥理想 张拉力 的确定问题 竣工后 的结构物 也会遇到调 整计算问题 如连续梁桥可以通过支座位移改变来实现对关 心截面 内力 位 移的调 整 拱桥可通过拱脚位移顶推来调整拱圈 内力等 一般来说 要使各关 心截面中 刀 个 独立参量作指定值的调整 就必 须改变被调截面中的 刀 个独立参量 以上讨论可 归结 为三个 问题 1 确 定了 泥 个关心截面的独立参量 如何求出 刀 个被调变量 2 在施工中 对 被调 变量是逐一调整的 在逐次调整被调变量时 怎样才能在最终使 儿 个被调变量值达到所求 得的值 3 施 工阶段几何非线性间题较突出 在计算时如何考虑几何非线性的影响 本文引入影响矩阵概念 介绍强迫变形 影响矩阵的形 成 并就以上三个问题展开讨论 给 出求解被调变量的 一般方法 本文于 1990 年 10 月4日收到 199 1 年 8 月 2 4日收到修改稿 计算结构力 学及其应用 9 卷 2 求被调向量的影响矩阵法 要 使关心截 面 中 左 个 被调 量达到指定值 首 先必须计算出同时调 整 尺 个被调变 量 时各被 调变量的值 为方便讨论 首先作如下 定义 调值向量 结构中关心截面的 刀 个指 定调整值的独立元素所组 成的列向量 记 为 D下一 d d 己 d 丁 1 式中 d 一1 2 可以是关 心截面 的指定 内力或位移调整值 被调向量 结构中指定 可以被用来调 整以改变关心截面 内力 位移 的 刀 个 独 长知量所 组成 的列向量 记 为 一 肠孙 x x 2 式 中 一l 2 为被调截面的 内力或位 移 问题 归结为已知调值向量求被调向量 为解决这个问题 再作下列定义 影响向量 被调向量中第 J 个元素 x 发 生单 位变化 引起 调值 向量 D 的变化 向量 记 为 A 内 氏 氏 3 影 响矩 阵 刀 个 被调 向量分别 发生单位变 化 引起 的 刀 个 影 响向量依次排列所 形成 的矩 阵 记为 卫 几刀扭 门 且 q 刀a a a q乙 勺t 且乃 乙仪口 仁习 一 扭 川 协 二州A 一 2 匕 a 1 4 如果认为 在 调整阶段结构物满足线性 叠加原理 根据定义 各被 调向量 必须 满足下列方 l 人 广 l 十十十 a12x 十 十 处Z x 十 aZ x 一 d Z a 21 十 a x a x 一 d l 5 a n d 或 A 习 一 D 式中 A 为影响矩阵 劣 为被调 向量 丈 D 为调值 向量 在实际工程中 被调 向量元素往往是指 定杆件截面上的轴力 弯 矩 剪力等 计算内力元素的影响向量 要先将杆件从结构中 断开 在 断 开 处施 加一对大 小相等 方 向相反 的定 向单 位力 显 然 这样 做破坏 r原有的结构 形式 即使用有限元 方法每汁算一个影响 向量 就要形成 一 次结构 刚度矩阵 为了减少形 成影啊矩阵的计算量 可先 将内力元素的影响 向量用相 应位置和方 向上杆件的单位强迫变形 影 啊向量来代替 举例来说 要使 图 1结构在 外 力作 用 一下 A 处弯矩调为 又6 一一一 O 确定被 调值拉 杆 B 的拉力 工 叮以首先计算出 p 作用下结构物 A 处的 弯矩M 月 杆件 刀 的拉 力 丫 以一M 作为凋值向量 再计算杆件召轴向发生单位强迫变形 在 A 处 引起的弯矩值 影 响矩阵 杆件 召 的轴力 Nl j o 从而可算出要 引起 一肛 所需产生的强迫变形量 这个变形 量乘 以 一 便为该变形量 在杆件 B 中引起的 轴力 一丫 最终 B杆轴力入一工 十工刀 这种 计算不 1 期 肖汝诚 等 结构 关心截面内力 位移混合调整计篡的影竺 白全巨阵迭 改变结构 图式 一般结构相应于强迫变形 的影响矩阵 可通过如下 步骤来形成 l 形成调整阶段结构 总刚 并作 L D厂 分解 2 令第 个被调元 对应的 强迫变位为 1 形 成相应 的结构荷载 列阵 3 回代求相 应的节点位移 4 z 从 1 到 循环 计算对应于调值元素d 的影 响 向量元素 如果 d 是位移 就从求解得到 的位移向量中取出该调值点对 应方向的位移 作为影响向量 的第 个元素 a ij 如果 d 是内力 就 从位移向量中取出调值单元的节点位移 计算出杆件相应 调值截面对应方向的内力 作为影响 向量的第 个 元素 a 如 果调值点又是被调点本身 还要对 作修正 即扣除单位强迫变位引 起本单元 的 内力变化 5 重复步 2 4 形成 儿 个影 响向量 从而 形成影响矩阵 A 影响矩 阵 A 一般为 刀 只 泥 阶的非对称阵 求解时双精度高斯消元 法较为理 想 用 习代 入方程 6 求解的结果 x 是含 强迫变形 的被调向量资 己 将 x 作为广义荷载一次作用于 结构 可以计算结构 的 内力 和位移 从而可将含强 迫变形 的被调向量 x 吐 转变为 含有位移和 内力元素的被调向量 这种转换 也可以在形成影 响矩阵 A 的同时 记录各被调元发生单位强迫变形对 自身的 影响向量 形成另一影响矩阵 川 易证明被调l a l量 可由下式求得 x B x 7 如果计算不需 给 出施 加被调量后整 个结构的内力和位移 这种计算是最 省时的 最终求得 的被调向量 是为 了使关心截面的调值向量达到指定值 所需 同时调整 的 个被调元素的值 斜拉桥结构索张拉 力确 定中最 简单而普遍的问题 是假设期望其梁 塔关心截面的内力 位移为 引 恒载 可计入徐变 收缩等影 响 引起梁和塔关心截面对应的内力 位移向量为 F 己 F 要确定此时的斜拉索力 也就是求下 列方程 的被调向量 问题 仁 A x E 一 F 一 F D 8 式中 x 为被调向量 此时指斜拉索索力 向量 D 一 E 一 F 一 F 为调值向量 当调值向量与被调向量维数相 同时 式 8 可唯一确 定索力向量 否则 可引出另 一有 趣的 问题 即对式 8 加 约束条件 给出期望的目标函数 便可用优化法求指定目标的最优斜拉 索力 这个问题在施 工与设计中具有实际意 义 限于篇幅 在 此不作论述 j 3 被调元 逐一调 整计算及其程序 实现 尽管用前面的方法已可 确定被调 向量 但在 实际施 工中 不 可 能对被调 元素作 一次性调 整 一般是对被 调元作逐一调 整 为此 必须 计算逐一调整 时各被调变 量的值 根据式 7 只要 在逐一调整 时 最终被 调量 达到 就能满足调整 要求 因此 逐一调整 时的调值增量向量 为 x B x己 9 式中仁氏 为 B 矩 阵对角元素组成的对角阵 B 阵由式 7 定 义 因此 计算 x 时无论用何种方法 形成 影响矩 阵 习的同时都必须记录被调元 发生单位 强迫变形 时引起自身的相 应内力或位移 以便计算 时先形成 双 阵 整个线性问题的调 整计算 可用 图 2 给出的框图来实现 一般的结构综合程序 只要 植入图 2 给出的 程序模块 便可实现结构物关心截面 内力 位 计算结构力学及其应用 9 卷 移值的调整计算 对式 8 的 问题 可先作恒 活载计算 自动确定屹 F F 和 D 向量 4 考虑几何非线性的调值计算 对关心截面 内力 位移作定值调 整 是在某一 时刻完成的 因此可以忽略硅徐变对本次调值计 算的影响 但是 对施工阶段作内力 位移调整时 结构的几何非线性问题较为突出 比如斜拉桥在 施 工阶段索力较小 其垂度的影响 主梁 索塔的 尸一 效应 都是几何非线性问题 在工 程 中 几何 非线性效应使线性调索达不 到预期结果 在计算 中 几何非线性破坏 了线性迭 加关系 使影响矩 阵 法 的使用受到限制 本节就此问题提 出考虑几何 非线性的影 响矩阵调值计算方法 4 1 几何非线性实用计算方法 作为实用计算 本文建议在建立刚度 阵时作 如 下几何非线性修正 索类单元因垂度引起的非线性效 应 用 E rn s t 公式 来修正 即采用表观弹性模量及 的形 式来 取代 E E 石 石A 1 了言不五又q月 1 1 10 式 中 E 为索类单元材料原始弹性模量 H为索 类单元的水平投影 长度 q 为索类单元每延 米重 量 A 为索类单元 的截面积 T 为索两端的 张拉 力 此时 索类单元局部坐标系下的单元刚度阵 为 无 一 瞥 兰 1 一 式中 L 为索单元的弦长 考虑梁 柱效应的梁杆单元刚度阵 用稳定函 数川来修正 定定义结构位移列阵扫材 调值 值 向向l 翻N 被调向I X 刀 影影响矩 阵 月 月 N 逐 次 调筱 筱 影影响矩 阵C N N 相应的被调 调 向向量州N川 4结构自由度度 总总数 N 被调量总傲 形形 成结构刚度矩阵 并作 乙D L T分解 解 令令第J个被 调元为1 其余被调 元为 形形成 荷软列阵 回代求得 月材 从从尸中取 出对应值之之之 由尸求得第 I个 调值 单元 元 方方向位移 值 之月 I J 指定方向的内力户 沁 j 从从P中取 出对应被调 元元元由p求出第l个被调单几指 指 方方向的位移全 c I 山山山定 方向的 内力全 f 力力 高高斯消元求解 川 x 二旧 以以 X 为广义荷载 与恒载共 共 同同形成荷载列阵 求解解 调调 整后各点的内力和位移 移 图 2 在 非线性计算时 大位移引起 的非线性影响 可使用拖动坐标来考虑 4 2 计人几何非线性的调值计算方法 计入结 构恒载作用几何刚度修正的切线 刚度阵 用以按 2 中步骤计算 便能得到 一个 被 调向量 这个被调向量只计入 了恒载 的几何非线性影 响 忽略了被调荷载施 加于结构上 引起 的几何非线性效应 即认为在调 整时仍满足线性迭加原理 因此 当结构对被调 向量作调 整后 关心截面的调值向量不 能达到预期的值 也就不能作为被调向量 为了计算实际的 被调向量 按如下步骤进行 1 期 肖汝诚等 结构关心截面内力 生鱼鳌i 赵遍噢遨皇丝塑鱼继睑 a 形成考虑 目前 内力水平几何非线性切线刚度阵 用 影响函数法计算出可能的被调向量 x b 将恒载与被调向量 x 作为同一工 况 作用在结构上作一次迭代 形成结构的切线刚 度 阵 求出拟被调向量 调整结构时在关心截面产生 的调整量弋D 从而可计算出调整 差值向量 D D 一福 D 12 c 以 b 中形成的结构刚度阵为结构切线刚度阵 J D 作为调值 向量 计算被调修正向 量 x 俘 令 x x x 重复 b 一 e 的计算 当 d D 小于指定误差 时 x 就是实 际被调 向量 x 的近似解 上 述计算过 程是 一收敛较快的过程 一般结构只叠代 3 1 0 次就能达到足够精度 如 同时 考虑拖动坐标 对精度有所提高 但要增 加 一定的计算工作量 5 算例 下面给 出两个算例 例 l 为丁简单结构线性 非线性 内力 位移调值计算算例 非线性计算 中计入 了几何刚度及大位 移影响 例 2 为一实际 工程结构的线性调值计算算例 是本文方法的 工程应 用 例 l 图 3 结构 尺寸如 图所示 为计算方便 取结构的 材料 几何特性参数如 下 梁 E 1 okNm Z I lm 名 浅 lm Z 索 E 1 okN m Z I 一om A 0 lm 2 全 梁 受均布荷载 q 一0 s k N m 作用 将梁上 节 点 2 3 垂直 挠度 调为 按线性 几何非线性调值计算法求索中内 力 将调 整前后节 点位移 逐次和 一起调时索单元 内力列 于表 1 表 1 调 值计算结果 垦 5 卜义 十4书 切 沂 0 5kN n 乓 上 妊盆玉麦 盈知二 二 刁1 23 卜一lm 一十一 l m一州 单位 kN m 内内 容容 被调 向量 川川 被调向量 调整前节点位 移 移调整后节点位移移 单单元或节 截号 号 2 3 3 3 2 3 3 3 线线性算法 法 0 12644 0 042015 5 50 1277 0 0 438 1 1 1一0 0 345一0 0 9723 3 3一4 8 9 8 义10一 9 一139 X10一 吕吕 非非线性算法法 0 1337 4 0 0 395 9 1 1 1 1 13490 0415 一0 03447一0 0 9712 2 26312 X 10一 7 1 386X10一后 后 计算结果表 明 非线性因素对结构内力调值量有较大影响 这种影 响将随结构刚度 荷载 集度的 改变而改变 例 2 图 4为上海 黄浦江 杨浦大桥斜拉桥方案 结构基本参数见表 2 恒 载使结 构变形 希望通过调整索的张拉力 使 主梁与索连接点的垂直位移 塔顶的水平 位移及塔上 A 点的水平位移为 0 求各索的张拉力及调整前后结构的内力 位移 计算结构力 学及 其应用 9 卷 80 0 kN m 饭 1130 0kN m 户塑些迹 八一 了 0 0 咖 巴 祥 U U民州 T TI 处些竺竺 竺 m 肠m9 9 m144m 6 0 Zm 144m 99m45r n 孵孵 礴铡 铡 臀 巍巍巍 子子子 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l 傲傲l l l 料何性材码几特号 2 2 2 2 24 4 4 2 3 6 6 65 5 56 6 63 3 32 2 21 1 12 2 23 3 36 6 65 5 56 6 63 3 32 2 24 4 4Z Z Z 9 9 9 9 9 11 1 1 l2 2 210 0 0l3 3 3 同同 13 3 3 lO O O12 2 2l1 1 19 片片 表 2 斜拉桥截面几何特性表 特特性号 号 弹性模量 量惯性矩矩面积积特性号号弹性模量量 惯性矩 矩面积积 1 04MPa m m Z 105MPa m l m 之 1 1 1 1 13 5 5 520 0 03 58 8 88 8 81 9 9 9 0 0 00 033 3 3 2 2 2 2 2 3 5 5 5 10 8 8 817 9 9 99 9 9 1 9 9 9 0 0 00 03 3 3 3 3 3 3 5 5 5 1 1 5 5 518 9 9 91O O O1 9 9 90 0 0 0 02 8 8 8 4 4 4 4 43 5 5 5 11 8 8 8 9 5 1 1 1 11 9 9 90 0 0 0 0 2 2 2 2 5 5 5 5 53 5 5 512 1 1 119 9 9 9l2 2 21 9 9 90 0 00 0 1 8 8 8 6 6 6 6 6 3 5 5 512 7 7 721 1 1 113 3 31 9 9 9 0 0 0 0 0 3 6 6 6 7 7 7 7 73 5 5 56 61 1 15 8 8 8 8 8 8 8 一一一 本算例要求通过 4 9根索的张拉 来调整 4 个节点的位移 使它们达到指 定值 为此 先 作 一次恒载工况计算 求出未作调整 时结构 在调值点的挠度及 结构 内力 根据式 8 将求得调值 点的挠度反 号组成 的向量作为 D 然后作调值计算 求出各索的调整 量 这 两个 i可量计 算后列 于表 3 调整前后结构变形如图 5所示 调 整前后斜拉桥主梁弯矩见 图 6 根据上述结果 按施 工逆过 程进行倒退分析 计入徐变收缩影 响 便可近似地 得到 斜拉桥 的初始张拉力 要得到更精确的初始张 拉力 应按施工过 程作前进分析 并计入硷徐变 收缩 予应力索张拉及 几何非线性影 响 求得理想张拉 力后再 作倒退分 析 1 期 肖汝诚等 结构关心截面内力 位移混合 调整计算的影响矩阵法 节点 号 表 3 调整向量及被调 向量表 二 方向位移调值量 方向位移调整值 方 向调整值 2 3 4 5 6 7 8 9 l0 l 1 12 l3 l 4 15 16 17 l8 l9 2O 2 1 2 2 2 3 24 25 26 27 2 8 29 30 3l 3 2 33 34 35 3 6 37 3 8 3 9 40 4 1 42 43 4 4 4 5 4 6 47 48 49 00 000 0 0 000 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 000 0 0 000 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 00 00 D 0 0000 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 00 0 00 00 0 00 0 00 00 0 0 0 00 0 0 0 0 00 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 000 00 00 0 0 0 00 0 一96 1814 乏 一87 04 7 8 一 5 5 682 5 8 98 0 1 1 23 0 6 1 5 1 022 1 6 944 7 1 64 128 1 33 997 79 2 4 5 一1 0 97 19 一3 96294 一 7 0068 5 一9 46220 一10 748 3 2 一10 5 09 8 8 一8 7 1 708 一5 6 4060 一1 6 8 041 3 0200 0 8 5 7 76 3 15 15 6 8 3 22 70 645 31 02 3 40 44 48433 55 75 049 62 340 D8 69 7 7 338 7 8 24340 87 761那 9 8 0 9 048 109 0 07 9 0 1 20 5 320 0 1 329 514 0 1 46 4 8910 161 2 2 7 40 1 77 18 1 30 194 4 05 5 0 2 12 8 5 40 0 232 38810 25 2 82 1 70 2 7 3 915 30 295 2 526 0 316 23720 33 6 14340 354 13 7 10 36 9 17 3 7 0 380 105 90 38 5 8 97 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 000 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 000 0 0 00 0 0 0 00 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 000 0 00 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 D0 D 0 000 0 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0D 00 00 000 00 00 0 0000 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 索力求解值 x 23 39 14 6 0 2 28 4 15 3 0 2 2 08 9 5 3 0 2 19 5 06 8 0 2108 070 0 2060 028 0 19 89 1 12 0 1862 5 69 0 2019 5 080 191 2 2510 14 8 5 06 40 1 702 828 0 16 01 2 2 50 1570 343 0 1515 87 70 1501 92 10 15 07 18 90 13 9 6 876 0 13 92 5士20 13788 43 0 130 9 3 6 3 0 12 5 6 8510 10 3 9 3 8 60 1495 6 850 1 78 5 7 4 10 14 11 872 0 915 3 9 12 1 101 7620 1092 2 6 3 0 1 143 35 20 11 46 043 0 114 4 98 70 1 1 8 5 0 990 1 1 81 9 5 40 1 201 4 4 70 1 2 59 1460 1319 1930 137 4 6 030 14 29 4 7 70 1484 7 1 10 15 45 25 9 0 15 9 9 97 40 6 5 345 3 0 1706 4710 1 7 6 9 839 0 1 821 5 620 187 2 26 00 192 1 9470 1970 8 76 0 计算结构 力 学及其应用 9 卷 三 封 调索前 一一 调索后 一 产 z 三J 城韧 伴 一 一 6 r 一 一 一一 一 r 二 r了1 r l 弓J万 5竺犷 艺 5 3 争 弓 5言书 子 几了 乒 少 索号 图 5 调索前后斜拉桥变形 图 图 6 调索前后主梁弯矩图 6 结论 用本文提 出的影 响矩 阵法 对桥梁结构 关心截面 内力 位移作调值计算 力学 意义明确 利 用单位变形形成影响矩阵 可以在仅形成一次结构 刚度阵情况 下完成 整个调值计算 提 奇了计 算速度 考虑几何非线性的影响矩 阵法 为结 构 内力 位移的几何非线性 调值 计算提 供 了求 解 被 调 向量 方便易行 的计算途径 参考文献 1 ErhstJ H D er E一 Mod uiro n s eie n w rlter B eruehsieh 一 tingun d es D ureha nge s 刀 护B a n 华侧翻尹 196 5 1 19 1 2 5 40 2 2Johnf Flem元 ng N on lin e rstatiea n alysisofe able 一staye d brid 乙e struetu res C O 从F l l 妙 a刀 及 尹u以u 邵 1979 10 62 1 6 35 3 郭文复 肖汝诚 桥梁结构 电算原理及程序设计 上海城市建设 学院讲义 19 90 Zl j一2 23 4 肖汝诚 大跨径斜拉桥索力优 化计算 上海城市建设学院资料 199 0 5 肖汝诚 桥梁结构关 心 截面内 力 的 调值计算 全国 公 路 计算机应用会 议 论 文 集 承 德 19 90 157一16 3 Influ e nee M atries M etho dfo r Stru etural Adj ustmentCaleulation o fIn ternalFo ree san dDisPla e ementso f C oneern S eetions X 秘 角 加够 Gu o H袖fu S ha n gha x In stltute ofUrban C onstruetio n Abstra Ct In orderto adj以ststructural internalforc e s andd isPlae ementsofc o n eernseetio nsto d eterm n ed volue someothers m ust be adju sted T his e o nditionoftenoe eurs inthePro c ess of de sign and constructionof 10n马sPan bridge str u ctu re Th e c alculaion o f section forc e s andd isPlacelnentsadjusted 15quite com pl x In thispaper a influ e n ce m atric s m ethod fo r the c ale ulatio n 15 de voloped a nda 1 期 肖汝诚等 结构关心截面内力 位移混合调 整计算的影响矩阵法 e x Plo ratorysug gestionoftakingnon 一l in erinf