高中数学 3.1.4向量的正交分解及其坐标表示练习 新人教A版选修21.doc

31.4空间向量的正交分解及其坐标表示1空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量推论：设o，a，b，c是不共面的四点，则对空间任一点p，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使xz.想一想：平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点o的_的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底(2)空间向量的坐标表示：以e1，e2，e3的_为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz.对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点o重合，得到向量p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.把_称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p_想一想：1.与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？2向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标唯一吗？基础梳理1想一想：空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示2两两垂直公共起点ox，y，z(x，y，z)想一想：1.xoy平面上的点的坐标为(x，y，0)，xoz平面上的点的坐标为(x，0，z)，yoz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)另外还要注意向量的坐标与点p的坐标相同2唯一在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变 1如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()aa与b共线 ba与b同向ca与b反向 da与b共面2已知a，b，c是空间向量的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()aa bbca2b da2c3如图，在长方体abcda1b1c1d1中建立空间直角坐标系已知abad2，bb11，则的坐标为_，的坐标为_自测自评1解析：由空间向量基底的概念知，a正确答案：a2d3解析：根据已建立的空间直角坐标系知a(0，0，0)，c1(2，2，1)，d1(0，2，1)，则的坐标为(0，2，1)，的坐标为(2，2，1)答案：(0，2，1)(2，2，1)1o、a、b、c为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()a.、共线 b.、共线c.、共线 do、a、b、c四点共面1解析：由、不能构成基底知、三向量共面，所以o、a、b、c四点共面答案：d2(2014南昌高二检测)设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，a2i4j5k，bi2j3k，则向量a，b的坐标分别是_2解析：a的坐标为(2，4，5)，b的坐标为(1，2，3)答案：(2，4，5)，(1，2，3)3长方体abcda1b1c1d1中，若3i，2j，5k，则()aijk b.ijkc3i2j5k d3i2j5k3解析：3i2j5k.答案：c4以下四个命题中正确的是()a空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示b若a，b，c为空间向量的一个基底，则a，b，c全不是零向量cabc为直角三角形的充要条件是0d任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底4解析：使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故a不正确；abc为直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，故c不正确；空间基底是由三个不共面的向量组成的，故d不正确答案：b5已知点a在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则点a在基底i，j，k下的坐标是()a(12，14，10) b(10，12，14)c(14，12，10) d(4，3，2)5解析：设点a在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点a在基底i，j，k下的坐标为(12，14，10)答案：a6已知空间四边形oabc中a，b，c，点m在oa上，且om2ma，n为bc的中点，则等于()a.abcbabcc.abcd.abc6解析：()abc.答案：b7设|m|1，|n|2，2mn与m3n垂直，a3m2n，bm4n，则a，b_71808已知空间四边形abcd中，a2c，5a6b8c，对角线ac、bd的中点分别为e、f，则_8解析：，又，两式相加得2()()e为ac中点，故0，同理0，2(a2c)(5a6b8c)6a6b10c，3a3b5c.答案：3a3b5c9平行六面体abcda1b1c1d1中，a，b，c，p，m，n分别是ca1，cd1，c1d1的中点，点q在ca1上，cqqa141，试用基底a，b，c表示以下向量：，.9解析：()()abc，()()abc，()(2)abc，()()()(22)abc.10如图，已知正方体abcdab