用数学分析眼光.pdf

华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 用用数学分析数学分析的眼光看初等数学 的眼光看初等数学 学生姓名学生姓名杨丽婷 专业名称专业名称数 学 指导老师指导老师程 靖 助教 摘 要 摘 要 针对广大数学系的本科生对于大学所学的数学分析对今后的中学数学教育工作 无任何帮助的思想 而事实上 数学分析 中的观点 思想可以加深对中学数学课本中概念 定义的理解提高教师自身水平本文运用对比的手法将数学分析与中学数学相联系站在 不同的角度看对方阐述了数学分析的观点思想在中学数学中的体现说明了运用这些观 点思想看待初等数学中的一些问题将更加深刻透彻基于以上的观点本文着重于数 学分析中几种辨证观点以动求静合与分变量与函数局部化 在中学数学中的体现以及数学分析中的一些理论方法与中学数学微分学在中学数学 的应用以及与中学数学思想方法解题的对比 积分学原理和方法在中学数学的应用 介值性 定理对中学的影响的阐述 本文的创新之处在于不断将中学数学的解题方法与数学分析的解题思想进行对比给 人恍然大悟的感觉 一一数学分析数学分析中的几种辨证观点与中学数学 中的几种辨证观点与中学数学 纵观数学史数学发展的每一个时期不仅在内容上更加丰富而且更重要 的是在思想方法上发生了根本性的变化 数学分析的形成和发展也正是体现了这 一点数学分析的形成是深深扎根于初等数学基础上的它的一些基本概念如导 数积分无穷级数的收敛等都是在初等数学有关问题的基础上发展而来的 从导数是在用代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展成为用极限方法求曲 线上点的斜率 到积分是在用代数运算求直线所围成的平面图形面积的基础上发 展成为用极限的方法求曲线所围成的面积而形成的 从无穷级数的求和是在用代 数运算求有限级数之和的基础上发展成为用极限方法求无穷级数之和到初等 数学中只能计算直线所围的多边形的面积圆形包括圆扇形圆弓形面积而 积分法解决一般曲线所围的曲线形面积这些新概念新方法的产生不仅解决 了最初提出的问题而且应用领域在不断扩大从而便在初等数学的基础上形成 了以微积分为中心的数学分析从以上数学分析产生的简单追溯可见数学分析 的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果 在整个数学分析中基础思想就是 极限思想所谓极限思想是用联系变动的观点把考察的对象例如圆面积变 速运动物体的瞬时速度 曲边梯形面积等 看作是某对象 内接正边形的面积 匀速运动物体的速度小矩形面积之和在无限变化过程中变化结果的思想他 出发于对过程无限变化的考察而这种考察总是与过程的某一特定的有限的 暂时的结果有关因此它体现了从有限中找无限从暂时中找到永久并且使 之确定起来的一种运动辩证思想它不仅包括极限过程而且又完成了极限过 程事实上极限的思想就是用一系列去刻画和把握动态这种静与动的辩证关系 可以揭示和把握常量与变量直线与曲线匀速运动与变速运动等的对立统一及 矛盾相互转换的关系这恰恰是初等数学无能为力的极限理论还体现了一个这 样的哲理稳定不变的事物是过程运动的结果中学数学遇到的一般问题都 与定值定形有关即静的问题按照哲理观点便可将其看作某种动 的结果从而以动求静实现问题的解决即 1 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 1动静结合的观点 例 三角区域由直线段和两个圆弧所围成其中一个圆心 围另一个圆心为而且两圆彼此通过对方的圆心求作此三角区域的内 切圆 分析显然所作的圆是唯一确定的又由已知条件可见三角区域是对称的 于是不难得到内切圆与直线段的切点是的中点 从而断定圆心在线段 的中垂线段上现在就以动求静的观点来考虑这样的动圆与直线 AB 和圆弧 BC 相切用解析几何来找动圆圆心轨迹以 A 为圆心AB 为 x 轴建 立直角坐标系设动圆圆心坐标xy将圆心与两个切点连接起来 所得半径 r a x 2 y21 2 其中 AB 的长度为 a 即 x a 2ay 是抛物线又因为圆心在 AB 的中垂线 x a 2 上将他与抛物线的方 程联立即可得圆心纵坐标 y 3 8a这样圆心得到确定从而作出所求的 内切圆 这是用动的观点处理静的问题的一种典型方法下面我们来看一 看中学数学再这道题的解法 首先在图形中具体做出这个内切圆关键在于找出此圆的圆心和半径 解设此圆的半径为 x两个圆弧的半径 即 AB a 所以 AC a 2AO a x而且 OAC 为直角三角形 故而a x 2 a 2 2 x2 a 2 2ax x2 a2 4 x2 所以 x 3 8a 虽然这样纯粹的用中学数学方法解题能把题目解出但只是为了解题而 解题对于学生的思维未得到任何锻炼不能使学生的解题思路得以深化达到 知一题而解多题的效果而数学分析中的动静结合的观点可以不断锻炼学生 的数学思维让学生学会的不仅是会解一道题 2合与分的观点 合与分是数学变形中常用的一种方法如解题中的枚举法迭加法添项 拆项法等便是合与分观点的具体体现 它也是数学分析中基本思想观点之一 微 积分研究的对象是函数其中重要的一类是初等函数而初等函数是由基本初等 2 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 函数之间的合四则运算和复合运算与分复合函数的分解的关系进 行高等数学中对初等数学求导先用分的方法使问题转化为基本初等函数 求导然后再进行合从而解决所有初等函数的求导问题中学数学 中常用的添项拆项法在数学分析中不定积分的凑未分法有理函数积分法上得 到进一步的发挥下面看例题 3变量与函数的观点 变量与函数是数学分析研究的对象中学数学中虽以常量问题为主但有时 若将这些问题中的字母甚至常数看作变量而将字母间的关系看作函数关系 运用变量和函数的观点去观察它 会使一些问题变得容易或为解题提示一种可行 的思路此外数分中一些构造和利用辅助函数解决问题的方法对解 7n43n4 1 21 1 8 1 7n4 1 7 1 3n4 1 3 1 32 1 7n4 1 3n4 1 15 1 11 1 11 1 7 1 32 1 3n4 1 1n4 1 11 1 7 1 7 1 3 1 32 1 7k4 1 3k4 1 3k4 1 1k4 1 32 1 7k4 32 1 3k4 16 1 1k4 32 1 S 32 1 C 16 1 B 37 1 A 7n4 C 3n4 B 1n4 A 7n4 3n4 1n4 1 7k4 3k4 1k4 1 S 7n4 3n4 1n4 1 15117 1 1173 1 S 2 n 1k n 1k 所以 用待定系数可求得 设 解 例 决中学数学中类似问题亦有指导和借鉴作用下面是例题 n n k kk n k n k n xxC nn n CC 1 1 1 2 3 0 1 n 0k 1 构造函数 构造辅助函数来证明法来证明现在我们通过辅助函数 归纳法题目想的是数学对于中学数学见到此类分析 证明例 3 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 2 0 1 00 1 nn n C CCCCx xxxCxCxxC n n n k k n k n n k kn n k n n n n l ll n n k kk n n n l ll n 而右端同次幂的系数是 的系数是上式左端 将两式相乘得则 对比函数左右对应系数 故而可得 结论得证 2 25215 2 25215 51 0 1 515 015125 5 5 0155524 3 21 2 322 23 原方程的解为 或解之 的一元二次方程于看作常量则是一个关 看作未知数若将相当困难此题若按三次方程求解解 全国数学联赛集训队题解方程例 x xx x x xx x xxx xx xxx 注 若将本题中的 5 换成字母 a 则可将方程看作由 x 与 a 两个变量所成隐 函数求 x 是将 x 表示为 a 的函数自然也将 a 表示为 x 的函数因此本题事实 上是函数与反函数的应用 不得不说这是一种非常好的解题思路比起数学归纳法要灵活基本的多着 力于学生的思维培养 4局部化的观点 数学分析中微分思想就是局部范围以直代曲利用近似将复杂问题简单 化然后解决这种局部化观点对中学数学解题也有很好的指导作用如把 字母的允许值范围化成若干部分分别加以讨论就是局部化观点常用的 方法之一 10n 52 115221111 2 52 5210 10n 5 5 225 5 5 整除能被所以 的倍数左端两项都是 所以的观点 局部化一个是五的倍数每五个连续整数中必有偶数有一个是的倍数一个是 必有然而每两个连续整数中整除和能同时被因此须证明分析 整除能被证明例 n nnnnnnnnnnnnn nn Nnn 而作为中学数学这类题常常用数学归纳法证明虽然也能解但对于拓广思 路却毫无帮助 4 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 的倍数中至少有一个是由于从而原式写为 为整数故恒为偶数对于任何整数 证明 年全国高中数学联赛试题 除时余并且用都是整数对任何正整数证明例 322 12 21 8 22 12 2 2 1n n 1 1 2 12 1 1 2 1 2 3 1985 2 3 1 2 1 2 3 6 23 23 nnn nnn nnn nnn nnn nnnn 2 31 3 3 8 22 12 2 83 除时余因而用的整数倍减 于是原式等于整除的整数是能被互质与而 nnn 从前几种辩证观点 足以看出数学分析中的一些辩证思想方法对于解决中学 数学问题都有十分明显的指导作用 这正是数学分析在初等数学基础上发展性的 体现 而这种发展性的另一方面则表现为初等数学的许多问题只是数学分析中一 些简单的特例用数学分析的原理方法会轻而易举的解决中学数学中一些无 法深究的问题运用数学分析理论可给出圆满的解决 二二数学分析数学分析中的部分理论中的部分理论原理原理方法与中学数学 方法与中学数学 一一微分学与中学数学 微分学与中学数学 对于初等微分学而言它是由导数微分中值定理导数应用微分应用 几个部分构成导数是微分的基础概念可以说微分学的所有问题都与导数 分不开函数 y fx在一点 x0得导数 x xfxxf xf x 00 0 0 lim 当此极限存在且为有限值时称 fx在 x0 可导其几何意义是曲线 y fx 在x0fx0处的且险斜率而函数 y fx在 x0点的微分 dy fx0 x 它是 y fx0 x fx0的线性主部由此可见微分 dy 是 y fx在 x0 处 切线上对应于 x0与 x0 x 之间的纵坐标增量正是微积分中以直代曲的基本 依据而作为导数的运用主要利用导数判定函数的增减性凹凸性等以及求函 数的极值点拐点一系列特殊点从而达到对函数形态的基本把握由于微分学 研究的是函数的性质因而可用其原理与方法指导中学数学中函数问题 的学习与研究 在中学数学中对函数的研究着重于简单性质和图像讨论的内容一般有确 定函数的定义域和值域 求函数与坐标轴的交点 最值以及函数的一些特殊性 如 有界性奇偶性单调性周期性等而这些性质的研究主要是给定函数的定 义以及运算的已知性质利用代数式的恒等变形通过解方程或解不等式做出函 数特性的种种讨论这在研究方法上有很大的局限性导致了对一些问题解决的 困难而且往往需要一定的技巧性如果利用微分学的原理与方法这些问题就 有了一般的方法步骤并且简单易行更重要得是能使我们对函 数的图像性质及其关系有更深刻的理解和认识 中学数学中为了更好地掌握函数的概念及性质需要借助函数图像的直观 5 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 显示因为函数图像不仅表现了每一点自变量与函数值的对应关系而且函数的 性质在图像上都得到直接的反映如增减性表现为图像的上升与下降奇偶性表 现为图像的对称性周期性表现为图像的重复性等因此有了图像函数性质便一 目了然中学数学作函数图像一般用描点法先根据函数解析式求出若干对 xy将这些点在直角坐标系中一一描出然后用光滑曲线连接所以要图像准 确就要描出尽量多的点然而对于一些无理超越函数不易多描点要克服这一 困难办法是必须抓住一些关键点如二次曲线作图的关键是抛物线的顶点 与坐标轴的焦点 再弄清开口方向 对称轴 便可做出大致的图形 对于这些 关 键点在中学数学中还没有认识到他的特殊地位和意义在数学分析中就深 刻揭示了这些点的意义他们就是函数的零点极值点拐点等并且进一步认 识到极值点是函数增减变化的分界点 拐点是曲线凹性改变的转折点 不仅如此 还用微分学的方法给出了这些点的一般求法对于零点中学数学中用求方程根 的方法得到数学分析中沿用了这种方法而且对于初等方法解不出的方程还 能根据连续函数的介值性来确定根的范围从而把握零点的大体位置方便作图 在连接时还必须根据增减性凹性确定升降方向及弯曲方向特别是凹凸性的判 定在中学数学里比较困难中学数学中的描点法无法给出精确的函数图像所 以我认为微分方法具有极大的必要性 的图像作函数例 2 1 7 x x xf 下面来看几个例题说明情况 X 0 01 1 13 1 2 3 1 2 3 1 2 f x 0 Fx 0 0 Y fx 00 增下凹 11 2 减小凹 3 1 2 3 1 2 4 减上凹 将以上结果列表讨论 得令 得令求 拐点 减性凹性确定极值点下面甬导数工具判断增法即可以上三个步骤用初等方 求出与坐标轴的交点 上的图像半 作另一再由图像关于原点对称内的图像据此做出内函数性质进行考察 因而只需要对是奇函数考察奇偶性 确定定义域为解 的图像作出函数 300 10 1 32 1 1 4 0 0 3 0 0 0 1 2 1 1 5 3 2 2 2 2 2 2 2 xxxf xxf x xx xf x x xf xfxf x x xf x x xf 例 6 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 0 0 1 lim lim 5 2 y xfy x x xf xx 有水平渐近线 考察渐近线 6 描出图像 以上表明 导数应用于函数性质的研究及图像的描绘极为有效 从上面的过程中我们可以得出描绘函数图像的步骤 1 求出函数 fx的定义域 确定图像范围 2 判别函数 fx是否具有奇偶性或周期性 缩小描绘图像的范围 以便从部分 掌握整体 3 求函数的不连续点 并讨论函数 fx不连续点的左右变化情况 可能存在极 限 也可能趋向无穷 如果定义域是无限区间 还要讨论自变量无限增加时 函 数的变化趋势 若存在极限 则有水平渐近线 如果趋于无穷 应考虑是否有斜 渐近线 4 求出函数 fx的一二阶导数并求解 f x 0 和 fx 0讨论函 数的单调性局部极值凹凸性与拐点并列成一表 5 计算曲线的稳定点局部极值点拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标 有时还要计算某些个别点的坐标 6 在直角坐标系中首先标出一些关键点的坐标画出渐近线再按讨论的形 态逐一描绘 7 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 3 3 2 3 2 11 2 23 1 212 1 112 1 1 1 0 1 2 lim 1 lim lim 1 2 1 1 1 133 8 的一二阶导数计算 的图像位于抛物线下方 的图像位于抛物线上方 线的图像无限接近于抛物又 的垂直渐近线为 改写成将的定义域是解 作函数图像例 x x xf x x xf xf xfx xfx xyxf x xfx xf x xxfxfxf x xxx xfy x xx 列表如下 将定义域分成四个区间和与则记 的解为的解并可求得 2 21121a21 21x020 3 3 aaa xfxxf X a a a1 12 2 2 f x 0 fx 0 fx 局部最小 fx 凹 拐点 凸 凹 凹 局部极小值23拐点a0 在直角坐标系中画出与 fx 的图像有密切关系的渐近线 x 1 和抛物线 y x 1 2 以及局部 极小点拐点等关键点在据表 中函数变化的形态描 出函数的图像如图 8 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 用函数的增减性极值判定法可以简化中学数学中不等式的证明过程降低技 巧性下面来看例题 例 9证明loga a b loga c a b c b 0 c 0 a 1 分析 用中学数学的方法来考虑这个不等式自然而然的想到的是要找中间变量对 两者进行比较 即 loga c a b 对于 logax a 1 而言根据对数函数的 底大值大 底小值小故而 loga a b loga c a b 下面再来考虑 loga c a b 与 loga c a b c 因为 loga cx 为增函数 且 a b a b c 所以 loga c a b loga c a b 1 则 f x ln x b lnx f x lnx x b ln x b x lnx 2 所以 f xf a c 所以 loga a b loga c a b c 特别地 log23 log3 4 log45 log56 例 10试证明当 x 1 时有 2arctanx arcsin 2x 1 x 2 分析中学时我们学习证明过的是 arccosx arcsinx 2 1 x 1现在对 于这道题似乎束手无策那么用数学分析中的求导来看对于此题的解法 证明当 x 时等式显然成立 当 xb 0 时 不等式 nb n 1 a b an bn1 时成立 证明 设 f x x n 则 f x n x n 1 111 1 01 1 nn nn n n nn nan ba ba nb nnab nf ba ba ba bfaf 时其中 有 在区间 b a 上应用拉格朗日中值定理 故而 nb n 1 a b an bn nan 1 a b 这类题倘若用中学数学的方法即用数学归纳法来证明 还是那句老话对学生 的思维起不到任何锻炼让学生感觉数学的是太多的套路导致学生对数学失去 兴趣 例 12 已知函数 f x ax 2 c 满足 4 f 1 1 1 f 2 5 那么 f 3 满足 全国高中数学联赛试题 1983 年 9 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 A 7 f 3 26 B 4 f 3 15 C 1 f 3 20 D 28 3 f 3 35 3 解 设因为 f x ax 2 c 所以 f 1 f 1 由拉格朗日插值多项式得 f 2 3 8 1 3 5 3 2 1 3 1 1 4 3 1 12 12 1 1 2 21 11 2 1 1 12 11 2 1 1 22 ff fxfx xx f xx f xx fxf 从而 4 f 1 1 1 f 2 5 所以 1 f 3 20 故选 C 数学分析的本质是研究函数而作为一类特殊函数凸函数函数 fx的 凸图像的任一段弧都在这段弧所对弦的上方就是 fx上凸函数 fx的 凸图像的任一段弧都在这段弧所对弦的下方就是 fx下凸有了函数凸性 的概念就有一系列的相关定理 若 fx在区间 I 内上凸则对任意 x1 x2xn I以 及 任 意 1 2 n R 1 2 n 1 必 有 f 1x1 2x2 nxn 1f x1 2f x2 nf xn 若 f x 在区间 I 内下凸 则不等号反向 其中等号均当切仅当 x1 x2 xn时成立 例 10证明在圆的内接 n 边形中 以正 n 边形的面积为最大 证明 设圆的半径为 r 内接 n 边形的面积为 S 各边所对圆心角分别为 1 2 n 则 1 2r 2 sin 1 sin 2 sin n 设 f x sinx 由于它在 0 内上凸 于是 sin 1 sin 2 sin n nsin n n 21 nsin 2 n 所以当 1 2 n时 S 取最大值 也就是以正 n 边形的面积为最大 例 13 设 P 是 ABC 内的一点 求证 PAB PBC PCA 中至少有一个小于或等于 30 证明 如图所示 引进角 在 ABC 中有正弦定理可得 10 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 30 15030 2 1 sin 2 1 sinsinsin 2 1 sinsinsin 2 1 30sin 6 sin sinsinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsin sinsin sinsinsinsin 3 6 6 6 2 均不大于 此时 为钝角时当为锐角时当 记中必有一个不大于从而 于是 由正弦函数的凸性可知 相乘可得 同理 PAPCPCPBPBPA 二二微积分原理和方法在中学数学的应用 微积分原理和方法在中学数学的应用 数学分析中积分学的本质是由不定积分与定积分两个部分组成不定积分是 从逆运算的角度把积分看作微分的逆运算而定义的 而定积分侍从极限的角度把 积分看作一种特殊类型的和的极限加以定义积分不仅对于求面积弧长体积 近似计算等问题十分有用而且与数分的另一组成部分级数之间沟通了联系 所以在此着重讲述的是定积分与之中学数学 例 14祖暅原理的积分证明 祖暅原理是大家熟知的定理夹在两个平行平面内的两个几何体被平行 于这两个平行平面的任意平面所截如果截得的两个截面面积纵相等那么这两 个几何体的体积相等在中学教学中要求学生是会用此定理至于定理的来由 不作深究其实用定积分的方法可以进行详细清楚的证明 证明设两立体为 V1V2并用 V1V2 表示其体积等高高为 x处的 截面面积为 A1xA2x由于高相等因而 x 的变化区域相同设为 a b 2 2 11VdxxAdxxAV b a b a 则 用同样的方法我们可以得出球体椭球体的体积以这样的思路继续下去 可以知道一些曲线与直线所围成的面积一般公式 在中学数学中学生可以方便的 画出这类图但是对于求面积却无从下手下面就具体来看一看这类题目 例 15 利用定积分推出抛物线与抛物线抛物线与直线所围平面图形面积的 一般公式 11 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 3 3 2 3 3 22 3 2 2 3 2 2 3 23 3 2 2 22 2 2 11 2 1 212121 2 22 2 211 2 1 2 2 2 121 22 2 211 2 1 4 4 44 6 0 2L1 0 2 1 a acb SD a acb a c a b a dxxxadxcbxaxS cbxax cxbxay cxbxay Lcccbbbaaa dxcbxaxdxcxbxacxbxaSD aaaa cxbxayLcxbxayL D D D D 1 的面积和于阴影部分曲线本身所围成面积小同样的道理 部分的面积和则作为阴影 等分区间将内是上凹的在时当令证明 证明 2 1121 1 1 0 1 0 1 1 0 2 21 22n 13n 1 0 222 dxxf nn n f n f n f nxfnxxxf n n nn n n n n f n n f n f n n f n f n f n ff dxxf n n n f n n f n f n n f n f n f n ff 1 11 n2 221 0 2 1 1 11 n2 221 0 2 1 2 1 0 的面积作为阴影部分 所以 12 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 2 21 22n 13n 2 1 1 121 21 1 121 2 121 1 121 1 1 x 222 2222 2222 2222222 1 0 n n nn n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n nnn n n n nn n dxxxf nn 故而 右边不等式可知 而左边不等式可知 所以 又因为 从上述的例题的证明过程可以看出 证明中所用的不等关系是近似计算时常用的 矩形法和梯形法公式阴影部分 1 的面积是小矩形的面积和阴影部分 2 的面积 是小梯形的面积和 0 4 0 42sin24 2cos44 xdxx 例 17求 fx 4cos2x 与 fx 4x 0 所围 封闭图形的面积 2001 年上 海市虹口区高考模拟题 解 分析 这道题对于绝大部分 没有积分知识的高中生而言想 做出这道题要用的是余弦函数 图像的对称性来解 出这道题 如图 根据图像的对称可知所求面积即为矩形 OABC 的面积为 4 但是有了积分的 知识马上可以知所围面积为 S 从以上的例题我们可以看出有了高等数学的一些知识确实能降低初等数学题 目的难度 三三连续函数介值性定理与中学数学 连续函数介值性定理与中学数学 数学分析中最为经典的一个理论即设函数 fx在比区间 ab 上连续 且 fafb则对于介于 fa与 fb之间的任意实数 c 都至少存在 一点 f W c 这个定理对于很多中学数学的题目解答是十分有用的 在中学数 学中我们所学的都是连续函数 所以很多解方程 解不等式的题目都可以用介值 定理 需要指出的是此时的介值定理已变形为如果 fx在区间 ab 上连续 并且 fa与 fb异号则方程 fx 0 在ab内至少有一个根 下面就通过几个例题的求解来对整个介值性定理有一叶知秋感觉 例 18讨论方程 x qsinx a0 q 1的根的情况 解 令 f x x qsinx a f x 1 qcosx 0 q0 则因为 f x 在 a 1 a 1 上连续且单调增 又 f a 1 1 qsin a 1 与 f a 1 1 qsin a 1 异号 a k Z k 因此方程 x qsinx a 的唯一根在 a 1 a 1 内 a k 时 x a k 与存在方程根的存在性定理相反 介值性定理还可以用于解不等式 因为 由介值定理可得 若 f x 在区间 a b 内没有根 则 f x 在 a b 内不变号 据此又可推得 若 fx在区间 a b 内有 n 个不同的实根 x1x2 xn 且 x1 x2 0 或 3 8 31 1 8 31 1 8 31 1 8 31 1 1 8 31 1 8 31 1 3 1 2 1 13 3 1 4 2 1 13 19 21 及 间由此可以得到三个小区个根 内有两在方程原不等式的定义域为解 赛试题届国际奥林匹克数学竞第解不等式例 xx xx xx 8 31 1 1 02 2 1 2 0 2 1 1 0 2 3 3 0 3 8 31 12 8 31 1 8 31 11 8 31 1 10 2 1 13f x 故而原不等式的解集为 可以算得 取 设 fff xx 14 华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编华东师范大学 2001 届本科优秀毕业论文选编 的区间为确定可以 分别取而在这些小区间上 分成六个区间他们将区间 内的根从小到大为在 内的解因此可以先求一个周期的周期函数是周期为由于 其定义域令解 解不等式例 4 1 4 3 0 6 5 2 1 6 1 6 1 2 1 6 5 4 3 4 3 4 1 4 1 0 0 4 1 4 1 4 3 4 3 4 3 4 1 0 4 1 4 3 0 2f x sin3x sinxf x sin3xsinx 20 xf x xf 4 3 2 4 1 22 4 3 2 4 3 22 4 3 4 1 0 4 1 kkkk kk 故而原不等式的解集为 参考文献