二维海底电缆铺设的微分方程模型与数值算法.pdf

醺 数学物理学报 h t t p a c t a ms w i p m a C c n 二维海底电缆铺设的微分方程模型与数值算法 韩欢 李星 0刘军 0倪成洲 中国科 学院武汉物理与数 学研 究所 武汉 4 3 0 0 7 1 中国地质大学数学与物理 学院 武汉 4 3 0 0 7 6 东方地球物理公 司海上勘探事业部 天 津大港 3 0 0 2 8 0 摘要 建立了动态描述海底电缆铺设过程中电缆运动轨迹的微分方程模型 同时提出了静态解 的存在条件和相应的数值算法 在实际电缆铺设过程中可用来合理设计探测船航行速度和路 线以保证电缆可以沉放到设定的位置 关键词 微分方程模型 海底电缆 数值模拟 MR 2 0 1 0 主题分类 3 5 J 2 0 5 5 Q 5 5 中图分类号 0 1 8 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 3 3 9 9 8 2 0 1 5 0 4 7 8 0 1 4 1 引言 随着经济的发展 能源战略的作用 日益凸显 陆上油气资源的存储与开采量远远无法满 足发展的需求 因此 储量巨大的海上油气资源开发开始成为国家战略的焦点 在海上油气 资源探测过程中 经常需要通过移动的探测船将线状装置 如装满炸药的电缆线 沉放到海 底 如图 2 然后引爆爆炸装置 在海底制造人工地震 释放地震波 地震波传播过程中 在不同岩层交界面上会产生反射波 通过分析反射波的强度和其它特征 地震学家可以对海 通常我们希望在人工地震区域上释放强度均匀的地震波 因为变化剧烈的地震波会影 响判断的效果 因此 我们希望各 电缆落到海底的位置最好呈均匀分布状态 如图 1 a 所 示 然而 由于海水的冲击作用 电缆在海底的落点往往会分布不均匀 如图 1 b 所示 因 此 研究海底电缆铺设过程中电缆线的运动轨迹 从而为探测船设计合理的施工路线和航行 速度 以使得电缆在海底的落点位置接近均匀分布状态 提高探测的准确性有着很重要的实 际意 义 自 Z a j a c l9 J 在这个领域的开创性工作以来 许多学者作出了相应的研究 L e n o r d和 K a r n o s k i 1 0 提出了探测船在匀速运动施工状态下电缆运动的计算算法 H u a n g 和 V a s s a l O S 1 1 罂 学 了 基 于 弹 簧一 质 点 方 法 的 数 值 算 法 来 预 测 旖 工 过 程 中 电 缆 的 断 点 位 置 P a t e 和V a z 3 6 皇 短 时 间 行 为的数值模型 后来他们又将此模型推广到研究施 过程中 攀 的 曼 J 呈 型 i6 和 N a b e r g j f 5 研 究 了 电 缆 与 船 的 萎 王 出 了 一 个 海 底 电 缆 运 动 数 值 模 型 收稿 日期 2 0 1 3 0 8 0 8 修订 日期 2 0 1 4一 i 0 1 5 E m a i l b an hu a nl l m a i l s u c a s a c c n l i x i n g c ug e du 目 国家自然科学基金 1 1 2 7 1 3 6 0 1 1 4 7 1 3 3 1 资助 通讯作者 N o 4 韩欢等 二维海底 电缆铺设的微分方程模型与数值算法 7 8 1 a 最佳电缆海底落点分布 b 海水冲击后的电缆位置 图 1 海底电缆设计 一 落点分布 上述大多数文献都集中在分析 电缆施工过程中 缆绳张力场 实际上是弹性力学上的一 种反抗形变的应力 的分布状态 探测船 的运动状态以及海水深度对缆绳姿态的影响 除此 之外 这些工作都忽略了流体升力的作用 而且均是在移动坐标系的基础上研究电缆的局部 a t 8 6 行为 为了全局 0 8 b 地分析电缆的行为 我们曾建立了一个基于 固定坐标系 G P S 大地坐标系 的电缆运动模型 1 J 在此模型中 我们忽略了流体升力的作 用 受力分析如图 2 a 所示 现在为了更准确地分析 电缆的形态 本文将额外考虑流体升 力 的作用 受力分析如图 2 b 所示 a 电缆微元受力分析 不考虑流体升力 b 电缆微元受力分析 考虑流体升力 图 2 电缆微元受力分析 本文的主要 目的是对文献 f 1 1 中模型进行有效的改进 进而对改进后的模型方程的全局 和局部光滑的静态解的存在条件加以证 明并通过数值模拟的方法来研究电缆的运动姿态 对电缆铺设过程中设计合理的探测船航行速度和路线以保证电缆沉放到设定位置的研究提 供理论上的指导 文章 内容安排如下 首先 介绍课题的研究背景和意义 在第二节 中 我们将在固定坐 标系 大地坐标系 下建立描述 电缆运动过程的微分方程模型 在第三节中 我们讨论全局 和局部光滑静态解的存在条件 在第四节中 我们提 出求解微分方程模型的数值计算算法 并通过数值试验的方法来证明数值算法的高精度性 最后将数值算法推广到应用层面来动 态模拟二维 电缆的短时间行为 7 8 2 数学物理学报 V o 1 3 5 A 2数学模型 在文献 1 的模型中 对于电缆上任意微元 s 我们考虑了重力 p g As 浮力 一 p o g As 流 体阻力 D 以及微元两端点的张力 如图 2 a 所示 现在为 了更加准确地描述电缆的运动 轨迹 我们额外地考虑了流体升力 如图 2 b 所示 的作用 为了简化问题 我们假设海底是平滑的 海水处于静止状态 且电缆线是由连续 弹性 非延展的材料构成 基于以上假设 我们来建立二维电缆的运动模型 首先我们建立坐标系 x Oy 如图 2所示 其中 o 轴表示海底 直线 Y h 图中虚线 表示海面 令 t 时刻描述 电缆质点位置和张力的参数方程如下 X x s Y y s T T s 2 1 其中 s是从 O 点算起的电缆总长度 t 表示时间 基于微元法思想 取悬垂 电缆上任意一个微元并分析 其受力情况 如图 2 b 所示 现 在我们需要将各个力分解到 Y方向并在这两个方向上建立模型 因此 张力 与 X轴之 间的夹角 s 需要表示成 s 和 的函数 令 A x z s 4 As 一x s t A y v s A s 一y s 则 A s i 根据几何关系 如图3 a 所示 可得 c o s 州 A s n 州 再令 s一 0 可得 e 0 s a s O s s i n s O r s t 2 3 注 2 1 根据物理学原理以及图 3 a 可知 x 8 t x s As t y s v s As 即 C O S 1 0 n s j 1 为了书写方便 我们记 P 7 r r 2 P c P 0 7 r r 2 P 其中 P P 表示电 缆线和水的密度 P P o 表示它们线密度 单位长度的质量 r g 表示 电缆的半径 设 分别表示 X Y轴正 向的单位向量 取坐标轴正 向为正方向 则微元 s的重力与 浮力 的合力为 一As p p o g J 根据物理学原理 4 绕流流体阻力 D的大小与流体速度 的平方以及物体的有效面积 A 成正比 方 向与流体速度方向相同 同时 流体升力 的大小与流体速度 的平方以及 物体的有效面积 成正比 方向与流体速度方向垂直 即 D c 譬 譬 2 4 其中 是总阻力系数 是总升力系数 p 是流体密度 是流体速度 p是物 体沿速度方 向的投影面积 是物体在垂直于速度方 向的投影面积 N o 4 韩欢等 二维海底 电缆铺设的微分方程模型与数值算法 7 8 3 根据 2 4 式以及图 3 a 一 c 可得 D D D 升力 L 其中 一 C O z 2 2 5 三 d d 2 6 D L 分别为考虑微元仅在 方 向上运动时所受的流体阻力和升力 D L 分别为考虑微 元仅在 Y方向上运动时所受的流体阻力和升力 a 几何约束 b 微元仅在 X方向上运动时所受的流体阻力与升力 C 微元仅在 Y方向上运动时所受的流体阻力与升力 图 3 微元 受力分析 在前面的论述中 各个力的矢量表示已经完成 现在我们来建立海底 电缆的运动模型 根据牛顿第二定律 在 X方 向上有 T s s t c s s As t 一T s t c s 3 t s p 0 2 x 由 2 3 式以及 2 5 一 2 6 式 可得 s s t 0 2E s A s t 一 T s t 警 s t s p 0 2x 2 岛 式两端除以 As 同时令 A s 一 0 有 旦 8s 警 一 9 7 一 去 0 2X 2 7 2 8 2 9 7 8 4 类似的原理 在 Y方 向上有 数学物理学报 V lO 1 3 5 A s X s t s i n s s 一 s s i n s 凡 一 s P P o 9 s p 0 2 y 2 1 由 2 3 式以及 2 5 一 2 6 式 可得 s s j t s s j s j s g As p p o q s p 0 2 y 2 1 1 2 1 1 式两端除以 As同时令 As 一 0 有 晏 d 塞 三 C L p w d 塞 cp 一 g p 0 2 y c2 除此以外 由 2 3 式可得电缆线的几何约束方程 由 2 9 2 1 2 以及 2 1 3 式可得 二维海底电缆铺设模型可以写为 2 1 4 其中 1 4 1 d K2 d 除此以外 从实际背景出发 我们可以得到相应的初始条件和边界条件 1 初始条件 假设 表示 t时刻悬垂 电缆与海底接触点 T DP 的 坐标值 b O表示 t 时刻的电 缆总长度 则有 s l 0 0 O x s t I 一0 f t O s t l 0 s o y s t lO t t O u 一 p o g s a t I扛 0 0 2 1 5 2 1 6 2 1 7 塞 表 示 探 测 船 最 终 的 匀 速 速 度 表 示 探 测 船 加 速 过 程 中 的 加 速 度 九 表 示 海 底 的 深 度 小 咎 2 边界条件 s f o 2 1 9 一 2 F 丝 卜 V 一 一 一 一 c i 一 一 一 S Z S 一 c 一 一 c 一珧 一 2 甄 一 一 一 斗 J 二 z s a c 3 8 2 bl 一 一 叻 八l 0 卸 N o 4 韩欢等 二维海底电缆铺设的微分方程模型与数值算法 7 8 5 s 6 t h s 6 t 注 2 2 对 2 1 4 式第一式关于 s在 t b t 上积分得 T b t cn c t O y K z O y p d s A1 对 f 2 1 4 式 第二式 关 于 s 在 f 0 f 匕 积 分得 2 2 0 2 2 1 c 一 O x K O x c 一 9 p 0 2y d s A2 再由 2 1 4 式第三式得 6 t i 2 2 2 在给定的运动状态下 r 6 t r n t 必定满足 2 2 2 式 即模型中只需给定 b t 0 其中一个即可 因此 2 1 9 与 2 2 1 式中的最后两个边界条件只需给定其中一个 即可 鉴于 2 1 9 式 中最后一个条件是基于物理意义的假设 事实上 本文是在此假设的基 础上做的研究 而 2 2 1 式中的最后一个边界条件 目前还是很多学者感兴趣的研究课题 因此本文将这两个条件同时列出 3 静态解的存在性 在文献 f 7 1 中 F a l t i n s e n从物理分析的角度给出了静态情况下悬垂 电缆线上各点的纵坐 标 X与 Y T的解析关系 在文献 7 中假设条件下 本节的定理 3 1利用数学的方法严格推 导出了与文献 f 7 1 等价的 X Y T与弧长参数 s的解析关系 并将定理 3 1的结果延伸到更一 般 的情形 定理 3 2 提出了相应的解的存在条件 同时 通过找出静态解的解析式 我们可 以利用 4 2 一 4 8 式计算相同条件下的数值解 通过数值解与解析式的比较 一定程度上可 以体现数值格式 4 2 4 8 式的高精度性 现在我们来考虑 2 1 4 式的一种特殊情况下的解的存在性 I I L l l 一 一 s 7 8 6 数学物理学报 1 3 5 A 丝 ot三 0 一 O 0 0 dx 1 8 n S P P o 8 X z p o 8 X 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 z x l d s 1 l n S X 3 8 将 3 6 式代入 3 5 式 可得 d y ds 3 9 一 N o 4 韩欢等 二维海底 电缆铺设的微分方程模型与数值算法 7 8 7 即 去 丽 在施工过程中 最理想的状态是让 电缆全局光滑 因为只有全局光滑的电缆线才能使海 底接触点 0 0 处的张力为 0 然而 由 3 2 式可以看出 电缆线全局光滑的条件是很苛 刻的 而且电缆线施工过程中在船速太大的情况下 电缆绳大多数不会保持全局光滑姿态 而是在 n 0 处产生尖点 因此 研究电缆线局部光滑情况下解的存在条件有着很重要的 意义 接下来 我们考虑 电缆线局部光滑 a t s 6 的情况 此时相应的边界条件如下 X y x 0 T x f o y s h 3 1 1 其中 8 满足 s X O 引理 3 1 假设 K x o I n 2 以及 1 e K 函数 雁 1 e 一 U 2 一 丽 在 0 1 上存在唯一的零点 证令 m K x o i n 2 当 u 0 1 时 通过简单计算可得 u 志 V 1 u 2 1 ra 兰 上 兰 1 e 丽 可 一1 詈 L 2 志 志 1 一 因此 在 0 1 上单调递减 此外还有 一lira li ra 去 e K x o x 一 去 e 一 0 由介值定理 可得 札 在 0 1 上存在唯一的零点 7 8 8 数学物理学报 0 1 3 5 A 解 定理 3 2 在引理 3 1的条件以及边界条件 3 1 1 下 方程组 3 1 存在唯一局部光滑 去 n 塑 r百d y x s 备 l 一 s 其中 证 圳 是引理 3 1中 的唯一零点 由 3 1 式第一个方程以关于 s从 X 到 s及 3 1 1 式 可得 O 由 3 1 式第二个方程关于 s从 到 8以及 3 1 1 式 可得 d y P P o 9 8 X O P P o 夕8 X 由 3 1 式第三个方程以及 3 1 1 式 可得 3 1 3 o 州s 其中 将 3 1 5 式代入 3 1 3 式 可得 即 一 3 1 6 d s v r d x x Jl2 生 告 s s d x x 素 d s 一 n 将 3 1 5 式代入 3 1 4 式 可得 d y 一 3 1 8 z s N o 4 韩欢等 二维海底 电缆铺设的微分方程模型与数值算法 7 8 9 即 y s 去 由 3 1 7 式可得 兰 f 兰 1 2 0 s 辛ln 则有 3 1 9 一 十 一 1 e 一 K xo x 一 1 d y x 一 2 由 3 1 9 式 令 y 8 h 则有 一计 去 一 cs 2 令 则根据 3 1 式的第一个方程可得 二 再由 3 2 0 3 2 1 式 可得 雁十1 e 一 U 2 由 注 2 1 以 及 引 理3 1 可 知兰 是 的 唯 一 零 点 I 4 数值模拟与实际应用 自由边界问题 2 1 4 一 2 2 1 相当复杂 以至于 目前还无法直接表达它的解 然而 在电 缆通信以及石油探测方面的应用要求我们至少能找到它的近似解 因此 本节采用数值计算 的方法 1 3 来近似求解 自由边界问题 2 1 4 一 2 2 1 首先 我们将弧长参数 s以及时间参数 t 离散化如下 0 8 0 8 1 8 2 8 1 0 0 t o t l t n 0 假设在 t t 时刻有 r r 则在 t t 卅1时刻 我们 比较 r 1 r 2 几 与 的大小 并令 f ly L E i r 1 r 2 佗 在 t t n l 时刻 r的值为 r r f 其中 对任意集合 表示 中元素的个数 由 4 2 4 4 式可知 在 时 1 时刻 当 i n时 n 1 n 1 如n 1 是未知的 因 为 n l时刻 第 几个节点还未沉放入海底 因此 我们需要给这几个变量取定一个合 适的近似值 根据几何关系有 一 8 I o 一 n n 1 一 x n 1 一 赫 一 A s I n n 1 一 n 1一 4 7 4 8 这种近似处理 以后 nf n 1 nf n 1就可以参与计算了 由 2 1 7 和 2 1 8 式可知 在每个时刻 t 方程组 2 1 4 式的弧长参数取值范围为 a t 8 6 其 中 口 随着沉入海底的部分越来越多而逐渐增大 6 随着探测船行走过程中 释放缆绳也逐渐增大 这就涉及到一个 自由边界计算的问题 2 自由边界是个很复杂的问题 在这篇论文中 上边界 b t 由 2 1 8 式定义 下边界 0 是未知的 怎样取 n t 的值呢 本文采用如下方法 为了让已经坠入海底的节点退出计算 我们在 4 2 一 4 4 式中将 州 0 i r 作为边界值 并令 n 一 0 f o 0 i r 同时 为了让刚刚从船上放入海水 中的节点参与计算 我们 每一个时刻在缆绳顶端增加一个节点 即增加 x n 1 y n l T n 三个变量 除此以外 我们还用前面注释 4 1的方法来取 r的值 故有 n 1 州 No 4 韩欢等 二维海底电缆铺设 的微分方程模型与数值算法 7 9 1 差分格式 的离散化 已经完成 F 面我们采用迭代算法来求解非线性方程组 4 2 4 4 式 具体过程如下 在 t 1 时刻 取如下初始迭代值 tn r n i r 1 礼 1 迭代计算 州z 一 p x l 卧 警 一 p 7 礼 1 n p O 几 1 一 n 一 4 9 i r 1 n 的值已经在前面的迭代中算得 那么 4 9 式就是关 于 i r l n 的线性方程组 求解这样一个代数方程组 可以得到 1 i r 1 礼 的值 2 Y迭代计算 l 8 i 4 1 z 一 一 x i S q 1 2 1 4 1 o xl 卅 的 值已由 4 9 式获 得 则 4 1 0 式 就成为 关 于 i 厂 1 n 的 线 性方程组 这样就可以计算出 i r 1 n 3 T迭代计算 O q l 翁 一 re s 一 阻 一 一 p P O g p 7 1 一 一O n 1 一 一 4 1 1 xl 已 由 4 9 一 4 1 0 式获 得 则 4 1 1 式 是关于T i s r 1 凡 的线性方程组 因此 可以计算出 T i J S i r 1 n 现在 T i s 的值 已获得 重复 4 9 4 1 1 式依此取 s 0 1 2 M 经 过有限次迭代 得到 t 时刻的数值解如下 十 M M n T I i l r 2 一 n 由定理 3 1 和定理 3 2 我们知道 在解的存在性条件下 3 3 和 3 1 2 式是 3 1 式 加上某些特定边界条件的解 现在为了检验我们提出的算法的有效性 我们用此格式来数值 模拟静态方程 3 1 的解 并与其解析解 3 3 3 1 2 进行对 比 通过下面的两组数值实验 可以看出格式 4 2 4 8 有很高的精度 表 1 模拟参数 7 9 2 数学物理学报 V o 1 3 5 A 试验 l 考虑方程组 3 1 在边界条件 3 2 下的解 各物理参数取值如表 1 所示 模拟 结果见图 4 X m a f o 1 0 N 试验 1 Hi b f o 2 0 N 试验 1 图 4 方程组 3 1 在边界条件 3 2 下的数值解与解析解的对比 试验 2 考虑方程组 3 1 在边界条件 3 1 1 下的解 各物理参数取值如表 1所示 模 拟结果见图 5 x l m a f o 2 0 N 试验 2 x 1 TI b f o 5 0 N 试验 2 图 5 方程组 3 1 在边界条件 3 1 1 下的数值解与解析解的对比 m 图 6 二维电缆短时间实际应用 No 4 韩欢等 二维海底电缆铺设的微分方程模型与数值算法 7 9 3 二维 电缆短时间实际应用模拟 由图 4 5可以看出 我们提出的数值算法有很高的精 度 下面我们利用该数值算法来动态模拟二维电缆铺设过程中电缆线的运动轨迹 定解 问题 2 1 4 2 2 1 各参数取值如表 1 所示 模拟结果如图 6 其中 彩色线表示 电缆线 参考文献 1 韩欢 蔡穗华 年宏轩 等 理想状态下电缆在海水中运动轨迹的动态模拟研究 工程地球物理学报 2 0 1 1 8 3 7 7 3 8 0 f 2 1 Yi Fa hu ai Gl ob al c l a s s i c a l s o l ut i o n of M us k a t f r e e bo u nda r y p r o bl e m J ou r na l o f Ma t h e ma t i c a l Ana l y s i s a nd Ap pl i c a t i on s 2 00 3 1 4 42 4 61 l 3 l V a z M A P a t e l M H Th r e e d i me n s i o n a l b e h a v i o u r o f e l a s t i c ma r i n e c a b l e s i n s h e a r e d c u r r e n t s Ap p l i e d Oc e a n Re s e a r c h 2 0 0 0 22 45 53 f 4 1王慧明 流体力学基础 北京t清华大学出版社 2 0 1 0 6 1 6 2 5 5 J a s n a P r p i d Or g i d R a d o s l a v N a b e r g o j N o n l i n e a r d y n a mi c s o f a n e l ast i c c a b l e d u r i n g l a y i n g o p e a r t i o n s i n r o ug h s e a Appl i e d 0 c e a n Re s e a r c h 2 0 05 27 2 55 2 6 4 1 6 1 P a t e l M H Va z M A Th e t r a n s i e n t b e h a v i o r o f ma r i n e c a b l e s b e i n g l a i d t h e t wo d i me n s i o n a l p r o b l e m App l i e d Oc e a n R e s e a r c h 1 9 9 5 22 2 4 5 25 8 7 F a l t i n s e n O M S e a L o a d s o n S h i p s a n d O ff s h o r e S t r u c t u r e s C a mb r i d g e C a mb r i d g e Un i v e r s i t y P r e s s 1 9 9 0 2 5 7 2 7 7 8 B u r g e s s J J Mo d e l l i n g o f u n d e r s e a c a b l e i n s t a l l a t i o n w i t h a fi n i t e d i ff e r e n c e me t h o d Fi r s t I nt e r na t i o na l O ffs ho r e a nd Po l a r En gi ne e r i ng Co nf e r e n c e 1 9 91 2 2 22 2 2 7 9 9 Z a j a e E E D y n a mi c s a n d k i n e ma t i c s o f t h e l a y i n g a n d r e c o v e r y o f s u b ma r i n e c a b l e Te c h n i c a l J o u r n a l 1 9 5 7 3 6 5 1 1 2 9 1 2 0 7 Pr o c e e di ng s o f t h e Th e Be l l S ys t e m Le o n ar d J W K a r no s k i S R S i m u l a t i on o f t e n s i o n c on t r o l l e d c a b l e de p l o y m e n t Appl i e d O c e an Re s e a r c h 1 9 9 0 12 3 4 4 2 Hua n g S Va s s a l os D A n ume r i c a l me t ho d f o r pr e di c t i n g s na p l oa di ng o f ma r i ne c a b l e s Appl i e d Oc e a n Re s e a r c h 1 9 9 3 15 2 3 5 2 4 2 X u X u e s ong Ya o Ba o he ng Re n Pi n g Dyna m i c s c a l c ul a t i o n f o r un de r wa t e r m o v i n g s l e n de r bo di e s ba s e d on fle x i b l e s e gme n t mod e 1 Oc e a n Eng i n e e r i n g 2 01 3 57 11 1 1 2 7 戴嘉尊 邱建贤 微分方程数值解法 南京 东南大学出版社 2 0 0 2 9 1 9 4 TWO D i m e ns i onal D i r e nt i a l M ode l and Num e r i c al M e t hod of Unde r s e a Ca bl es D ur i ng I ns t a l l a t i on Ha n Hu a n Li Xi n g 3 Li u J un Ni Che ng